XMaS11 pisze:kp1311 pisze:
A teraz prawidłowe uogólnienie:
Jeśli liczby dodatnie spełniają warunek: \(\displaystyle{ x_1+x_2+x_3+...+x_n = S}\)
To funkcja \(\displaystyle{ f(P) = x_1x_2 \cdot ... \cdot x_n}\) przyjmuje najmniejszą wartość dla \(\displaystyle{ x_1=x_2=x_3=...=x_n}\) co jest prostym wnioskiem z nierówności między średnią arytmetyczną i geometryczną.
Raczej odwrotnie ;p
Fakt powinno być największą.
nobuddy pisze:Jeszcze coś takiego wpadło mi do głowy: w przykładzie kp1311 nie wychodzi x=y ale za to x=-y... Potrafi ktoś dać kontrprzykład w którym \(\displaystyle{ x \neq |y|}\)?
\(\displaystyle{ W(x,y) = (x^2-y^2)^2 +1, P(x,y) =x^2+y^2}\)
-----------------------------------------------------------------------------------------------
Warunek początkowy
\(\displaystyle{ W(x,y)=0}\) jest zbyt ogólny i przez to wszystko się nam sypie.
Ale rozważmy sobie coś takiego:
\(\displaystyle{ x+y=S}\) (
\(\displaystyle{ S}\)-stała),
\(\displaystyle{ P(x,y)}\) niech będzie wielomianem symetrycznym stopnia
\(\displaystyle{ 2}\).
\(\displaystyle{ P(x,y)}\) przyjmuje wtedy wartość ekstremalną dla
\(\displaystyle{ x=y}\).
Dowód:
\(\displaystyle{ P(x,y) = a(x^2+y^2)+b(x+y)+cxy+d}\)
\(\displaystyle{ P(x,y) = a(S^2 -2xy) + bS +cxy+d = (aS^2+bS+d) +(c-2a)xy}\)
Czyli jak widzimy gdy
\(\displaystyle{ 2a}\) jest różne od
\(\displaystyle{ c}\) to
\(\displaystyle{ P(x,y)}\) przyjmuje wartość ekstremalną tylko wtedy
\(\displaystyle{ xy}\) przyjmuje wartosć ekstremalną a to dzieje się dla
\(\displaystyle{ x=y}\).
Proponuje ci pokombinować trochę z tym. Możesz na początek rozważyć więcej zmiennych, lub wyższy stopień wielomianu i zobaczyć co ci z tego wyjdzie.
