[Rozgrzewka OM][MIX][Teoria liczb] Teoria liczb

Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8570
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 306 razy
Pomógł: 3347 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Teoria liczb] Teoria liczb

Post autor: kerajs »

Premislav pisze:IMHO to zadanie nie ma nic wspólnego z teorią liczb
Mam podać bardziej pasujące, czy jednak Ty wrzucisz kolejny problemik?
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Teoria liczb] Teoria liczb

Post autor: Premislav »

Jeśli masz bardziej pasujące, to byłbym wdzięczny, gdybyś wrzucił, jak nie masz, to coś znajdę.
Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8570
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 306 razy
Pomógł: 3347 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Teoria liczb] Teoria liczb

Post autor: kerajs »

Dla jakich naturalnych \(\displaystyle{ n}\) liczba \(\displaystyle{ n^n-3}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 7}\) ?
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Teoria liczb] Teoria liczb

Post autor: Premislav »

Ukryta treść:    
Jest jakieś szybsze rozwiązanie?-- 10 sie 2019, o 21:46 --To żeby temat nie stał od razu wrzucę nowe zadanie:

proszę udowodnić szczególny przypadek wielkiego twierdzenia Fermata dla wykładnika \(\displaystyle{ n=3}\).
Jak ktoś nie zna (choć wątpię), to bezpośrednie sformułowanie: równanie
\(\displaystyle{ x^3+y^3=z^3}\) nie ma rozwiązań w liczbach całkowitych dodatnich.
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Teoria liczb] Teoria liczb

Post autor: Premislav »

Nie wzbudziło zainteresowania, to trudno, rozwiązanie macie

Kod: Zaznacz cały

https://en.wikipedia.org/wiki/Proof_of_Fermat%27s_Last_Theorem_for_specific_exponents


Nowe:
niech \(\displaystyle{ a, \ b}\) i \(\displaystyle{ c}\) będą liczbami całkowitymi spełniającymi nierówności \(\displaystyle{ a<b<c<a+b}\).
Proszę udowodnić, że \(\displaystyle{ c(a-1)+b}\) nie dzieli \(\displaystyle{ c(b-1)+a}\).
albanczyk123456
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 82
Rejestracja: 10 maja 2017, o 19:37
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdzieś
Podziękował: 10 razy
Pomógł: 11 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Teoria liczb] Teoria liczb

Post autor: albanczyk123456 »

Obserwacja:
liczby \(\displaystyle{ a,b,c}\) są dodatnie. dowód:
jeśli \(\displaystyle{ a\leq0}\) to \(\displaystyle{ a+b\leq b<c}\) co prowadzi do sprzeczności z tym, że \(\displaystyle{ a+b>c}\).
Rozwiązanie:
Ukryta treść:    
Znajdź wszystkie pary liczb naturalnych \(\displaystyle{ (x,n)}\) takich, że \(\displaystyle{ x^{n}++2^{n}+1}\) jest dzielnikiem liczby \(\displaystyle{ x^{n+1}++2^{n+1}+1}\).
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Teoria liczb] Teoria liczb

Post autor: Premislav »

Fajne, tylko takie mikroskopijne szczegóły, że
Wynika z tego, że \(\displaystyle{ c(a-1)+b\geq(b-a)(a+b-c)}\)
jest dokładnie na odwrót (zły zwrot nierówności), zresztą dalej korzystasz z nierówności z właściwym zwrotem.
\(\displaystyle{ b-c<-1 \Leftrightarrow a+b-c<a-1}\)
O ile czegoś nie przeoczyłem, zachodzą tu tylko słabe nierówności (bo z \(\displaystyle{ b<c}\) w naturalnych wynika jedynie \(\displaystyle{ b\leq c-1}\)), ale finalnie to nic nie psuje.
nowe:    
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Teoria liczb] Teoria liczb

Post autor: Premislav »

Zapomniałem o wrzuceniu następnego zadania, sorry.

Proszę znaleźć wszystkie takie liczby całkowite dodatnie \(\displaystyle{ n, \ k_1, \ldots k_n}\), że
\(\displaystyle{ k_1+\ldots+k_n=5n-4}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{1}{k_1}+\ldots+\frac{1}{k_n}=1}\).
Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5703
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 129 razy
Pomógł: 524 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Teoria liczb] Teoria liczb

Post autor: arek1357 »

\(\displaystyle{ n= \frac{n}{\frac{1}{x_{1}}+...+\frac{1}{x_{1}}}\leqslant \frac{x_{1}+...+x_{n}}{n} =5-\frac{4}{n} }\)

z tego:

\(\displaystyle{ n \leqslant 5-\frac{4}{n} }\)

co jest prawdziwe dla:

\(\displaystyle{ n=1,2,3,4}\)

na piechotę łatwo sprawdzić, że rozwiązania dla:

\(\displaystyle{ n=1, x_{1}=1}\)

dla n=2,3 rozwiązań brak

dla n=4

\(\displaystyle{ x_{i}=\frac{1}{4} }\)

raczej więcej chyba nie ma sorki zamiast k wziąłem x...
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Teoria liczb] Teoria liczb

Post autor: Premislav »

Idea jak najbardziej dobra, natomiast powinno być (kontynuuję Twoją zmianę notacji, żeby nie robić zamieszania) \(\displaystyle{ x_i=4}\), a nie \(\displaystyle{ x_i=\frac {1}{4}}\) dla \(\displaystyle{ n=4}\) i zgubiłeś pewne rozwiązania dla \(\displaystyle{ n=3}\), mianowicie
\(\displaystyle{ (x_1, x_2, x_3)=(2,3,6)}\) i permutacje (łącznie sześć sztuk).Przypadek \(\displaystyle{ n=2}\) sprowadza się do równania kwadratowego, które nie ma rozwiązań w naturalnych, dla \(\displaystyle{ n=3}\) zauważamy, że musi być \(\displaystyle{ \min\left\{x_1, x_2, x_3\right\}=2}\), a potem znów mamy równanie kwadratowe, z którego wychodzi to, co napisałem. Dla \(\displaystyle{ n=4}\) mamy równość w nierówności między średnią arytmetyczną a harmoniczną, stąd musi być \(\displaystyle{ x_1=x_2=x_3=x_4}\) i sprawdzamy, że to działa.
Możesz wrzucić następne zadanie.
Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5703
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 129 razy
Pomógł: 524 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Teoria liczb] Teoria liczb

Post autor: arek1357 »

Oddaję Ci wolną rękę wrzucaj ten nowy latex to porażka jakaś brak podpowiedzi, bardziej trzeba się zastanawiać nad latexem niż nad zadaniem...
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Teoria liczb] Teoria liczb

Post autor: Premislav »

Niech \(\displaystyle{ p\ge 5}\) będzie liczbą pierwszą. Niechaj \(\displaystyle{ N=(p-1)^{p}+1}\) i niech
\(\displaystyle{ N=\prod_{i=1}^{n}p_i^{\alpha_i}}\) (rozkład \(\displaystyle{ N}\) na czynniki pierwsze). Proszę wykazać, że
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n}\alpha_{i}p_{i}\ge \frac{p^{2}}{2}}\)
Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5703
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 129 razy
Pomógł: 524 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Teoria liczb] Teoria liczb

Post autor: arek1357 »

Mam taki pomysł, wprowadźmy normę w pierścieniu liczb całkowitych , i niech będzie to norma dla dowolnej liczby a:

\(\displaystyle{ a=p_{1}^{\alpha_{1}} \cdot ... \cdot p_{n}^{\alpha_{n}}}\)

\(\displaystyle{ N(a)=|\alpha_{1}p_{1}+...+\alpha_{n}p_{n}|}\)

Niech teraz :

\(\displaystyle{ N=(p-1)^p+1}\)

łatwo wykazać, że:

\(\displaystyle{ \left[ \left( p-1\right)^p+1 \right]^2>2p^2 }\)

dla:

\(\displaystyle{ p>5}\)

Ponieważ funkcja:

\(\displaystyle{ f(x)=\left[ \left( x-1\right)^x+1 \right]^2-2x^x>0 ; x>4 }\) (widać na wolframie)

z tego wynika, że istnieje takie:

\(\displaystyle{ t>2p^p}\) , że:

\(\displaystyle{ N^2=n \cdot t+p^p}\)

Wynika stąd, że:

\(\displaystyle{ N(N^2)>N(p^p)}\)

A to jest:

\(\displaystyle{ 2 \cdot \left( \alpha_{1}p_{1}+...+\alpha_{n}p_{n}\right)>p^2 }\)

lub:

\(\displaystyle{ \left( \alpha_{1}p_{1}+...+\alpha_{n}p_{n}\right)> \frac{p^2}{2} }\)

A co daje tezę...
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Teoria liczb] Teoria liczb

Post autor: Premislav »

Z przykrością stwierdzam, że nie rozumiem tego rozwiązania. W szczególności wprowadzona funkcja nie jest normą w żadnym znanym mi sensie (myślałem, że to ma być norma euklidesowa jak w pierścieniach euklidesowych, ale nie jest) i wbrew Twojej deklaracji nie jest określona na całym \(\displaystyle{ \ZZ}\). Ale może ktoś dojrzy w tym jakiś sens…
Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5703
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 129 razy
Pomógł: 524 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Teoria liczb] Teoria liczb

Post autor: arek1357 »

hmm trudno skoro normą nie jest to się nie upieram, z jakichś przyczyn wydało mi się że jest i poszedłem tym torem dlatego, ale nie będzie...

Dodano po 3 minutach 14 sekundach:
tylko nie kumam czemu mówiłeś że nie jest to określone dla całego Z dla zera przyjmijmy zero a dla jeden jeden, jeżeli o to biega...

Dodano po 2 dniach 15 godzinach 3 minutach 36 sekundach:
Sprawdzałem dla dużych liczb i wychodzi, że ta nierówność spełniana jest dla dowolnych n nie tylko p>4...

Dodano po 4 godzinach 15 minutach 21 sekundach:
Spróbuję inaczej, otóż tak w skrócie mamy zbadać minimum:

\(\displaystyle{ f=\alpha_{1} x_{1}+...+\alpha_{n}x_{n}}\)

przy założeniu, że:

\(\displaystyle{ x_{1}^{\alpha_{1}} \cdot ... \cdot x_{n}^{\alpha_{n}}=N}\)

Pomijam na razie , że \(\displaystyle{ x_{i}}\) muszą być liczbami pierwszymi, przechodzę na grunt analizy...

badam minimum:

\(\displaystyle{ f=\alpha_{1} x_{1}+...+\alpha_{n}x_{n}-\lambda( x_{1}^{\alpha_{1}} \cdot ... \cdot x_{n}^{\alpha_{n}}-N)}\)

łatwo obliczyć ,że wyjdzie:

\(\displaystyle{ x_{1}=...=x_{n}=x_{0}=s}\)

czyli minimum f wyniesie:

\(\displaystyle{ f_{min}=(\alpha_{1}+...+\alpha_{n})s}\)

ale:

\(\displaystyle{ s^{\alpha_{1}+...+\alpha_{n}}=N}\)

z tego s wyniesie:

\(\displaystyle{ s=e^{ \frac{\ln N}{\alpha_{1}+...+\alpha_{n}} }}\)

przyjmijmy, że:

\(\displaystyle{ A=\alpha_{1}+...+\alpha_{n}}\)

mamy minimum w punkcie:

\(\displaystyle{ Ae^{ \frac{\ln N}{A} }=AN^{ \frac{1}{A} }}\)

Ale:

\(\displaystyle{ N=(p-1)^p+1}\)

zamiast p możemy sobie wstawić x, i mamy do przebadania czy:

\(\displaystyle{ A \left[ (x-1)^x+1\right]^{ \frac{1}{A} } \ge \frac{x^2}{2} }\)

czyli znowu badamy funkcję a dokładnie czy jest większa lub równa zero:

\(\displaystyle{ h(x)=A\left[ (x-1)^x+1\right] ^{ \frac{1}{A} } - \frac{x^2}{2} }\)

Niezbyt to przyjemne(coś sprawdzałem na wolframie) ale ona raczej jest ponad osią OX ...

Dodano po 18 godzinach 52 minutach 16 sekundach:
Zróbmy przykład, dla.: \(\displaystyle{ p=5}\)

\(\displaystyle{ N= (5-1)^5+1=1025=5^2 \cdot 41}\)

Nasza suma wyniesie:

\(\displaystyle{ 2 \cdot 5+41=51> \frac{5^2}{2} }\)

teraz wykonajmy naszą aproksymację:

\(\displaystyle{ x^{2+1}=1025}\)

\(\displaystyle{ x= \sqrt[3]{1025} \approx 10,082 }\)

nasza suma będzie wynosiła:

\(\displaystyle{ 3x \approx 30,246}\)

jak widać:

\(\displaystyle{ 51>30,246> \frac{5^2}{2} }\)

jak widać spory zapas...
ODPOWIEDZ