[Rozgrzewka OM][MIX][Teoria liczb] Teoria liczb

Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Teoria liczb] Teoria liczb

Post autor: Premislav »

Ukryta treść:    
Jeśli chcesz, to możesz już wrzucać następne zadanie.
Thingoln
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 133
Rejestracja: 27 lip 2019, o 22:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 52 razy
Pomógł: 15 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Teoria liczb] Teoria liczb

Post autor: Thingoln »

Rozwiązać dla całkowitych liczb \(\displaystyle{ x, y, z}\) równanie: \(\displaystyle{ x^4- zy^2+5 = 4x^2 - z}\).
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Teoria liczb] Teoria liczb

Post autor: Premislav »

Ukryta treść:    
Dodano po 1 dniu 53 minutach 43 sekundach:
Nowe zadanie:
czy istnieje taka liczba pierwsza \(\displaystyle{ p\neq 3}\) i liczby całkowite \(\displaystyle{ a,b,c}\) niepodzielnie przez \(\displaystyle{ p}\), że \(\displaystyle{ p}\) dzieli obie liczby \(\displaystyle{ a+b+c, \ a^3+b^3+c^3}\) :?:
Thingoln
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 133
Rejestracja: 27 lip 2019, o 22:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 52 razy
Pomógł: 15 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Teoria liczb] Teoria liczb

Post autor: Thingoln »

Na początek przepraszam, że odpowiadam dopiero po jakimś czasie. Sprawdziłem w wolframie i podaje on, że równanie ma rozwiązania. Możliwe, że
Ukryta treść:    
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Teoria liczb] Teoria liczb

Post autor: Premislav »

:( :( Kurde, faktycznie. Przepraszam.
Ukryta treść:    
Aktualne zadanie:
czy istnieje taka liczba pierwsza \(\displaystyle{ p\neq 3}\) i liczby całkowite \(\displaystyle{ a,b,c}\) niepodzielnie przez \(\displaystyle{ p}\), że \(\displaystyle{ p}\) dzieli obie liczby \(\displaystyle{ a+b+c, \ a^3+b^3+c^3}\) :?:
Thingoln
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 133
Rejestracja: 27 lip 2019, o 22:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 52 razy
Pomógł: 15 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Teoria liczb] Teoria liczb

Post autor: Thingoln »

Ukryta treść:    
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Teoria liczb] Teoria liczb

Post autor: Premislav »

Jest OK, wrzucaj nowe zadanie. Mnie to się od razu kojarzy z tożsamością
\(\displaystyle{ a^{3}+b^{3}+c^{3}=3abc+(a+b+c)\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca\right)}\), ale jak widać, można się elegancko obyć bez tego.
Thingoln
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 133
Rejestracja: 27 lip 2019, o 22:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 52 razy
Pomógł: 15 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Teoria liczb] Teoria liczb

Post autor: Thingoln »

Znalazłem coś takiego. Niech \(\displaystyle{ x, y}\) będą nieparzystymi liczbami naturalnymi. Udowodnić, że \(\displaystyle{ NWW ( \NWD (x+1, y-1), \ \NWD (x-1, y+1))}\) dzieli wyrażenie \(\displaystyle{ x^{y} + y^{x}}\).
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Teoria liczb] Teoria liczb

Post autor: Premislav »

Ukryta treść:    
Thingoln
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 133
Rejestracja: 27 lip 2019, o 22:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 52 razy
Pomógł: 15 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Teoria liczb] Teoria liczb

Post autor: Thingoln »

Można kolejne. :D
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Teoria liczb] Teoria liczb

Post autor: Premislav »

Proszę udowodnić, że dla każdej liczby całkowitej dodatniej \(\displaystyle{ n}\) istnieją parami względnie pierwsze liczby całkowite
\(\displaystyle{ k_{0}, k_{1}\ldots k_{n}}\), wszystkie większe niż \(\displaystyle{ 1}\), dla których \(\displaystyle{ k_{0}k_{1}\ldots k_{n}-1}\) jest iloczynem dwóch kolejnych liczb całkowitych.
Awatar użytkownika
niunix98
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 96
Rejestracja: 19 lis 2017, o 20:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 17 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Teoria liczb] Teoria liczb

Post autor: niunix98 »

Ukryta treść:    
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Teoria liczb] Teoria liczb

Post autor: Premislav »

Bardzo dobre rozwiązanie, możesz wrzucać nowe zadanie.
Awatar użytkownika
niunix98
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 96
Rejestracja: 19 lis 2017, o 20:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 17 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Teoria liczb] Teoria liczb

Post autor: niunix98 »

Niech \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) będą trójkami pitagorejskimi. Udowodnić, że istnieje ciąg trójek pitagorejskich zaczynający się od \(\displaystyle{ A}\) i kończący na \(\displaystyle{ B}\), że każde dwie kolejne trójki pitagorejskie mają przynajmniej jeden element wspólny.
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11263
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3140 razy
Pomógł: 747 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Teoria liczb] Teoria liczb

Post autor: mol_ksiazkowy »

Być może należy odświeżyć...

:arrow: Wyznaczyć jawny wzór ciągu

\(\displaystyle{ x_{n+1}= x_{n-1}^2 - nx_n}\)
i
\(\displaystyle{ x_0 =3 \ \\ x_1=4 }\)
ODPOWIEDZ