[Rozgrzewka OM][MIX][Teoria liczb] Teoria liczb
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
- kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8585
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 307 razy
- Pomógł: 3351 razy
Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Teoria liczb] Teoria liczb
Sądziłem, że powszechnie znany fakt o przestępności sinusa jest wystarczającym do udzielenia odpowiedzi negatywnej.
Jeżeli się myliłem, co może zweryfikować Przemek, to poprzednie pytanie nadal będzie aktualne. W przeciwnej sytuacji dowolna osoba będzie mogła przedstawić swój problemat.
Jeżeli się myliłem, co może zweryfikować Przemek, to poprzednie pytanie nadal będzie aktualne. W przeciwnej sytuacji dowolna osoba będzie mogła przedstawić swój problemat.
moje pytanie:
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Teoria liczb] Teoria liczb
Sorry, myślałem że to już jasne, Przemek weryfikuje negatywnie. Stwierdzenie a4karo pokazuje, że Twoje uzasadnienie nie jest wystarczające, gdyż odpowiedź na podobne (acz znacznie łatwiejsze) pytanie „czy istnieje taka liczba całkowita dodatnia \(\displaystyle{ n}\), że \(\displaystyle{ \sin n-\sin 1}\) jest liczbą wymierną" okazuje się twierdząca (\(\displaystyle{ n=1}\)). Zadanie jest wciąż aktualne, ale jeśli nie chcecie go rozwiązywać, to można też pominąć i wrzucić coś innego, po co wątek ma stać…
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Teoria liczb] Teoria liczb
To zadanie to był żart, tylko że nikt nie załapał. Nowe:
Ciąg \(\displaystyle{ (a_n)_{n=1}^{\infty}}\) określony jest następująco:
\(\displaystyle{ a_1=1, \ a_2=4, \ a_3=15, \ a_n=15a_{n-2}-4a_{n-3}}\) dla \(\displaystyle{ n\ge 4}\). Proszę udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ a_n}\) jest liczbą pierwszą, to \(\displaystyle{ n}\) też jest liczbą pierwszą.
Ciąg \(\displaystyle{ (a_n)_{n=1}^{\infty}}\) określony jest następująco:
\(\displaystyle{ a_1=1, \ a_2=4, \ a_3=15, \ a_n=15a_{n-2}-4a_{n-3}}\) dla \(\displaystyle{ n\ge 4}\). Proszę udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ a_n}\) jest liczbą pierwszą, to \(\displaystyle{ n}\) też jest liczbą pierwszą.
- kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8585
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 307 razy
- Pomógł: 3351 razy
Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Teoria liczb] Teoria liczb
\(\displaystyle{ r^3-15r+4=0\\
(r+4)(r-2- \sqrt{3} )(r-2+ \sqrt{3} )=0\\
a_n=A(-4)^n+B(2+ \sqrt{3} )^n+C(2- \sqrt{3} )^n\\
...\\
a_n= \frac{1}{2 \sqrt{3} } \left( (2+ \sqrt{3} )^n-(2- \sqrt{3} )^n\right)}\)
\(\displaystyle{ p^n-q^n=(p-q) \sum_{i=0}^{n-1}p^{n-1-i}q^i}\)
1) indeksy parzyste:
\(\displaystyle{ a_{2k}= \frac{1}{2 \sqrt{3} } \left( (2+ \sqrt{3} )^{2k}-(2- \sqrt{3} )^{2k}\right)=
\frac{1}{2 \sqrt{3} } \left( (2+ \sqrt{3} )^{2}-(2- \sqrt{3} )^{2}\right) \cdot \\ \cdot \sum_{i=0}^{k-1}\left[ (2+ \sqrt{3} )^2\right] ^{k-1-i}\left[ (2- \sqrt{3} )^2\right]^{i}=4 \sum_{i=0}^{k-1}\left[ (2+ \sqrt{3} )^2\right] ^{k-1-i}\left[ (2- \sqrt{3} )^2\right]^{i}}\)
Wyrazy o indeksach parzystych są liczbami złożonymi.
2) indeksy nieparzyste złożone:
\(\displaystyle{ a_{(2k+1)(2l+1)}= \frac{1}{2 \sqrt{3} } \left( (2+ \sqrt{3} )^{(2k+1)(2l+1)}-(2- \sqrt{3} )^{(2k+1)(2l+1)}\right)=\\
= \frac{1}{2 \sqrt{3} } \left( (2+ \sqrt{3} )^{2l+1}-(2- \sqrt{3} )^{2l+1}\right)
\sum_{i=0}^{2k}\left[ (2+ \sqrt{3} )^{2l+1}\right] ^{2k-i}\left[ (2- \sqrt{3} )^{2l+1}\right]^{i}=\\
=\sum_{j=0}^{2l} (2+ \sqrt{3} ) ^{2l-j} (2- \sqrt{3})^{j} \sum_{i=0}^{2k}\left[ (2+ \sqrt{3} )^{2l+1}\right] ^{2k-i}\left[ (2- \sqrt{3} )^{2l+1}\right]^{i}}\)
Wyrazy o indeksach nieparzystych złożonych są liczbami złożonymi.
Z 1), 2) wynika, że tylko wyrazy ciągu o indeksach będących liczbami pierwszymi mają szansę być liczbami pierwszymi.
NOWE (poziom gimnazjum):
Niech \(\displaystyle{ p}\) będzie sumą dwóch kwadratów liczb naturalnych dodatnich. Wykazać, że jeśli \(\displaystyle{ k}\) jest sumą dwóch kwadratów liczb naturalnych dodatnich, to \(\displaystyle{ kp}\) także można przedstawić jako sumę dwóch kwadratów liczb naturalnych dodatnich.
(r+4)(r-2- \sqrt{3} )(r-2+ \sqrt{3} )=0\\
a_n=A(-4)^n+B(2+ \sqrt{3} )^n+C(2- \sqrt{3} )^n\\
...\\
a_n= \frac{1}{2 \sqrt{3} } \left( (2+ \sqrt{3} )^n-(2- \sqrt{3} )^n\right)}\)
\(\displaystyle{ p^n-q^n=(p-q) \sum_{i=0}^{n-1}p^{n-1-i}q^i}\)
1) indeksy parzyste:
\(\displaystyle{ a_{2k}= \frac{1}{2 \sqrt{3} } \left( (2+ \sqrt{3} )^{2k}-(2- \sqrt{3} )^{2k}\right)=
\frac{1}{2 \sqrt{3} } \left( (2+ \sqrt{3} )^{2}-(2- \sqrt{3} )^{2}\right) \cdot \\ \cdot \sum_{i=0}^{k-1}\left[ (2+ \sqrt{3} )^2\right] ^{k-1-i}\left[ (2- \sqrt{3} )^2\right]^{i}=4 \sum_{i=0}^{k-1}\left[ (2+ \sqrt{3} )^2\right] ^{k-1-i}\left[ (2- \sqrt{3} )^2\right]^{i}}\)
Wyrazy o indeksach parzystych są liczbami złożonymi.
2) indeksy nieparzyste złożone:
\(\displaystyle{ a_{(2k+1)(2l+1)}= \frac{1}{2 \sqrt{3} } \left( (2+ \sqrt{3} )^{(2k+1)(2l+1)}-(2- \sqrt{3} )^{(2k+1)(2l+1)}\right)=\\
= \frac{1}{2 \sqrt{3} } \left( (2+ \sqrt{3} )^{2l+1}-(2- \sqrt{3} )^{2l+1}\right)
\sum_{i=0}^{2k}\left[ (2+ \sqrt{3} )^{2l+1}\right] ^{2k-i}\left[ (2- \sqrt{3} )^{2l+1}\right]^{i}=\\
=\sum_{j=0}^{2l} (2+ \sqrt{3} ) ^{2l-j} (2- \sqrt{3})^{j} \sum_{i=0}^{2k}\left[ (2+ \sqrt{3} )^{2l+1}\right] ^{2k-i}\left[ (2- \sqrt{3} )^{2l+1}\right]^{i}}\)
Wyrazy o indeksach nieparzystych złożonych są liczbami złożonymi.
Z 1), 2) wynika, że tylko wyrazy ciągu o indeksach będących liczbami pierwszymi mają szansę być liczbami pierwszymi.
NOWE (poziom gimnazjum):
Niech \(\displaystyle{ p}\) będzie sumą dwóch kwadratów liczb naturalnych dodatnich. Wykazać, że jeśli \(\displaystyle{ k}\) jest sumą dwóch kwadratów liczb naturalnych dodatnich, to \(\displaystyle{ kp}\) także można przedstawić jako sumę dwóch kwadratów liczb naturalnych dodatnich.
-
- Użytkownik
- Posty: 164
- Rejestracja: 25 mar 2017, o 15:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Zamość
- Podziękował: 19 razy
- Pomógł: 20 razy
[Rozgrzewka OM][MIX][Teoria liczb] Teoria liczb
Jeśli \(\displaystyle{ p=1^2+1^2=2}\) oraz \(\displaystyle{ k=2^2+2^2=8}\), to \(\displaystyle{ pk=16}\) i nie da się jej przedstawić jako sumę dwóch kwadratów liczb naturalnych - teza jest nieprawdziwa. Przyjmijmy więc, że \(\displaystyle{ p}\) oraz \(\displaystyle{ k}\) będą sumą dwóch kwadratów różnych liczb naturalnych dodatnich.
Niech \(\displaystyle{ p=a^2+b^2}\) oraz \(\displaystyle{ k=c^2+d^2}\) (oczywiście \(\displaystyle{ a, b, c, d \in \NN_+}\)). Wówczas \(\displaystyle{ pk=(a^2+b^2)(c^2+d^2)=a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2=a^2c^2 + 2abcd + b^2d^2 + a^2d^2 - 2abcd + b^2c^2 = (ac+bd)^2 + |ad-bc|^2}\).
Można to także przedstawić jako \(\displaystyle{ pk=|ac-bd|^2+(ad+bc)^2}\).
Jest to suma dwóch kwadratów liczb naturalnych dodatnich, o ile \(\displaystyle{ ad \neq bc}\) oraz \(\displaystyle{ ac \neq bd}\). Jeśli zaś \(\displaystyle{ ad=bc}\) oraz \(\displaystyle{ ac=bd}\), to mnożąc stronami mamy \(\displaystyle{ a^2cd=b^2cd}\), czyli \(\displaystyle{ a=b}\), a także \(\displaystyle{ c=d}\), czyli sprzeczność z założeniem opisanym wyżej.
Następne:
Wyznacz wszystkie liczby całkowite \(\displaystyle{ n>1}\) o następującej własności: dla każdej liczby \(\displaystyle{ d>1}\) będącej dzielnikiem liczby \(\displaystyle{ n}\), liczba \(\displaystyle{ d-1}\) jest dzielnikiem liczby \(\displaystyle{ n-1}\).
Niech \(\displaystyle{ p=a^2+b^2}\) oraz \(\displaystyle{ k=c^2+d^2}\) (oczywiście \(\displaystyle{ a, b, c, d \in \NN_+}\)). Wówczas \(\displaystyle{ pk=(a^2+b^2)(c^2+d^2)=a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2=a^2c^2 + 2abcd + b^2d^2 + a^2d^2 - 2abcd + b^2c^2 = (ac+bd)^2 + |ad-bc|^2}\).
Można to także przedstawić jako \(\displaystyle{ pk=|ac-bd|^2+(ad+bc)^2}\).
Jest to suma dwóch kwadratów liczb naturalnych dodatnich, o ile \(\displaystyle{ ad \neq bc}\) oraz \(\displaystyle{ ac \neq bd}\). Jeśli zaś \(\displaystyle{ ad=bc}\) oraz \(\displaystyle{ ac=bd}\), to mnożąc stronami mamy \(\displaystyle{ a^2cd=b^2cd}\), czyli \(\displaystyle{ a=b}\), a także \(\displaystyle{ c=d}\), czyli sprzeczność z założeniem opisanym wyżej.
Następne:
Wyznacz wszystkie liczby całkowite \(\displaystyle{ n>1}\) o następującej własności: dla każdej liczby \(\displaystyle{ d>1}\) będącej dzielnikiem liczby \(\displaystyle{ n}\), liczba \(\displaystyle{ d-1}\) jest dzielnikiem liczby \(\displaystyle{ n-1}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 38
- Rejestracja: 22 lut 2017, o 13:39
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław/opolskie
- Pomógł: 1 raz
[Rozgrzewka OM][MIX][Teoria liczb] Teoria liczb
Ukryta treść:
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Teoria liczb] Teoria liczb
Ukryta treść:
proszę wyznaczyć wszystkie pary \(\displaystyle{ (k,n)}\) liczb całkowitych dodatnich, dla których zachodzi równość
\(\displaystyle{ k!=(2^n-1)(2^n-2)(2^n-4)\ldots(2^n-2^{n-1})}\).
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11415
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3155 razy
- Pomógł: 748 razy
[Rozgrzewka OM][MIX][Teoria liczb] Teoria liczb
Niech \(\displaystyle{ p> 5}\) będzie liczbą pierwsza ito dowolna osoba może wstawić
\(\displaystyle{ \frac{1}{p-1}+ \frac{2}{p-2}+...+ \frac{p-1}{1}= \frac{a}{b},}\) zaś \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) są względnie pierwsze. Udowodnić że \(\displaystyle{ a-b+bp}\) dzieli się przez \(\displaystyle{ p^3.}\)
Ostatnio zmieniony 7 sie 2019, o 22:41 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Interpunkcja.
Powód: Interpunkcja.
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Teoria liczb] Teoria liczb
kerajs, ale ten iloczyn to jest
\(\displaystyle{ \prod_{i=0}^{n-1} (2^n-2^i)}\) a nie \(\displaystyle{ \prod_{i=1}^{2^{n-1}}(2^n-i)}\), co sugeruje Twój zapis.-- 8 sie 2019, o 01:22 --
Mam nadzieję, że ktoś to sprawdzi…
Obawiam się, że dalej obowiązuje moje zadanie (IMO 2019, P4).
\(\displaystyle{ \prod_{i=0}^{n-1} (2^n-2^i)}\) a nie \(\displaystyle{ \prod_{i=1}^{2^{n-1}}(2^n-i)}\), co sugeruje Twój zapis.-- 8 sie 2019, o 01:22 --
zadanie mola, trochę brzydko:
Obawiam się, że dalej obowiązuje moje zadanie (IMO 2019, P4).
- kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8585
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 307 razy
- Pomógł: 3351 razy
Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Teoria liczb] Teoria liczb
Zabawne, że rozwiązałem inne zadanie. Po prostu źle je przepisałem.
Zabawnym jest także to, iż mimo rozwiązania innego zadania odpowiedź podałem prawidłową.
Zabawnym jest także to, iż mimo rozwiązania innego zadania odpowiedź podałem prawidłową.
Ukryta treść:
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Teoria liczb] Teoria liczb
Pomysł bardzo ciekawy, choć IMHO trochę niedokończone to uzasadnienie, ale już nie rozdrabniajmy się, wrzuć proszę następne zadanie.
inaczej:
- kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8585
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 307 razy
- Pomógł: 3351 razy
Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Teoria liczb] Teoria liczb
Ciągi \(\displaystyle{ \left\{ a_n\right\}}\) i \(\displaystyle{ \left\{ b_n\right\}}\) określa zależność:
\(\displaystyle{ \begin{cases} a_{n+1}= \sqrt{k^2+k+1+b_n} \\ b_{n+1}= \sqrt{k^2+k+1-a_n} \end{cases}}\)
dla pewnej naturalnej \(\displaystyle{ k}\) i przy \(\displaystyle{ a_0=b_0=0}\).
Czy ciągi \(\displaystyle{ \left\{ a_n\right\}}\) i \(\displaystyle{ \left\{ b_n\right\}}\) mają granice, a jesli tak to ile one wynoszą?
\(\displaystyle{ \begin{cases} a_{n+1}= \sqrt{k^2+k+1+b_n} \\ b_{n+1}= \sqrt{k^2+k+1-a_n} \end{cases}}\)
dla pewnej naturalnej \(\displaystyle{ k}\) i przy \(\displaystyle{ a_0=b_0=0}\).
Czy ciągi \(\displaystyle{ \left\{ a_n\right\}}\) i \(\displaystyle{ \left\{ b_n\right\}}\) mają granice, a jesli tak to ile one wynoszą?
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Teoria liczb] Teoria liczb
IMHO to zadanie nie ma nic wspólnego z teorią liczb, ale może czegoś nie dostrzegam.
Ukryta treść: