[Rozgrzewka OMG][MIX] Rozgrzewka przed miedzygalaktyczną OMG

[Vax]

Dobra, niech będzie, jednak temat chyba polega na tym, żeby samemu wymyślać rozwiązania, a nie szukać ich w internecie Co do tej nierówności, to można ją było zrobić szybciej:

Ukryta treść:    

Nierówność jest jednorodna, więc możemy założyć a+b+c=1, wobec tego nasza nierówność przyjmuje formę:

\(\displaystyle{ \frac{a}{1-a}+\frac{b}{1-b}+\frac{c}{1-c} \ge \frac{3}{2}}\)

Teraz z Jensena dla funkcji wypukłej w przedziale \(\displaystyle{ (-\infty ; 1)}\):

\(\displaystyle{ f(x) = \frac{1}{1-x}}\)

\(\displaystyle{ af(a)+bf(b)+cf(c) \ge f(a^2+b^2+c^2)}\)

Teraz z nierówności między średnią kwadratową a arytmetyczną mamy:

\(\displaystyle{ \frac{a^2+b^2+c^2}{3} \ge \frac{1}{9}}\)

\(\displaystyle{ a^2+b^2+c^2 \ge \frac{1}{3}}\)

Czyli mamy:

\(\displaystyle{ af(a)+bf(b)+cf(c) \ge f(a^2+b^2+c^2) \ge f(\frac{1}{3}) = \frac{3}{2}}\)

cnd.

Wobec tego @Adam656 czekamy na kolejne zadanie

Pozdrawiam.

[binaj]

\(\displaystyle{ f(a^2+b^2+c^2) \ge f(\frac{1}{3})}\)

źle jest, bo funkcja nie jest rosnąca dla dodatnich, jest rosnąca w każdym z dwóch przedziałów \(\displaystyle{ (0;1), (1, \infty)}\)

[Marcinek665]

Jeśli już się upieramy na Jensena, to najlepiej dla równych wag.

I jest:

\(\displaystyle{ \frac{a}{1-a}+ \frac{b}{1-b}+ \frac{c}{1-c} = f(a) + f(b) + f(c) \ge 3f\left( \frac{a+b+c}{3} \right) = 3f\left(\frac{1}{3} \right) = \frac{3}{2}}\)

[Vax]

@binaj, być może się mylę, jednak wydaję mi się, że skoro mamy z założeń zadania:

\(\displaystyle{ a,b,c > 0}\)

oraz z jednorodności:

\(\displaystyle{ a+b+c=1}\)

to:

\(\displaystyle{ a,b,c \in (0 ; 1)}\)

A jeżeli \(\displaystyle{ a,b,c \in (0 ; 1) \wedge a+b+c=1}\) to równość \(\displaystyle{ a^2+b^2+c^2=1}\) nigdy nie będzie spełniona.

Pozdrawiam.

[Swistak]

Chciałbym zauważyć, że kluczowym słowem tamtej wypowiedzi jest słowo "szybciej". I chciałbym zauważyć, że bardzo ważnym elementem tego rozwiązania jest skrupulatne wyliczenie drugiej pochodnej tamtej funkcji, czego zazwyczaj ludzie na forum nie robią, ale na OM, a tym bardziej OMG raczej musiałbyś to zrobić. Słowo "szybciej" traci rację bytu (jakby w ogóle wcześniej ją miało ;D. No ale w każdym razie racja bytu zbiega do zera.) Diabeł tkwi w szczegółach .

[Vax]

W takim razie zamiast ,,szybciej" można napisać ,,inaczej"

[klaustrofob]

Swistaku czy na OM-ie nie wystarczyłoby napisać, że funkcja jest wypukła?

[kaszubki]

Swistak chyba nikomu nie odpowie xD

[smigol]

Świstak [*]
klaustrofob, parę razy była o tym dyskusja. Nie wystarczyłoby ;d

[klaustrofob]

czy zależy to od funkcji? przecież w przypadku \(\displaystyle{ x^2}\) sprawa jest jasna (?).

[Vax]

Aby nie zatrzymywać tematu, @Adam656 nie dał żadnego zadania, więc podam kolejne:

Znajdź wszystkie liczby całkowite spełniające równanie:

\(\displaystyle{ x^2(y-1)+y^2(x-1)=1}\)

Pozdrawiam.

[Swistak]

Swistak zmartwychwstał .
Może trochę zboczę z tematu, ale co do tego zadania mam zabawna anegdotkę ;p. Sytuacja miała miejsce jakieś 1,5 roku temu. Wziąłem się za to zadanie i je robiłem, i robiłem i nie mogłem zrobić. Dałem to zadanie Jerzowi, aby je zrobił. On je robił, robił i po kilku godzinach pracy następnego dnia udało mu się je zrobić. Potem dałem zadanie Kamilowi, a on też je robił i robił i po kilku godzinach kminy także je zrobił. Potem ja znowu przysiadłem do tego zadania i je robiłem, i robiłem i w końcu po kilku godzinach udało mi się je w końcu zrobić. Potem dałem zadanie kaszubkowi i za 15 minut dostałem SMS-a "Zrobiłem" xD. (Jego rozwiązanie było oczywiście dobre.)
Tak, wiem, że urzekła was moja historia ;p.

[Marcinek665]

Ja to zadanie robiłem gdzieś z miesiąc temu. Pocisnąłem mniej więcej w 20min

[smigol]

Zaś ja robiłem to zadanie 38 dni temu, robiłem jakieś 24 minuty.


Zostawmy już ten temat dla gimnazjalistów.


P.S. Świstak, po tej historii inaczej patrzę na życie.

[kaszubki]

Świstak znowu dostał bana!!!!!
Pogrążając się w smutku, pozwolę sobie rozwiązać zadanie:

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ xy(x+y)=1+x^2+y^2 \Leftrightarrow xy(x+y+2)=1+(x+y)^2 \Leftrightarrow (xy-(x+y))(x+y+2)=1-2(x+y) \Leftrightarrow (xy-x-y+2)(x+y+2)=5}\)
Otrzymaliśmy bardzo fajny iloczyn, więc oznaczmy \(\displaystyle{ xy-x-y+2}\) przez \(\displaystyle{ a}\), zaś \(\displaystyle{ x+y+2}\) przez \(\displaystyle{ b}\). Rozpatrzmy 4 przypadki:
1) \(\displaystyle{ x+y+2=5}\). Wtedy \(\displaystyle{ xy-x-y-2+4=1 \Leftrightarrow xy-5+4=1 \Leftrightarrow xy=2}\). \(\displaystyle{ xy=2 \wedge x+y=3 \Rightarrow (x,y)=(1,2)}\).
2) \(\displaystyle{ x+y+2=1}\). Wtedy \(\displaystyle{ xy-x-y-2+4=5 \Leftrightarrow xy=8}\). \(\displaystyle{ xy=8 \wedge x+y=-1 \Rightarrow sprzeczność}\).
3) \(\displaystyle{ x+y+2=-1}\). Wtedy \(\displaystyle{ xy-x-y-2+4=5 \Leftrightarrow xy=0}\). \(\displaystyle{ xy=0 \wedge x+y=-3 \Rightarrow (x,y)=(0,-3)}\). Tyle że to po podstawieniu do początkowego równania nie styka.
4) \(\displaystyle{ x+y+2=-5}\). Wtedy \(\displaystyle{ xy-x-y-2+4=5 \Leftrightarrow xy=-4}\). \(\displaystyle{ xy=-4 \wedge x+y=-7 \Rightarrow sprzeczność}\).

Wpisujcie miasta!!!!

Nowy:
Pokaż, że \(\displaystyle{ \left\lfloor \sqrt{n} + \sqrt{n+1} + \sqrt{n+2} \right\rfloor = \left\lfloor \sqrt{9n+8} \right\rfloor}\).