[Rozgrzewka OMG][MIX] Rozgrzewka przed miedzygalaktyczną OMG

[kaszubki]

Nowe zadanko:
Prosta OI przecina okrąg opisany na ABC w punktach P i P'. Wykaż, że proste Simsona punktów P i P' względem trójkąta ABC przecinają się na okręgu weń wpisanym.

[Oildale]

kaszubki, a weź się z takim prostymi zadaniami xdddd, widać, że pyka z hiperboli feurbacha

[Ponewor]

Jako że takie zachowania nie sprzyjają dalszemu rozwojowi tego tematu, kilka uwag:
jakub_jabulko, wrzucajmy zadania, do których znamy rozwiązania, albo chociaż mamy wiedzę, że są rozwiązywalne dla mniej czy bardziej przeciętnego olimpijczyka.
kaszubki, wrzucajmy zadania które w najgorszym razie, przy sporym naciągnięciu faktów, da się uznać za zadania na poziomie OMG. Tutaj nawet najlepsze intencje nie pomogą.
Oildale, stara zasada głosi:

jeśli ktoś nie ma nowego zadania do wrzucenia, niech nie zamieszcza rozwiązania poprzedniego

albo chociaż napisz coś w stylu "wrzucę jutro nowe, bo nie mam czasu". Jako, że nic takiego nie napisałeś, możemy mieć wątpliwości czy w ogóle masz zamiar wrzucać nowe zadanie, dlatego masz godzinę od teraz na wrzucenie nowego zadania. Po tym czasie niech ktokolwiek inny przejmie Twoją kolejkę.
Bawmy się razem dalej!

[kaszubki]

kaszubki, a weź się z takim prostymi zadaniami xdddd, widać, że pyka z hiperboli feurbacha

Mógłbyś trochę przybliżyć to rozwiązanie? Bo zapewniam, że to nie jest takie hop siup.

[jakub_jabulko]

ponewor - przecież napisałem, że zadanie jest chamskie i nieruszalne.

[Ponewor]

Ma ktoś istotne wnioski w ostatnim problemie?

[jakub_jabulko]

kaszubki, wrzucajmy zadania które w najgorszym razie, przy sporym naciągnięciu faktów, da się uznać za zadania na poziomie OMG. Tutaj nawet najlepsze intencje nie pomogą.

-- 6 maja 2013, o 20:10 --

W związku z tym wrzucam nowe:
Liczby całkowite dodatnie a,b,c,d spełniają \(\displaystyle{ ab=cd}\).
Udowodnić, że ich suma jest liczbą złożoną.

Z tego poprzedniego zadania można zrobić osobne zadanie, bo chyba nie ma sensu, żeby tak bloczyło.-- 12 maja 2013, o 11:46 --no dalej, jest łatwe

[diana7]

Ukryta treść:    

Załóżmy, że istnieją takie \(\displaystyle{ a,b,c,d}\), spełniające warunki zadania, że zachodzi \(\displaystyle{ a+b+c+d=p\in P}\). Wtedy
\(\displaystyle{ a+b+c+d=p \Rightarrow ad+bd+cd+d^2=pd \Rightarrow \\
\Rightarrow ad+bd+ab+d^2=pd \Rightarrow a(b+d)+d(b+d)=pd \Rightarrow \\
\Rightarrow (a+d)(b+d)=pd \ \ (1)}\)
\(\displaystyle{ b>0}\), więc \(\displaystyle{ b+d>d\Rightarrow b+d}\) nie dzieli \(\displaystyle{ d}\)
Niech \(\displaystyle{ x=NWD(b+d, d)}\), oraz \(\displaystyle{ n \in N}\) spełnia równanie \(\displaystyle{ xn=b+d}\).
Wtedy \(\displaystyle{ n|p \Rightarrow n=p}\) (gdyby \(\displaystyle{ n=1}\) zachodziłoby \(\displaystyle{ xn|d}\) )
Podstawiamy do równania (1) \(\displaystyle{ b+d=px}\)
\(\displaystyle{ (a+d)px=pd\Rightarrow(a+d)x=d\Rightarrow a+d|d}\)-sprzeczność.

Następne:
Znaleźć wszystkie nieujemne całkowite \(\displaystyle{ n}\), oraz całkowite \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\), spełniające układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} n^2=a+b\\n^3=a^2+b^2\end{cases}}\)

[jakub_jabulko]

Ukryta treść:    

załóżmy, że liczby \(\displaystyle{ a, b,n}\) spełniają układ równań. wtedy:
\(\displaystyle{ n ^{3}=n ^{4}-2ab}\)
\(\displaystyle{ n ^{3}\left( 2-n\right)=\left( a-b\right) ^{2}}\)
jeśli \(\displaystyle{ n=0}\) to rozwiązaniem są oczywiście 0.
jeśli \(\displaystyle{ n}\) jest dodatnie, to nie przekracza 2.
jeśli \(\displaystyle{ n=2}\) to \(\displaystyle{ a=b}\) i rozwiązaniem są same dwójki.
jeśli \(\displaystyle{ n=1}\) to \(\displaystyle{ \left| a-b\right| = a+b = 1}\) i stąd większa (nie mniejsza) z liczb \(\displaystyle{ a,b}\) jest równa 1, a mniejsza 0.

-- 13 maja 2013, o 13:39 --

Co do poprzedniego zadanie, to można było wykazać lemat:

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ ab=cd \Rightarrow a=xy \wedge b=yz \wedge c=zw \wedge d=zx}\)

ale sam robiłem tak jak ty -- 13 maja 2013, o 13:44 --Następne:
Czworokąt wypukły ABCD jest wpisany w okrąg. M i N oznaczają środki odpowiednio przekątnych AC i BD. Wykazać, że kąty AMB i AMD są równe wtedy i tylko wtedy, gdy kąty AND i CND są równe.

[porfirion]

Ukryta treść:    

Znana własność symedian

Nie jest to jednak rozwiązanie na poziomie OMG, więc nie poczuwam się do wrzucenia nowego zadania i czekam na bardziej "gimnazjalne" rozwiązanie.

[jakub_jabulko]

właśnie o to chodziło. przecież poziom międzygalaktycznej OMG jest dużo wyższy niż naszej polskiej. wrzucaj swoje.

[porfirion]

Ok. nowe: Rozwiązać w liczbach dodatnich:
\(\displaystyle{ \sqrt[5]{x}=[ \sqrt[5]{3x}]}\).

[Ponewor]

Wolno nam się tu w ogóle wypowiadać?

Ukryta treść:    

Mamy od razu \(\displaystyle{ \sqrt[5]{x}=k \in \ZZ}\) i dalej \(\displaystyle{ k=\left[ k \sqrt[5]{3} \right]}\). Łatwo sprawdzić, że \(\displaystyle{ \frac{6}{5} < \sqrt[5]{3}}\) skąd \(\displaystyle{ \sqrt[5]{3}=1+ \alpha}\), gdzie \(\displaystyle{ \frac{1}{5} < \alpha}\)
\(\displaystyle{ k=\left[ k \sqrt[5]{3} \right]= \left[ k +k\alpha \right]=k+\left[ k\alpha \right] \Leftrightarrow \left[ k\alpha \right] =0 \Leftrightarrow k \alpha < 1 \Leftrightarrow k<\frac{1}{\alpha}<5}\)
Skąd rozwiązania to \(\displaystyle{ 1, \ 32, \ 243, \ 1024}\).

Pole powierzchni całkowitej i objętość pewnego walca wyraża ta sama liczba dodatnia. Wyznacz promień podstawy i wysokość tego walca, wiedząc, że są one liczbami naturalnymi parzystymi.

[diana7]

Ukryta treść:    

Niech r-promień koła w podstawie,
h- wysokość

\(\displaystyle{ \pi r^2 \cdot h= 2 \pi r^2+2 \pi rh \Rightarrow 2r+2h=rh}\)
Podstawiamy \(\displaystyle{ r=2r_1 \wedge h=2h_1}\).
Po uproszczeniu:
\(\displaystyle{ r_1+h_1=r_1h_1 \Rightarrow
1=r_1h_1-r_1-h_1+1 \Rightarrow
1=(r_1-1)(h_1-1) \Rightarrow \\
\Rightarrow r_1=2 \wedge h_1=2 \Rightarrow r=4 \wedge h=4}\)
Na końcu sprawdzenie.

Nowe:
Znaleźć wszystkie trójki \(\displaystyle{ (a,b,c)}\) liczb naturalnych, dla których \(\displaystyle{ NWW(a,b,c)=a+b+c}\)

[jakub_jabulko]

niech ktoś to sprawdzi.

Ukryta treść:    

łatwo zauważyć, że te liczby nie mogą być równe, oraz że \(\displaystyle{ NWW(a,b,c) = 2max(a,b,c) = 2c}\) b.z.o. Stąd \(\displaystyle{ a+b=c}\). Stąd \(\displaystyle{ a=b}\) lub \(\displaystyle{ a=2b}\) lub \(\displaystyle{ 2b=a}\). I tu już widać, że nie ma innych rozwiązać poza \(\displaystyle{ a=t}\) \(\displaystyle{ b=2t}\) i \(\displaystyle{ c=3t}\) gdzie \(\displaystyle{ t}\) jest względnie pierwsze z \(\displaystyle{ 6}\).

Kolejne zadanie:
W trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\) istnieje punkt \(\displaystyle{ P}\) taki, że kąty: \(\displaystyle{ APB - C = APC-B}\). Udowodnić, że dwusieczne kątów \(\displaystyle{ ACP}\) i \(\displaystyle{ ABP}\) przecinają się na prostej AP.