[Rozgrzewka OMG][MIX] Rozgrzewka przed miedzygalaktyczną OMG

Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
matmatmm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2282
Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sosnowiec
Podziękował: 88 razy
Pomógł: 351 razy

[Rozgrzewka OMG][MIX] Rozgrzewka przed miedzygalaktyczną OMG

Post autor: matmatmm »

Co prawda nie rozwiązałem, ale coś wymyśliłem. Może ktoś dokończy. I może gus by skomentował, czy idę w dobrym kierunku.
Ukryta treść:    
gus
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 200
Rejestracja: 21 mar 2013, o 21:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 18 razy
Pomógł: 15 razy

[Rozgrzewka OMG][MIX] Rozgrzewka przed miedzygalaktyczną OMG

Post autor: gus »

Dobre rozwiazanie. Jedyne, do czego można się przyczepić, to stwierdzenie, że Dowolny trójkąt rozwartokątny można rozciąć na dwa trójkąty prostokątne. Każdy trójkat da się rozciać na dwa trójkaty prostokatne.
matmatmm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2282
Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sosnowiec
Podziękował: 88 razy
Pomógł: 351 razy

[Rozgrzewka OMG][MIX] Rozgrzewka przed miedzygalaktyczną OMG

Post autor: matmatmm »

Tak, ale ostrokątnego nie trzeba już rozcinać. No i jeszcze chciałbym wiedzieć, czy twoje rozwiązanie jest dokładnie takie samo i czy jakoś potrafisz uzasadnić, że da się rozciąć ten prostokątny, czy to jest tylko uzasadnienie typu "na rysunku widać" ?
gus
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 200
Rejestracja: 21 mar 2013, o 21:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 18 razy
Pomógł: 15 razy

[Rozgrzewka OMG][MIX] Rozgrzewka przed miedzygalaktyczną OMG

Post autor: gus »

Jest prawie takie samo, raczej nie ma prostszego rozwiazania. Poza tym, w tym zadaniu chodziło głównie o spostrzeżenie, że każdy wielokat da się rozciać na trójkaty.
Panda
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 342
Rejestracja: 31 maja 2008, o 19:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radom
Podziękował: 26 razy
Pomógł: 28 razy

[Rozgrzewka OMG][MIX] Rozgrzewka przed miedzygalaktyczną OMG

Post autor: Panda »

@gus skąd wiemy, że te punkty z rysunku istnieją dla dowolnego trójkąta?
Panda
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 342
Rejestracja: 31 maja 2008, o 19:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radom
Podziękował: 26 razy
Pomógł: 28 razy

[Rozgrzewka OMG][MIX] Rozgrzewka przed miedzygalaktyczną OMG

Post autor: Panda »

Długo by tu pisać, ale chodzi o to, że jak się weźmie dowolny punkt \(\displaystyle{ P}\) w środku ostrokątnego trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\) (będzie leżał w środku trójkąta na rysunku @matmalmm), jego rzuty na boki (to będą te zaznaczone punkty na rysunku), a pozostałe \(\displaystyle{ 3}\) punkty wybierze się na odcinkach \(\displaystyle{ AP}\), \(\displaystyle{ BP}\), \(\displaystyle{ CP}\), ale odpowiednio (można wybrać dowolnie) blisko \(\displaystyle{ P}\), to wszystkie trójkąty oznaczone na rysunku wyżej są ostrokątne.

Napisano na tablicy \(\displaystyle{ n-1}\) znaków \(\displaystyle{ <}\) i \(\displaystyle{ >}\). Czy zawsze da się wpisać między nie liczby ze zbioru \(\displaystyle{ \{1; 2; ...; n\}}\), tak, by każdą wpisać dokładnie raz, a nierówności były poprawne?
ElEski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 304
Rejestracja: 22 maja 2010, o 17:20
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Pomógł: 12 razy

[Rozgrzewka OMG][MIX] Rozgrzewka przed miedzygalaktyczną OMG

Post autor: ElEski »

Ukryta treść:    
Wykazać, że istnieje \(\displaystyle{ M}\) naturalne oraz ściśle rosnący ciąg \(\displaystyle{ {a_{n}}}\) liczb naturalnych, t.że
\(\displaystyle{ a_{k} \le (1,00666066)^{k}M}\), oraz suma wyrazów żadnego skończonego podciągu ciągu \(\displaystyle{ {a_{n}}}\) nie jest kwadratem liczby naturalnej
ElEski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 304
Rejestracja: 22 maja 2010, o 17:20
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Pomógł: 12 razy

[Rozgrzewka OMG][MIX] Rozgrzewka przed miedzygalaktyczną OMG

Post autor: ElEski »

Hint1
Ukryta treść:    
ODPOWIEDZ