[Rozgrzewka OMG][MIX] Rozgrzewka przed miedzygalaktyczną OMG

[KPR]

Ukryta treść:    

Na płaszczyźnie ABC wybierzmy punkt E taki, żę \(\displaystyle{ AE=AD}\), \(\displaystyle{ BE=BD}\) oraz żeby punkt E był po przeciwnej stronie AB niż C. Niech P będzie przecięciem AB i CE. Mamy wtedy z Ptolemeusza \(\displaystyle{ AB∙CD<AB( DP+PC)=AB(EP+PC)=AB∙EC \le AC∙BE+BC∙AE=AC∙BD+BC∙AD.}\) Analogicznie \(\displaystyle{ AC∙BD<AB∙CD+BC∙AD}\) i \(\displaystyle{ BC∙AD<AC∙BD+AB∙CD}\).

Udowodnić, że istnieje nieskończenie wiele wielokrotności 2005, w których zapisie dziesiętnym wszystkie cyfry występują tyle samo razy.

[kaszubki]

Udowodnić, że istnieje nieskończenie wiele wielokrotności 2005, w których zapisie dziesiętnym wszystkie liczby występują tyle samo razy.

Czyżby chodziło o cyfry?

[KPR]

Istotnie, ale zostaw to zadanie innym

[cyberciq]

Moje rozwiązanie jest naprawdę dziwne, więc fajnie by było jakby ktoś kompetentny to sprawdził:

Ukryta treść:    

Weźmy liczbę \(\displaystyle{ 2005 \cdot 101=202505}\) będącą wielokrotnością 2005. W jej zapisie dziesiętnym wszystkie cyfry występują tyle samo razy.
Rozważmy ciąg:
\(\displaystyle{ a _{1}=202505\\a _{2}=1000001 \cdot a _{1} \\a _{3}= 1\underbrace{000\ldots0}_{11} 1\\...\\a _{n}=a _{n-1} *1\underbrace{00\ldots0}_{3 \cdot 2 ^{n-1}-1 }1 \wedge n>1}\)
Nietrudno się przekonać, że liczby tej postaci spełniają wymagania.

pozdrawiam

PS. kaszubki no more stereo w tym temacie xp

[kaszubki]

E tam, to byłoby zbyt proste.

Udowodnić, że istnieje nieskończenie wiele wielokrotności 2005, w których zapisie dziesiętnym wszystkie cyfry występują tyle samo razy.

Chodzi o wszystkie cyfry, tj. 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.
Inaczej by było, gdyby KPR napisał
"Udowodnić, że istnieje nieskończenie wiele wielokrotności 2005, w których każda cyfra w zapisie dziesiętnym występuje tyle samo razy. "

[cyberciq]

... wiedziałem,że haczyk jakiś jest bo zbyt łatwe się wydawało.

pozdrawiam

[Brycho]

Ukryta treść:    

Są to liczby postaci

\(\displaystyle{ 1235468970 * \sum_{i=0}^{n} 10^{10i}}\) dla każdego \(\displaystyle{ n \in \mathbb N}\)

Nowe: Rozwiąż równanie:
\(\displaystyle{ x \cdot [x \cdot [ x \cdot [x]]]=88}\).

[kaszubki]

Ukryta treść:    

Widać, że \(\displaystyle{ x}\) musi być wymierne i znajdować się w przedziale \(\displaystyle{ (3,4)}\).
Rozbijmy przedział \(\displaystyle{ (3,4)}\) na sumę przedziałów \(\displaystyle{ (3,3 \frac{1}{9}] \cup (3 \frac{1}{9},3 \frac{2}{9}] \cup ... \cup (3 \frac{8}{9}, 4)}\). I rozważmy \(\displaystyle{ x}\) dla każdego z tych podprzedziałów.
Rozwiązaniem jest \(\displaystyle{ 3 \frac{1}{7}}\).
Dla liczb ujemnych robimy analogicznie, tylko znak zmieniamy.

Nowe:
Udowodnij, że dla każdej nieparzystej liczby pierwszej \(\displaystyle{ p}\) istnieją takie całkowite \(\displaystyle{ a,b}\), że \(\displaystyle{ p | a^2 + b^2 + 1}\)

[KPR]

Masz źle.

Ukryta treść:    

zapomniałeś o ujemnych.

[Lecznik]

Ukryta treść:    

Niestety nie istnieje dla \(\displaystyle{ p=15473261}\) Oczywiście nie będę umieszczał swoich obliczeń, gdyż łatwo się domyślić, znam pewną metodę. A nie będę tutaj zamieszczał tego sposobu, którego nauczył mnie pewien rosyjski matematyk. Nie będę także pisał, w jakich okolicznościach go poznałem... Powiem tak: kompanka była dobra. Jeżeli ktoś się sprzeciwia, niech pokaże swoje \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\)

To ja coś dam:
Udowodnij, że nie wolno dowolnych liczb rzeczywistych do zbioru pustego, gdyż wtedy ten zbiór przestaje być pusty. Często nad tym myślę przed snem i jakoś nie mogę nic wymyślić!

[ordyh]

A co powiesz na \(\displaystyle{ a = 8957255}\), \(\displaystyle{ b=2}\)?

[Brycho]

Dokończcie te moje zadanie, a w międzyczasie:

Ukryta treść:    

Zapiszmy p=2k+1 dla pewnej naturalnej k. Wiadomo, że spośród liczb 1,2,...,2k dokładnie połowa(czyli k) jest resztami kwadratowymi. Rozpatrzmy dwa przypadki:
1. k jest resztą kwadratową - wtedy bierzemy dowolne liczby a i b, które przystają k modulo p.
2. k nie jest resztą kwadratową- wtedy k różnych reszt kwadratowych można umieścić w k-1 rozłącznych zbiorach: {1,2k-1}, {2,2k-2}, ..., {k-1,k+1}. Z zasady Dirichleta wiemy, że w jednym zbiorze są dwie reszty. Niech będą to i oraz j. Bierzemy wtedy takie dowolne liczby a i b, że a^2 przystaje do i, zaś b^2 przystaje do j modulo p.
W obydwu przypadkach stwierdziliśmy, że teza jest prawdziwa.

Jak się wam nie chce tego mojego starego to macie nowe:
Znajdź najmniejszą liczbę naturalną n taką , że istnieje dokładnie 45 różnych par (a,b) liczb naturalnych takich, że NWW(a,b)=n.

[laurelandilas]

Niech ktoś odetka łańcuszek...

[Ponewor]

Wydaje mi się, że co dziwne taka liczba nie istnieje

[ordyh]

hint:    

Rozpatrujemy nieuporządkowane pary, w przeciwnym wypadku uporządkowanych par różnych liczb byłaby parzysta ilość. Rozważamy rozkład na czynniki pierwsze, a konkretnie wykładniki, trochę kombinatoryki, i dostajemy, że dany warunek spełniają tylko liczby postaci \(\displaystyle{ n=p^{45}}\) lub \(\displaystyle{ n=p^6q^3}\)