[Rozgrzewka OMG][MIX] Rozgrzewka przed miedzygalaktyczną OMG

Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Awatar użytkownika
Swistak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1874
Rejestracja: 30 wrz 2007, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 99 razy
Pomógł: 87 razy

[Rozgrzewka OMG][MIX] Rozgrzewka przed miedzygalaktyczną OMG

Post autor: Swistak »

ordyh: NWW(n, n)=n, zatem tu chodzi uporządkowane pary, ale raczej wierzę, że to nie będzie wiele zmieniać w głównej idei ; )
ordyh
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 255
Rejestracja: 6 paź 2009, o 18:04
Płeć: Mężczyzna
Pomógł: 66 razy

[Rozgrzewka OMG][MIX] Rozgrzewka przed miedzygalaktyczną OMG

Post autor: ordyh »

Racja, źle przeczytałem, myślałem, że \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) mają być różne
Awatar użytkownika
Burii
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 133
Rejestracja: 5 maja 2011, o 23:06
Płeć: Kobieta
Pomógł: 3 razy

[Rozgrzewka OMG][MIX] Rozgrzewka przed miedzygalaktyczną OMG

Post autor: Burii »

Nie widzę aktualnego problemu zatem:
Ukryta treść:    
Awatar użytkownika
Ponewor
Moderator
Moderator
Posty: 2218
Rejestracja: 30 sty 2012, o 21:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 70 razy
Pomógł: 297 razy

[Rozgrzewka OMG][MIX] Rozgrzewka przed miedzygalaktyczną OMG

Post autor: Ponewor »

Ukryta treść:    
Nowe. \(\displaystyle{ x, y \in \mathbb{R}}\). Znajdź wszystkie funkcje takie, że \(\displaystyle{ f \left( f \left( x \right) -y \right) =f \left( x \right) +f \left( f \left( y \right) -f \left( -x \right) \right) +x}\)
ElEski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 304
Rejestracja: 22 maja 2010, o 17:20
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Pomógł: 12 razy

[Rozgrzewka OMG][MIX] Rozgrzewka przed miedzygalaktyczną OMG

Post autor: ElEski »

Ukryta treść:    
Nowe:
Wykazać, że jeśli \(\displaystyle{ a+1}\) nie jest potęgą dwójki, to istnieje nieskończenie wiele \(\displaystyle{ n}\), że
\(\displaystyle{ n}\) dzieli \(\displaystyle{ a^{n} + 1}\)

Oczywiście \(\displaystyle{ a,n}\) dodatnie naturalne..
Awatar użytkownika
Ponewor
Moderator
Moderator
Posty: 2218
Rejestracja: 30 sty 2012, o 21:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 70 razy
Pomógł: 297 razy

[Rozgrzewka OMG][MIX] Rozgrzewka przed miedzygalaktyczną OMG

Post autor: Ponewor »

Wybaczcie, nie wiedziałem, że tamto takie znane jest.
Ukryta treść:    
Nowe po południu, no chyba, że ktoś przejmie - droga wolna.
Awatar użytkownika
Swistak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1874
Rejestracja: 30 wrz 2007, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 99 razy
Pomógł: 87 razy

[Rozgrzewka OMG][MIX] Rozgrzewka przed miedzygalaktyczną OMG

Post autor: Swistak »

Trywialny? I don't think so. Istotnie z tego to idzie, ale żeby to było trywialne, to na pewno bym nie powiedział.

-- 23 lutego 2013, 13:52 --

A nie, OK, pomyliło mi się z innym zadankiem, które trochę inaczej wyglądało :P
To może i jest trywialny, nie chce mi się tego analizować ; p.
Awatar użytkownika
Ponewor
Moderator
Moderator
Posty: 2218
Rejestracja: 30 sty 2012, o 21:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 70 razy
Pomógł: 297 razy

[Rozgrzewka OMG][MIX] Rozgrzewka przed miedzygalaktyczną OMG

Post autor: Ponewor »

To żeby nie było wątpliwości, czy nie zapuszczam jakiegoś ordynarnego blefa:
Ukryta treść:    
Czy teraz jest wszystko w porządku?
jakub_jabulko
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 109
Rejestracja: 12 lut 2013, o 20:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 1 raz

[Rozgrzewka OMG][MIX] Rozgrzewka przed miedzygalaktyczną OMG

Post autor: jakub_jabulko »

pewnie tak. a teraz chamskie zadanie, którego nikt pewnie nie ruszy:
Ukryta treść:    
Awatar użytkownika
Ponewor
Moderator
Moderator
Posty: 2218
Rejestracja: 30 sty 2012, o 21:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 70 razy
Pomógł: 297 razy

[Rozgrzewka OMG][MIX] Rozgrzewka przed miedzygalaktyczną OMG

Post autor: Ponewor »

Ukryta treść:    
jakub_jabulko
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 109
Rejestracja: 12 lut 2013, o 20:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 1 raz

[Rozgrzewka OMG][MIX] Rozgrzewka przed miedzygalaktyczną OMG

Post autor: jakub_jabulko »

trzeba chyba najpierw wykazać, że od pewnego momentu liczby pierwsze przyjmują tylko jakieś szczególne reszty modulo 5. albo czegoś nie rozumiem.
Awatar użytkownika
Swistak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1874
Rejestracja: 30 wrz 2007, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 99 razy
Pomógł: 87 razy

[Rozgrzewka OMG][MIX] Rozgrzewka przed miedzygalaktyczną OMG

Post autor: Swistak »

Armata: Tw. Dirichleta
Niearmata: Jakoś na piechotę da się wykazać, że tych dających resztę 1 mod 5 jest infty. Idea podobna do zwyczajnego dowodu na nieskończoność zbioru liczb pierwszych, ale jakoś zmodyfikowane.
Awatar użytkownika
Ponewor
Moderator
Moderator
Posty: 2218
Rejestracja: 30 sty 2012, o 21:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 70 razy
Pomógł: 297 razy

[Rozgrzewka OMG][MIX] Rozgrzewka przed miedzygalaktyczną OMG

Post autor: Ponewor »

Nie do końca rozumiem. Mówicie o pierwszym przypadku, czy o drugim? Bo jak o drugim to nie ma konieczności dowodzenia, że liczb pierwszych postaci \(\displaystyle{ 5k+1}\) jest nieskończenie wiele. Wystarczy tak:
Ukryta treść:    
Jeśli jednak pisaliście to odnośnie pierwszego przypadku to proszę o dokładniejsze wyjaśnienie i następne zadanie.
Piotr Rutkowski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2234
Rejestracja: 26 paź 2006, o 18:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 22 razy
Pomógł: 390 razy

[Rozgrzewka OMG][MIX] Rozgrzewka przed miedzygalaktyczną OMG

Post autor: Piotr Rutkowski »

jakub_jabulko, czy posiadasz rozwiązanie tego zadania? Istotnie drugi przypadek jest banalny elementarnie, ale pierwszy wydaje się być naprawdę trudny, chyba że pomijam jakiś oczywisty fakt (btw. nie widzę jak z tw. Dirichleta mielibyśmy rozwiązać to zadanie). Badanie częstości występowania liczb pierwszych pośród takich wyrażeń jak \(\displaystyle{ 4p^{2}+1}\) i w ogólności jakichkolwiek nieliniowych wyrażeń (z wyjątkiem szczególnych przypadków) jest trudne.
jakub_jabulko
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 109
Rejestracja: 12 lut 2013, o 20:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 1 raz

[Rozgrzewka OMG][MIX] Rozgrzewka przed miedzygalaktyczną OMG

Post autor: jakub_jabulko »

wymyśliłem to zadanie. bardziej chodziło mi o rozwiązanie drugiego przypadku. nie wiedziałem, że pierwszy przypadek jest taki trudny i liczyłem, że można to jakoś pomysłowo rozwiązać.
można więc chyba dać kolejne zadanie.
ODPOWIEDZ