[Teoria liczb] Teoria liczb, pare zadań

[Ahhaa]

1) Udowodnić, że 111 nie jest kwadratem liczby naturalnej w żadnym systemie liczbowym. ( Jeżeli ktoś zechce mógłby obszerniej wyjaśnić to zagadnienie bo jestem zielony jeżeli chodzi o takie zadania z innymi systemami liczbowymi i zawsze na nich padam.)

2) Uprościć iloczyn
\(\displaystyle{ (3^{2^{0}}+1)(3^{2^{1}}+1)...(3^{2^{n}}+1)}\)

3) Która liczba jest większa \(\displaystyle{ 7^{ \sqrt{5}}}\) czy \(\displaystyle{ 5^{ \sqrt{7}}}\)?

4) Znaleźć wartość wyrażenia \(\displaystyle{ \cos7 + \cos127 - \cos67}\)?

5) znaleźć różne liczby naturalne a,b,c takie, że :
\(\displaystyle{ a^{100}+b^{100}=c^{101}}\)

6) Dowieść, że \(\displaystyle{ e + ln4 > 4}\)

[tkrass]

1.

rozwiązanie:    

Niech podstawą systemu będzie \(\displaystyle{ a}\). Wtedy ta liczba wynosi \(\displaystyle{ a^2+a+1}\). Ale \(\displaystyle{ a^2<a^2+a+1<(a+1)^2}\).

3.

rozwiązanie:    

\(\displaystyle{ 7^5>5^6>5^{ \sqrt{35}}}\).

4.

rozwiązanie:    

\(\displaystyle{ \cos 127 + \cos 7 - \cos 67 = \cos 127 + \cos 113 + \cos 7 = 2 \cos 120 \cos 7 + \cos 7 = \cos 7 (2 \cos 120 + 1) = 0}\).

5.

rozwiązanie:    

\(\displaystyle{ (a \cdot (a^{100}+1))^{100}+(a^{100}+1)^{100}=(a^{100}+1)^{101}}\) dla dowolnej liczby naturalnej \(\displaystyle{ a}\).

[rumcajs]

2.

rozwiązanie:    

\(\displaystyle{ \frac{3^{2^0}-1}{3^{2^0}-1}(3^{2^0}+1)(3^{2^1}+1)(3^{2^2}+1)...(3^{2^n}+1)= \\ =\frac{3^{2^1}-1}{3^{2^0}-1}(3^{2^1}+1)(3^{2^2}+1)...(3^{2^n}+1)=\frac{3^{2^n}-1}{3^{2^0}-1}=\frac{3^{2^n}-1}{2}}\)

[abc666]

A w tym pierwszym nie ma ograniczenia co a być podstawą tego systemu? Bo jeśli dowolna liczba rzeczywista dodatnia to może być nieprawda :-p.

p.s
Wiem, że ma być normalnie. Tak tylko dla pewności pytam.

[binaj]

raczej oczywiste, że chodzi o naturalne...

zatem \(\displaystyle{ A=111_{(n)}=n^2+n+1}\) ale \(\displaystyle{ n^2<A<n^2+2n+1}\)

A leży między 2 kolejnymi kwadratami, zatem nie może być kwadratem

edit: sorry, nie zauważyłem, że już rozwiązane

[Ahhaa]

2,3,4 jasne, przy 5 nie potrzeba jakiegoś dowodu że tak naprawdę jest? czy moze jest to takie oczywiste, ale jakoś tego nie widze?

Co do pierwszego - tak jak napisałem temat systemów liczbowych to dla mnie czarna magia więc mógłby mi ktoś wyjaśnić dlaczego 111 przedstawiamy jako \(\displaystyle{ a^{2}+a+1}\)?

Zostało jeszcze 6.

[tkrass]

Z definicji systemu liczbowego.

Rozwiązanie 6. jest tak brzydkie, że aż wstydzę się pisać.

Czy w 5. te liczby mają być wszystkie parami różne, czy ma być tylko \(\displaystyle{ a \neq b}\)? Bo jeżeli to pierwsze, to moje rozwiązanie nie jest dobre.

[Ahhaa]

raczej parami różne.