Strona 1 z 2

[MIX] Warsztaty Matematyczne Staszica 2010

: 29 wrz 2010, o 18:53
autor: Swistak
No to jak rok temu wrzucę zadania, które osobiście uważam za ciekawe oraz te, których nikt nie zrobił w grupie "ubernajstarszej"/starszych drużynach na drużynówkę i mecz. (To, że nikt nie zrobił zadania determinuje to, że trafia do hardkorów, a z pozostałych wybrałem zadania, które uważam za ciekawsze.)

Zadania ciekawe:
1. Niech \(\displaystyle{ p_{n}(k)}\) oznacza liczbę permutacji zbioru \(\displaystyle{ n}\)-elementowego o \(\displaystyle{ k}\) punktach stałych.
Udowodnij: \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} k \cdot p_{n}(k)=n!}\)
2. (Sylwek) Udowodnij, że istnieje liczba Fibonacciego, która kończy się na \(\displaystyle{ 2010}\) zer.
3. (Sylwek) Niech \(\displaystyle{ k}\) będzie liczbą całkowitą i niech \(\displaystyle{ n=3^{2^{k}}-2^{2^{k}}}\). Wykazać, że \(\displaystyle{ n\mid 3^{n-1}-2^{n-1}}\).
4. Dla jakich \(\displaystyle{ k}\) całkowitych istnieje funkcja z całkowitych dodatnich w całkowite spełniająca warunki:
\(\displaystyle{ f(1995)=1996 \\ f(xy)=f(x)+f(y)+kf(gcd(x, y)).}\)
(od Swistaka: Dla każdego \(\displaystyle{ k}\) znaleźć wszystkie takie funkcje. Może to być trochę trefne zadanie, bo nie sprawdziłem, czy rzeczywiście jest to robialne, ale chyba mniej więcej wiem jak to zrobić xp.)
5. W tablicy \(\displaystyle{ n \times n}\) wypełnionej liczbami, wszystkie wiersze są różne (dwa wiersza są różne, jeśli różnią się na co najmniej jednej pozycji). Udowodnij, że istnieje kolumna, taka, że po jej usunięciu, wiersze w powstałej tablicy będą różne.
6. W sali geograficznej siedzi \(\displaystyle{ 30}\) uczniów na ustalonych miejscach. W czasie jednych zajęć dowolna para uczniów może zamienić się miejscami, jednak jeden uczeń nie może zmienić miejsca więcej niż raz w trakcie jednych zajęć. Czy po dwóch zajęciach uczniowie mogą usiąść w dowolny zadany z góry sposób?
7. Joasia i Onufry grają w następującą grę. Na tablicy są napisane liczby od 1 do 1000. Ruch polega na wymazaniu liczby, która nie jest dzielnikiem żadnej z wymazanych dotąd liczb. Przegrywa ten, kto nie może wykonać ruchu. Joasia zaczyna. Kto ma strategię wygrywającą?

Hardkory:
1. W sześcianie o krawędzi \(\displaystyle{ 1}\) jest \(\displaystyle{ 8}\) punktów. Udowodnij, że pewne dwa z nich leżą w odległości nie większej niż \(\displaystyle{ 1}\).
2. Czy istnieje liczba naturalna \(\displaystyle{ n>1}\) spełniająca następujący warunek: zbiór wszystkich liczb dodatnich całkowitych można podzielić na \(\displaystyle{ n}\) niepustych podzbiorów takich, że dowolna suma \(\displaystyle{ n-1}\) liczb naturalnych, po jednej z każdego z \(\displaystyle{ n-1}\) podzbiorów, leży w pozostałym podzbiorze.
(To zadanie w istotnej części zrobiłem na zawodach, jednak potem okazało się, że moje rozwiązanie zawiera spore luki, które później udało mi się uzupełnić, ale mimo wszystko nie można powiedzieć, abym je zrobił na zawodach, zatem trafia do tego spisu ;))
3. Dwusieczne kątów wewnętrznych \(\displaystyle{ A, B, C}\) trójkąta ostrokątnego \(\displaystyle{ ABC}\) przecinają okrąg na nim opisany odpowiednio w punktach \(\displaystyle{ D, E, F.}\) Punkty \(\displaystyle{ D', E', F'}\) są symetryczne do punktów \(\displaystyle{ D, E, F}\) odpowiednio względem prostych \(\displaystyle{ BC, CA, AB}\). Wysokości trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\) przecinaja się w punkcie \(\displaystyle{ H}\). Dowieść, że punkty \(\displaystyle{ D', E', F', H}\) leżą na jednym okręgu.
4. Niech \(\displaystyle{ A_{1}, ..., A_{n}}\) będą punktami na okręgu jednostkowym o. Dla każdego \(\displaystyle{ P \in o}\) iloczyn \(\displaystyle{ PA_{1} \cdot ... \cdot PA_{n}}\) jest mniejszy bądź równy 2. Wykazać, że A_{1}, ..., A_{n} są wierzchołkami n-kąta foremnego.
5. Dla jakich \(\displaystyle{ k}\), jeżeli wielomian \(\displaystyle{ W}\) o współczynnikach całkowitych spełnia warunek \(\displaystyle{ 0 \le W(i) \le k}\) dla \(\displaystyle{ 0 \le i \le k+1}\), to \(\displaystyle{ W(0)=W(1)=...=W(k)}\).

Na indywidualnych było jeszcze jedno zadanie, którego nikt nie zrobił, ale było ono w istotnej części podobne do zadania 10 z aktualnego I etapu OM'a, więc go nie zamieszczę oraz na meczu było 1 zadanie, którego nie zrobiła żadna z dwóch drużyn, jednak o ironio było to zadanie nr 7 z Pierwszego Meczu Matematycznego tegorocznego Zwardonia, którego ja i Wąs nie zrobiliśmy, bo gdy było prezentowanie zadań, to ja i Wąs wyjechaliśmy do Warszawy, więc nie musieliśmy się uczyć rozwiązań, a Ania nie pamięta zadań, które robiła poprzedniego dnia xp.

[MIX] Warsztaty Matematyczne Staszica 2010

: 29 wrz 2010, o 21:15
autor: Sylwek
ciekawe II:    
ciekawe III:    
ciekawe IV (piszę rzymskimi, bo w przeciwnym przypadku reklamy nie pozwalają tego rozwinąć):    

[MIX] Warsztaty Matematyczne Staszica 2010

: 29 wrz 2010, o 21:51
autor: Swistak
diss na IV:    
uwaga do III:    

[MIX] Warsztaty Matematyczne Staszica 2010

: 29 wrz 2010, o 22:34
autor: Dumel
ciekawe nr 1:
Ukryta treść:    

[MIX] Warsztaty Matematyczne Staszica 2010

: 29 wrz 2010, o 23:18
autor: Swistak
Sry, mój oczywisty błąd xp. Już poprawione.

[MIX] Warsztaty Matematyczne Staszica 2010

: 30 wrz 2010, o 10:39
autor: Dumel
ciekawe nr 5:
Ukryta treść:    

[MIX] Warsztaty Matematyczne Staszica 2010

: 30 wrz 2010, o 11:20
autor: Swistak
diss na V:    

[MIX] Warsztaty Matematyczne Staszica 2010

: 30 wrz 2010, o 12:04
autor: Dumel
jeszcze raz ciekawe nr 1:
Ukryta treść:    
poprawka do piątego:
Ukryta treść:    
co do robialności Swistakowego dodatku do zad. 4:
Ukryta treść:    
-- 30 września 2010, 14:00 --pytanie do hardkora nr 5: \(\displaystyle{ i}\) przebiega liczby naturalne czy wszystkie rzeczywiste z tego przedzialu? właściwie wychodzi na to ze rzeczywiste ale mysle ze moze sie pomyliles bo gdyby tak mialo byc to pewnie byś użył zmiennej \(\displaystyle{ x}\) a nie \(\displaystyle{ i}\)

[MIX] Warsztaty Matematyczne Staszica 2010

: 30 wrz 2010, o 15:30
autor: Mama Jerza
Harde 3:
Ukryta treść:    

[MIX] Warsztaty Matematyczne Staszica 2010

: 30 wrz 2010, o 15:38
autor: smigol
Mama Jerza fajne rozwiązanie, Teodor Ci pomagał?

[MIX] Warsztaty Matematyczne Staszica 2010

: 30 wrz 2010, o 15:42
autor: Mama Jerza
smigol pisze:Mama Jerza fajne rozwiązanie, Teodor Ci pomagał?
Był nieco niegrzeczny, więc nie pozwoliłam mu. Ale troszkę pomógł przy tym:
zad 1 harde:    
Całuję,
Mama

[MIX] Warsztaty Matematyczne Staszica 2010

: 30 wrz 2010, o 19:08
autor: Swistak
Dumel pisze:
-- 30 września 2010, 14:00 --

pytanie do hardkora nr 5: \(\displaystyle{ i}\) przebiega liczby naturalne czy wszystkie rzeczywiste z tego przedzialu? właściwie wychodzi na to ze rzeczywiste ale mysle ze moze sie pomyliles bo gdyby tak mialo byc to pewnie byś użył zmiennej \(\displaystyle{ x}\) a nie \(\displaystyle{ i}\)
Na zawodach było napisane, że rzeczywiste, ale autorom chodziło o naturalne xD. Możecie zrobić w obu wersjach .

[MIX] Warsztaty Matematyczne Staszica 2010

: 30 wrz 2010, o 19:27
autor: Mama Jerza
Harde (?)5
Ukryta treść:    

[MIX] Warsztaty Matematyczne Staszica 2010

: 30 wrz 2010, o 19:31
autor: limes123
Bardzo ładne rozwiązania, powinna Pani więcej pomagać Teodorowi.
Pozdrawiam

[MIX] Warsztaty Matematyczne Staszica 2010

: 30 wrz 2010, o 19:37
autor: Swistak
Poza tym naprawdę zachęcam do niespałowania zadania "ciekawe I" xp.

-- 30 września 2010, 18:39 --

Jerzu mówi, że dyrektorka jego gimnazjum przypisuje sobie jego zasługi, ale tak naprawdę wychodzi, że to jego mama go poprowadziła do jego sukcesów!-- 30 września 2010, 19:40 --Co za chłam, nie mogę edytować swojego pierwszego postu... -_-