[MIX] Warsztaty Matematyczne Staszica 2010
: 29 wrz 2010, o 18:53
No to jak rok temu wrzucę zadania, które osobiście uważam za ciekawe oraz te, których nikt nie zrobił w grupie "ubernajstarszej"/starszych drużynach na drużynówkę i mecz. (To, że nikt nie zrobił zadania determinuje to, że trafia do hardkorów, a z pozostałych wybrałem zadania, które uważam za ciekawsze.)
Zadania ciekawe:
1. Niech \(\displaystyle{ p_{n}(k)}\) oznacza liczbę permutacji zbioru \(\displaystyle{ n}\)-elementowego o \(\displaystyle{ k}\) punktach stałych.
Udowodnij: \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} k \cdot p_{n}(k)=n!}\)
2. (Sylwek) Udowodnij, że istnieje liczba Fibonacciego, która kończy się na \(\displaystyle{ 2010}\) zer.
3. (Sylwek) Niech \(\displaystyle{ k}\) będzie liczbą całkowitą i niech \(\displaystyle{ n=3^{2^{k}}-2^{2^{k}}}\). Wykazać, że \(\displaystyle{ n\mid 3^{n-1}-2^{n-1}}\).
4. Dla jakich \(\displaystyle{ k}\) całkowitych istnieje funkcja z całkowitych dodatnich w całkowite spełniająca warunki:
\(\displaystyle{ f(1995)=1996 \\ f(xy)=f(x)+f(y)+kf(gcd(x, y)).}\)
(od Swistaka: Dla każdego \(\displaystyle{ k}\) znaleźć wszystkie takie funkcje. Może to być trochę trefne zadanie, bo nie sprawdziłem, czy rzeczywiście jest to robialne, ale chyba mniej więcej wiem jak to zrobić xp.)
5. W tablicy \(\displaystyle{ n \times n}\) wypełnionej liczbami, wszystkie wiersze są różne (dwa wiersza są różne, jeśli różnią się na co najmniej jednej pozycji). Udowodnij, że istnieje kolumna, taka, że po jej usunięciu, wiersze w powstałej tablicy będą różne.
6. W sali geograficznej siedzi \(\displaystyle{ 30}\) uczniów na ustalonych miejscach. W czasie jednych zajęć dowolna para uczniów może zamienić się miejscami, jednak jeden uczeń nie może zmienić miejsca więcej niż raz w trakcie jednych zajęć. Czy po dwóch zajęciach uczniowie mogą usiąść w dowolny zadany z góry sposób?
7. Joasia i Onufry grają w następującą grę. Na tablicy są napisane liczby od 1 do 1000. Ruch polega na wymazaniu liczby, która nie jest dzielnikiem żadnej z wymazanych dotąd liczb. Przegrywa ten, kto nie może wykonać ruchu. Joasia zaczyna. Kto ma strategię wygrywającą?
Hardkory:
1. W sześcianie o krawędzi \(\displaystyle{ 1}\) jest \(\displaystyle{ 8}\) punktów. Udowodnij, że pewne dwa z nich leżą w odległości nie większej niż \(\displaystyle{ 1}\).
2. Czy istnieje liczba naturalna \(\displaystyle{ n>1}\) spełniająca następujący warunek: zbiór wszystkich liczb dodatnich całkowitych można podzielić na \(\displaystyle{ n}\) niepustych podzbiorów takich, że dowolna suma \(\displaystyle{ n-1}\) liczb naturalnych, po jednej z każdego z \(\displaystyle{ n-1}\) podzbiorów, leży w pozostałym podzbiorze.
(To zadanie w istotnej części zrobiłem na zawodach, jednak potem okazało się, że moje rozwiązanie zawiera spore luki, które później udało mi się uzupełnić, ale mimo wszystko nie można powiedzieć, abym je zrobił na zawodach, zatem trafia do tego spisu )
3. Dwusieczne kątów wewnętrznych \(\displaystyle{ A, B, C}\) trójkąta ostrokątnego \(\displaystyle{ ABC}\) przecinają okrąg na nim opisany odpowiednio w punktach \(\displaystyle{ D, E, F.}\) Punkty \(\displaystyle{ D', E', F'}\) są symetryczne do punktów \(\displaystyle{ D, E, F}\) odpowiednio względem prostych \(\displaystyle{ BC, CA, AB}\). Wysokości trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\) przecinaja się w punkcie \(\displaystyle{ H}\). Dowieść, że punkty \(\displaystyle{ D', E', F', H}\) leżą na jednym okręgu.
4. Niech \(\displaystyle{ A_{1}, ..., A_{n}}\) będą punktami na okręgu jednostkowym o. Dla każdego \(\displaystyle{ P \in o}\) iloczyn \(\displaystyle{ PA_{1} \cdot ... \cdot PA_{n}}\) jest mniejszy bądź równy 2. Wykazać, że A_{1}, ..., A_{n} są wierzchołkami n-kąta foremnego.
5. Dla jakich \(\displaystyle{ k}\), jeżeli wielomian \(\displaystyle{ W}\) o współczynnikach całkowitych spełnia warunek \(\displaystyle{ 0 \le W(i) \le k}\) dla \(\displaystyle{ 0 \le i \le k+1}\), to \(\displaystyle{ W(0)=W(1)=...=W(k)}\).
Na indywidualnych było jeszcze jedno zadanie, którego nikt nie zrobił, ale było ono w istotnej części podobne do zadania 10 z aktualnego I etapu OM'a, więc go nie zamieszczę oraz na meczu było 1 zadanie, którego nie zrobiła żadna z dwóch drużyn, jednak o ironio było to zadanie nr 7 z Pierwszego Meczu Matematycznego tegorocznego Zwardonia, którego ja i Wąs nie zrobiliśmy, bo gdy było prezentowanie zadań, to ja i Wąs wyjechaliśmy do Warszawy, więc nie musieliśmy się uczyć rozwiązań, a Ania nie pamięta zadań, które robiła poprzedniego dnia xp.
Zadania ciekawe:
1. Niech \(\displaystyle{ p_{n}(k)}\) oznacza liczbę permutacji zbioru \(\displaystyle{ n}\)-elementowego o \(\displaystyle{ k}\) punktach stałych.
Udowodnij: \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} k \cdot p_{n}(k)=n!}\)
2. (Sylwek) Udowodnij, że istnieje liczba Fibonacciego, która kończy się na \(\displaystyle{ 2010}\) zer.
3. (Sylwek) Niech \(\displaystyle{ k}\) będzie liczbą całkowitą i niech \(\displaystyle{ n=3^{2^{k}}-2^{2^{k}}}\). Wykazać, że \(\displaystyle{ n\mid 3^{n-1}-2^{n-1}}\).
4. Dla jakich \(\displaystyle{ k}\) całkowitych istnieje funkcja z całkowitych dodatnich w całkowite spełniająca warunki:
\(\displaystyle{ f(1995)=1996 \\ f(xy)=f(x)+f(y)+kf(gcd(x, y)).}\)
(od Swistaka: Dla każdego \(\displaystyle{ k}\) znaleźć wszystkie takie funkcje. Może to być trochę trefne zadanie, bo nie sprawdziłem, czy rzeczywiście jest to robialne, ale chyba mniej więcej wiem jak to zrobić xp.)
5. W tablicy \(\displaystyle{ n \times n}\) wypełnionej liczbami, wszystkie wiersze są różne (dwa wiersza są różne, jeśli różnią się na co najmniej jednej pozycji). Udowodnij, że istnieje kolumna, taka, że po jej usunięciu, wiersze w powstałej tablicy będą różne.
6. W sali geograficznej siedzi \(\displaystyle{ 30}\) uczniów na ustalonych miejscach. W czasie jednych zajęć dowolna para uczniów może zamienić się miejscami, jednak jeden uczeń nie może zmienić miejsca więcej niż raz w trakcie jednych zajęć. Czy po dwóch zajęciach uczniowie mogą usiąść w dowolny zadany z góry sposób?
7. Joasia i Onufry grają w następującą grę. Na tablicy są napisane liczby od 1 do 1000. Ruch polega na wymazaniu liczby, która nie jest dzielnikiem żadnej z wymazanych dotąd liczb. Przegrywa ten, kto nie może wykonać ruchu. Joasia zaczyna. Kto ma strategię wygrywającą?
Hardkory:
1. W sześcianie o krawędzi \(\displaystyle{ 1}\) jest \(\displaystyle{ 8}\) punktów. Udowodnij, że pewne dwa z nich leżą w odległości nie większej niż \(\displaystyle{ 1}\).
2. Czy istnieje liczba naturalna \(\displaystyle{ n>1}\) spełniająca następujący warunek: zbiór wszystkich liczb dodatnich całkowitych można podzielić na \(\displaystyle{ n}\) niepustych podzbiorów takich, że dowolna suma \(\displaystyle{ n-1}\) liczb naturalnych, po jednej z każdego z \(\displaystyle{ n-1}\) podzbiorów, leży w pozostałym podzbiorze.
(To zadanie w istotnej części zrobiłem na zawodach, jednak potem okazało się, że moje rozwiązanie zawiera spore luki, które później udało mi się uzupełnić, ale mimo wszystko nie można powiedzieć, abym je zrobił na zawodach, zatem trafia do tego spisu )
3. Dwusieczne kątów wewnętrznych \(\displaystyle{ A, B, C}\) trójkąta ostrokątnego \(\displaystyle{ ABC}\) przecinają okrąg na nim opisany odpowiednio w punktach \(\displaystyle{ D, E, F.}\) Punkty \(\displaystyle{ D', E', F'}\) są symetryczne do punktów \(\displaystyle{ D, E, F}\) odpowiednio względem prostych \(\displaystyle{ BC, CA, AB}\). Wysokości trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\) przecinaja się w punkcie \(\displaystyle{ H}\). Dowieść, że punkty \(\displaystyle{ D', E', F', H}\) leżą na jednym okręgu.
4. Niech \(\displaystyle{ A_{1}, ..., A_{n}}\) będą punktami na okręgu jednostkowym o. Dla każdego \(\displaystyle{ P \in o}\) iloczyn \(\displaystyle{ PA_{1} \cdot ... \cdot PA_{n}}\) jest mniejszy bądź równy 2. Wykazać, że A_{1}, ..., A_{n} są wierzchołkami n-kąta foremnego.
5. Dla jakich \(\displaystyle{ k}\), jeżeli wielomian \(\displaystyle{ W}\) o współczynnikach całkowitych spełnia warunek \(\displaystyle{ 0 \le W(i) \le k}\) dla \(\displaystyle{ 0 \le i \le k+1}\), to \(\displaystyle{ W(0)=W(1)=...=W(k)}\).
Na indywidualnych było jeszcze jedno zadanie, którego nikt nie zrobił, ale było ono w istotnej części podobne do zadania 10 z aktualnego I etapu OM'a, więc go nie zamieszczę oraz na meczu było 1 zadanie, którego nie zrobiła żadna z dwóch drużyn, jednak o ironio było to zadanie nr 7 z Pierwszego Meczu Matematycznego tegorocznego Zwardonia, którego ja i Wąs nie zrobiliśmy, bo gdy było prezentowanie zadań, to ja i Wąs wyjechaliśmy do Warszawy, więc nie musieliśmy się uczyć rozwiązań, a Ania nie pamięta zadań, które robiła poprzedniego dnia xp.