[MIX] Warsztaty Matematyczne Staszica 2010

Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Awatar użytkownika
Swistak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1874
Rejestracja: 30 wrz 2007, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 99 razy
Pomógł: 87 razy

[MIX] Warsztaty Matematyczne Staszica 2010

Post autor: Swistak » 29 wrz 2010, o 18:53

No to jak rok temu wrzucę zadania, które osobiście uważam za ciekawe oraz te, których nikt nie zrobił w grupie "ubernajstarszej"/starszych drużynach na drużynówkę i mecz. (To, że nikt nie zrobił zadania determinuje to, że trafia do hardkorów, a z pozostałych wybrałem zadania, które uważam za ciekawsze.)

Zadania ciekawe:
1. Niech \(\displaystyle{ p_{n}(k)}\) oznacza liczbę permutacji zbioru \(\displaystyle{ n}\)-elementowego o \(\displaystyle{ k}\) punktach stałych.
Udowodnij: \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} k \cdot p_{n}(k)=n!}\)
2. (Sylwek) Udowodnij, że istnieje liczba Fibonacciego, która kończy się na \(\displaystyle{ 2010}\) zer.
3. (Sylwek) Niech \(\displaystyle{ k}\) będzie liczbą całkowitą i niech \(\displaystyle{ n=3^{2^{k}}-2^{2^{k}}}\). Wykazać, że \(\displaystyle{ n\mid 3^{n-1}-2^{n-1}}\).
4. Dla jakich \(\displaystyle{ k}\) całkowitych istnieje funkcja z całkowitych dodatnich w całkowite spełniająca warunki:
\(\displaystyle{ f(1995)=1996 \\ f(xy)=f(x)+f(y)+kf(gcd(x, y)).}\)
(od Swistaka: Dla każdego \(\displaystyle{ k}\) znaleźć wszystkie takie funkcje. Może to być trochę trefne zadanie, bo nie sprawdziłem, czy rzeczywiście jest to robialne, ale chyba mniej więcej wiem jak to zrobić xp.)
5. W tablicy \(\displaystyle{ n \times n}\) wypełnionej liczbami, wszystkie wiersze są różne (dwa wiersza są różne, jeśli różnią się na co najmniej jednej pozycji). Udowodnij, że istnieje kolumna, taka, że po jej usunięciu, wiersze w powstałej tablicy będą różne.
6. W sali geograficznej siedzi \(\displaystyle{ 30}\) uczniów na ustalonych miejscach. W czasie jednych zajęć dowolna para uczniów może zamienić się miejscami, jednak jeden uczeń nie może zmienić miejsca więcej niż raz w trakcie jednych zajęć. Czy po dwóch zajęciach uczniowie mogą usiąść w dowolny zadany z góry sposób?
7. Joasia i Onufry grają w następującą grę. Na tablicy są napisane liczby od 1 do 1000. Ruch polega na wymazaniu liczby, która nie jest dzielnikiem żadnej z wymazanych dotąd liczb. Przegrywa ten, kto nie może wykonać ruchu. Joasia zaczyna. Kto ma strategię wygrywającą?

Hardkory:
1. W sześcianie o krawędzi \(\displaystyle{ 1}\) jest \(\displaystyle{ 8}\) punktów. Udowodnij, że pewne dwa z nich leżą w odległości nie większej niż \(\displaystyle{ 1}\).
2. Czy istnieje liczba naturalna \(\displaystyle{ n>1}\) spełniająca następujący warunek: zbiór wszystkich liczb dodatnich całkowitych można podzielić na \(\displaystyle{ n}\) niepustych podzbiorów takich, że dowolna suma \(\displaystyle{ n-1}\) liczb naturalnych, po jednej z każdego z \(\displaystyle{ n-1}\) podzbiorów, leży w pozostałym podzbiorze.
(To zadanie w istotnej części zrobiłem na zawodach, jednak potem okazało się, że moje rozwiązanie zawiera spore luki, które później udało mi się uzupełnić, ale mimo wszystko nie można powiedzieć, abym je zrobił na zawodach, zatem trafia do tego spisu ;))
3. Dwusieczne kątów wewnętrznych \(\displaystyle{ A, B, C}\) trójkąta ostrokątnego \(\displaystyle{ ABC}\) przecinają okrąg na nim opisany odpowiednio w punktach \(\displaystyle{ D, E, F.}\) Punkty \(\displaystyle{ D', E', F'}\) są symetryczne do punktów \(\displaystyle{ D, E, F}\) odpowiednio względem prostych \(\displaystyle{ BC, CA, AB}\). Wysokości trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\) przecinaja się w punkcie \(\displaystyle{ H}\). Dowieść, że punkty \(\displaystyle{ D', E', F', H}\) leżą na jednym okręgu.
4. Niech \(\displaystyle{ A_{1}, ..., A_{n}}\) będą punktami na okręgu jednostkowym o. Dla każdego \(\displaystyle{ P \in o}\) iloczyn \(\displaystyle{ PA_{1} \cdot ... \cdot PA_{n}}\) jest mniejszy bądź równy 2. Wykazać, że A_{1}, ..., A_{n} są wierzchołkami n-kąta foremnego.
5. Dla jakich \(\displaystyle{ k}\), jeżeli wielomian \(\displaystyle{ W}\) o współczynnikach całkowitych spełnia warunek \(\displaystyle{ 0 \le W(i) \le k}\) dla \(\displaystyle{ 0 \le i \le k+1}\), to \(\displaystyle{ W(0)=W(1)=...=W(k)}\).

Na indywidualnych było jeszcze jedno zadanie, którego nikt nie zrobił, ale było ono w istotnej części podobne do zadania 10 z aktualnego I etapu OM'a, więc go nie zamieszczę oraz na meczu było 1 zadanie, którego nie zrobiła żadna z dwóch drużyn, jednak o ironio było to zadanie nr 7 z Pierwszego Meczu Matematycznego tegorocznego Zwardonia, którego ja i Wąs nie zrobiliśmy, bo gdy było prezentowanie zadań, to ja i Wąs wyjechaliśmy do Warszawy, więc nie musieliśmy się uczyć rozwiązań, a Ania nie pamięta zadań, które robiła poprzedniego dnia xp.
Ostatnio zmieniony 31 mar 2021, o 15:11 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 3 razy.
Powód: Poprawa wiadomości.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Sylwek
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2711
Rejestracja: 21 maja 2007, o 14:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 155 razy
Pomógł: 654 razy

[MIX] Warsztaty Matematyczne Staszica 2010

Post autor: Sylwek » 29 wrz 2010, o 21:15

ciekawe II:    
ciekawe III:    
ciekawe IV (piszę rzymskimi, bo w przeciwnym przypadku reklamy nie pozwalają tego rozwinąć):    

Awatar użytkownika
Swistak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1874
Rejestracja: 30 wrz 2007, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 99 razy
Pomógł: 87 razy

[MIX] Warsztaty Matematyczne Staszica 2010

Post autor: Swistak » 29 wrz 2010, o 21:51

diss na IV:    
uwaga do III:    

Dumel
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2000
Rejestracja: 19 lut 2008, o 17:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Stare Pole/Kraków
Podziękował: 60 razy
Pomógł: 202 razy

[MIX] Warsztaty Matematyczne Staszica 2010

Post autor: Dumel » 29 wrz 2010, o 22:34

ciekawe nr 1:
Ukryta treść:    

Awatar użytkownika
Swistak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1874
Rejestracja: 30 wrz 2007, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 99 razy
Pomógł: 87 razy

[MIX] Warsztaty Matematyczne Staszica 2010

Post autor: Swistak » 29 wrz 2010, o 23:18

Sry, mój oczywisty błąd xp. Już poprawione.

Dumel
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2000
Rejestracja: 19 lut 2008, o 17:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Stare Pole/Kraków
Podziękował: 60 razy
Pomógł: 202 razy

[MIX] Warsztaty Matematyczne Staszica 2010

Post autor: Dumel » 30 wrz 2010, o 10:39

ciekawe nr 5:
Ukryta treść:    

Awatar użytkownika
Swistak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1874
Rejestracja: 30 wrz 2007, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 99 razy
Pomógł: 87 razy

[MIX] Warsztaty Matematyczne Staszica 2010

Post autor: Swistak » 30 wrz 2010, o 11:20

diss na V:    

Dumel
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2000
Rejestracja: 19 lut 2008, o 17:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Stare Pole/Kraków
Podziękował: 60 razy
Pomógł: 202 razy

[MIX] Warsztaty Matematyczne Staszica 2010

Post autor: Dumel » 30 wrz 2010, o 12:04

jeszcze raz ciekawe nr 1:
Ukryta treść:    
poprawka do piątego:
Ukryta treść:    
co do robialności Swistakowego dodatku do zad. 4:
Ukryta treść:    
-- 30 września 2010, 14:00 --pytanie do hardkora nr 5: \(\displaystyle{ i}\) przebiega liczby naturalne czy wszystkie rzeczywiste z tego przedzialu? właściwie wychodzi na to ze rzeczywiste ale mysle ze moze sie pomyliles bo gdyby tak mialo byc to pewnie byś użył zmiennej \(\displaystyle{ x}\) a nie \(\displaystyle{ i}\)

Awatar użytkownika
Mama Jerza
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14
Rejestracja: 25 wrz 2010, o 20:06
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Jerzanora k. Rzeszowa
Pomógł: 4 razy

[MIX] Warsztaty Matematyczne Staszica 2010

Post autor: Mama Jerza » 30 wrz 2010, o 15:30

Harde 3:
Ukryta treść:    

Awatar użytkownika
smigol
Korepetytor
Korepetytor
Posty: 3454
Rejestracja: 20 paź 2007, o 23:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 89 razy
Pomógł: 353 razy

[MIX] Warsztaty Matematyczne Staszica 2010

Post autor: smigol » 30 wrz 2010, o 15:38

Mama Jerza fajne rozwiązanie, Teodor Ci pomagał?

Awatar użytkownika
Mama Jerza
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14
Rejestracja: 25 wrz 2010, o 20:06
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Jerzanora k. Rzeszowa
Pomógł: 4 razy

[MIX] Warsztaty Matematyczne Staszica 2010

Post autor: Mama Jerza » 30 wrz 2010, o 15:42

smigol pisze:Mama Jerza fajne rozwiązanie, Teodor Ci pomagał?
Był nieco niegrzeczny, więc nie pozwoliłam mu. Ale troszkę pomógł przy tym:
zad 1 harde:    
Całuję,
Mama
Ostatnio zmieniony 30 wrz 2010, o 19:36 przez Mama Jerza, łącznie zmieniany 1 raz.

Awatar użytkownika
Swistak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1874
Rejestracja: 30 wrz 2007, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 99 razy
Pomógł: 87 razy

[MIX] Warsztaty Matematyczne Staszica 2010

Post autor: Swistak » 30 wrz 2010, o 19:08

Dumel pisze:
-- 30 września 2010, 14:00 --

pytanie do hardkora nr 5: \(\displaystyle{ i}\) przebiega liczby naturalne czy wszystkie rzeczywiste z tego przedzialu? właściwie wychodzi na to ze rzeczywiste ale mysle ze moze sie pomyliles bo gdyby tak mialo byc to pewnie byś użył zmiennej \(\displaystyle{ x}\) a nie \(\displaystyle{ i}\)
Na zawodach było napisane, że rzeczywiste, ale autorom chodziło o naturalne xD. Możecie zrobić w obu wersjach .

Awatar użytkownika
Mama Jerza
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14
Rejestracja: 25 wrz 2010, o 20:06
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Jerzanora k. Rzeszowa
Pomógł: 4 razy

[MIX] Warsztaty Matematyczne Staszica 2010

Post autor: Mama Jerza » 30 wrz 2010, o 19:27

Harde (?)5
Ukryta treść:    
Ostatnio zmieniony 1 paź 2010, o 09:32 przez Mama Jerza, łącznie zmieniany 1 raz.

Awatar użytkownika
limes123
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 666
Rejestracja: 21 sty 2008, o 22:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ustroń
Podziękował: 26 razy
Pomógł: 93 razy

[MIX] Warsztaty Matematyczne Staszica 2010

Post autor: limes123 » 30 wrz 2010, o 19:31

Bardzo ładne rozwiązania, powinna Pani więcej pomagać Teodorowi.
Pozdrawiam

Awatar użytkownika
Swistak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1874
Rejestracja: 30 wrz 2007, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 99 razy
Pomógł: 87 razy

[MIX] Warsztaty Matematyczne Staszica 2010

Post autor: Swistak » 30 wrz 2010, o 19:37

Poza tym naprawdę zachęcam do niespałowania zadania "ciekawe I" xp.

-- 30 września 2010, 18:39 --

Jerzu mówi, że dyrektorka jego gimnazjum przypisuje sobie jego zasługi, ale tak naprawdę wychodzi, że to jego mama go poprowadziła do jego sukcesów!-- 30 września 2010, 19:40 --Co za chłam, nie mogę edytować swojego pierwszego postu... -_-

ODPOWIEDZ