Matematyka.pl

4.Wielokąt wypukły A leży we wnętrzu wielokąta B. Udowodnij, że obwód A jest nie większy niż obwód B.

Weźmy dowolny bok wewnętrznego i przedłużmy do przecięcia z zewnętrznym (tak w jedną stronę), a następnie poprowadźmy z otrzymanego punktu przecięcia odcinek do następnego wierzchołka A. Skoro A jest wypukły, to utworzył nam się trójkącik o dwóch wierzchołkach w wierzchołkach B i jednym na obwodzie A. Zastąpmy B większym wielokątem. Z nierówności trójkąta obwód się nie zmniejszmy, a kontynuowanie tej operacji sprawi, że wszystkie wierzchołki znajdą się na obwodzie A, a wtedy wystarczy zastosować nierówność trójkąta do ewentualnych uciętych rogów aby przekonać się, że ostatni otrzymany wielokąt ma obwód nie większy niż A, co kończy dowód.