[Nierówności][Planimetria] Wielokąt wypukły zamknięty w większym, rówanie obwodów!

Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Jankiellol
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 23 wrz 2010, o 01:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Zambrów

[Nierówności][Planimetria] Wielokąt wypukły zamknięty w większym, rówanie obwodów!

Post autor: Jankiellol » 23 wrz 2010, o 02:08

4.Wielokąt wypukły A leży we wnętrzu wielokąta B. Udowodnij, że obwód A jest nie większy niż obwód B.

pawels
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 304
Rejestracja: 5 wrz 2009, o 20:15
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 33 razy

[Nierówności][Planimetria] Wielokąt wypukły zamknięty w większym, rówanie obwodów!

Post autor: pawels » 23 wrz 2010, o 11:28

Weźmy dowolny bok wewnętrznego i przedłużmy do przecięcia z zewnętrznym (tak w jedną stronę), a następnie poprowadźmy z otrzymanego punktu przecięcia odcinek do następnego wierzchołka A. Skoro A jest wypukły, to utworzył nam się trójkącik o dwóch wierzchołkach w wierzchołkach B i jednym na obwodzie A. Zastąpmy B większym wielokątem. Z nierówności trójkąta obwód się nie zmniejszmy, a kontynuowanie tej operacji sprawi, że wszystkie wierzchołki znajdą się na obwodzie A, a wtedy wystarczy zastosować nierówność trójkąta do ewentualnych uciętych rogów aby przekonać się, że ostatni otrzymany wielokąt ma obwód nie większy niż A, co kończy dowód.

ODPOWIEDZ