[Nierówności][Planimetria] nierówność w trójkącie

robin5hood · Post autor: **robin5hood** » 5 wrz 2010, o 18:04

1. Pokaż że w dowolnym trójkącie zachodzi nierówność
\(\displaystyle{ s^2 \,\leq \,\frac {1}{4}\,(23 - \sqrt {17})\,R^2 + (4 + \sqrt {17})\,r^2}\)
gdzie s- połowa obwodu

2. Pokaż że gdy \(\displaystyle{ \leq}\) zastąpimy \(\displaystyle{ =}\) to wtedy zachodzi ta równość dla trójkata równobocznego i jeszcze jednego trójkąta. Znajdz kąty tego trojkata.

XMaS11 · Post autor: **XMaS11** » 5 wrz 2010, o 19:32

Skąd Ty bierzesz takie zadania ?

robin5hood · Post autor: **robin5hood** » 5 wrz 2010, o 19:54

np z długich i krótkich list ....

XMaS11 · Post autor: **XMaS11** » 5 wrz 2010, o 19:57

Moge Ci wyslac imo compendium jak chcesz, tam sa rozwiazania wielu zadan z dlugich i krotkich list.

robin5hood · Post autor: **robin5hood** » 5 wrz 2010, o 21:29

te najnowsze?

timon92 · Post autor: **timon92** » 1 sie 2012, o 13:05

ten drugi trójkąt jest równoramienny i ma kąty przy podstawie równe \(\displaystyle{ 2 \arctan \sqrt{\frac{\sqrt{17}-3}{2}} \approx 73.6934514761^\circ}\)

pozdro

Swistak · Post autor: **Swistak** » 1 sie 2012, o 15:58

Hahahahahahaha, NIE WIERZĘ, zrobiłeś to legendarne zadanie xDD?
Napisz rozw. : D. Wolfram pomagał ?

timon92 · Post autor: **timon92** » 1 sie 2012, o 16:33

niestety nie do końca, nie umiem pokazać, że z nierównoramiennego trójkąta można zrobić "lepszy" trójkąt równoramienny

ale gdybyśmy mogli rozważać tylko równoramienne, to ciśniemy tak:
dzielimy obustronnie przez \(\displaystyle{ R^2}\) i korzystamy z tożsamości \(\displaystyle{ \sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma = \frac s R}\) oraz \(\displaystyle{ \cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma = 1 + \frac r R}\)

jeśli więc \(\displaystyle{ \alpha = \beta, \gamma = \pi - 2 \alpha}\), to nierówność zapisuje się tak
\(\displaystyle{ \left( 2\sin \alpha + \sin 2 \alpha \right)^2 \le \frac{23-\sqrt{17}}{4} + \left( 4+\sqrt{17} \right) \left( 2 \cos \alpha - \cos 2\alpha - 1 \right)^2}\)

wolfram magicznie przekształca to do postaci \(\displaystyle{ 4+\sqrt{17} \le \frac{-27-14 \tan^2 \frac \alpha 2-3 \tan^4 \frac \alpha 2}{-1-10 \tan^2 \frac \alpha 2+7 \tan^4 \frac \alpha 2}}\)

okazuje się że to zachodzi, bowiem minimum funkcji \(\displaystyle{ f(t) = \frac{-27-14t-3t^2}{-1-10t+7t^2}}\) wynosi \(\displaystyle{ 4+\sqrt{17}}\) i jest osiągane dla \(\displaystyle{ t_{\min} = \frac{\sqrt{17}-3}{2}}\)

stąd wychodzi \(\displaystyle{ \tan^2 \frac \alpha 2 = \frac{\sqrt{17}-3}{2}}\) czyli jest ten śmieszny trójkąt