[Nierówności][Planimetria] nierówność w trójkącie
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
-
- Użytkownik
- Posty: 1676
- Rejestracja: 2 kwie 2007, o 14:43
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: warszawa
- Podziękował: 178 razy
- Pomógł: 17 razy
[Nierówności][Planimetria] nierówność w trójkącie
1. Pokaż że w dowolnym trójkącie zachodzi nierówność
\(\displaystyle{ s^2 \,\leq \,\frac {1}{4}\,(23 - \sqrt {17})\,R^2 + (4 + \sqrt {17})\,r^2}\)
gdzie s- połowa obwodu
2. Pokaż że gdy \(\displaystyle{ \leq}\) zastąpimy \(\displaystyle{ =}\) to wtedy zachodzi ta równość dla trójkata równobocznego i jeszcze jednego trójkąta. Znajdz kąty tego trojkata.
\(\displaystyle{ s^2 \,\leq \,\frac {1}{4}\,(23 - \sqrt {17})\,R^2 + (4 + \sqrt {17})\,r^2}\)
gdzie s- połowa obwodu
2. Pokaż że gdy \(\displaystyle{ \leq}\) zastąpimy \(\displaystyle{ =}\) to wtedy zachodzi ta równość dla trójkata równobocznego i jeszcze jednego trójkąta. Znajdz kąty tego trojkata.
-
- Użytkownik
- Posty: 1676
- Rejestracja: 2 kwie 2007, o 14:43
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: warszawa
- Podziękował: 178 razy
- Pomógł: 17 razy
- XMaS11
- Użytkownik
- Posty: 382
- Rejestracja: 6 mar 2008, o 21:40
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Suchedniów/Kielce
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 47 razy
[Nierówności][Planimetria] nierówność w trójkącie
Moge Ci wyslac imo compendium jak chcesz, tam sa rozwiazania wielu zadan z dlugich i krotkich list.
-
- Użytkownik
- Posty: 1676
- Rejestracja: 2 kwie 2007, o 14:43
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: warszawa
- Podziękował: 178 razy
- Pomógł: 17 razy
- timon92
- Użytkownik
- Posty: 1657
- Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 472 razy
[Nierówności][Planimetria] nierówność w trójkącie
ten drugi trójkąt jest równoramienny i ma kąty przy podstawie równe \(\displaystyle{ 2 \arctan \sqrt{\frac{\sqrt{17}-3}{2}} \approx 73.6934514761^\circ}\)
pozdro
pozdro
- timon92
- Użytkownik
- Posty: 1657
- Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 472 razy
[Nierówności][Planimetria] nierówność w trójkącie
niestety nie do końca, nie umiem pokazać, że z nierównoramiennego trójkąta można zrobić "lepszy" trójkąt równoramienny
ale gdybyśmy mogli rozważać tylko równoramienne, to ciśniemy tak:
dzielimy obustronnie przez \(\displaystyle{ R^2}\) i korzystamy z tożsamości \(\displaystyle{ \sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma = \frac s R}\) oraz \(\displaystyle{ \cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma = 1 + \frac r R}\)
jeśli więc \(\displaystyle{ \alpha = \beta, \gamma = \pi - 2 \alpha}\), to nierówność zapisuje się tak
\(\displaystyle{ \left( 2\sin \alpha + \sin 2 \alpha \right)^2 \le \frac{23-\sqrt{17}}{4} + \left( 4+\sqrt{17} \right) \left( 2 \cos \alpha - \cos 2\alpha - 1 \right)^2}\)
wolfram magicznie przekształca to do postaci \(\displaystyle{ 4+\sqrt{17} \le \frac{-27-14 \tan^2 \frac \alpha 2-3 \tan^4 \frac \alpha 2}{-1-10 \tan^2 \frac \alpha 2+7 \tan^4 \frac \alpha 2}}\)
okazuje się że to zachodzi, bowiem minimum funkcji \(\displaystyle{ f(t) = \frac{-27-14t-3t^2}{-1-10t+7t^2}}\) wynosi \(\displaystyle{ 4+\sqrt{17}}\) i jest osiągane dla \(\displaystyle{ t_{\min} = \frac{\sqrt{17}-3}{2}}\)
stąd wychodzi \(\displaystyle{ \tan^2 \frac \alpha 2 = \frac{\sqrt{17}-3}{2}}\) czyli jest ten śmieszny trójkąt
ale gdybyśmy mogli rozważać tylko równoramienne, to ciśniemy tak:
dzielimy obustronnie przez \(\displaystyle{ R^2}\) i korzystamy z tożsamości \(\displaystyle{ \sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma = \frac s R}\) oraz \(\displaystyle{ \cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma = 1 + \frac r R}\)
jeśli więc \(\displaystyle{ \alpha = \beta, \gamma = \pi - 2 \alpha}\), to nierówność zapisuje się tak
\(\displaystyle{ \left( 2\sin \alpha + \sin 2 \alpha \right)^2 \le \frac{23-\sqrt{17}}{4} + \left( 4+\sqrt{17} \right) \left( 2 \cos \alpha - \cos 2\alpha - 1 \right)^2}\)
wolfram magicznie przekształca to do postaci \(\displaystyle{ 4+\sqrt{17} \le \frac{-27-14 \tan^2 \frac \alpha 2-3 \tan^4 \frac \alpha 2}{-1-10 \tan^2 \frac \alpha 2+7 \tan^4 \frac \alpha 2}}\)
okazuje się że to zachodzi, bowiem minimum funkcji \(\displaystyle{ f(t) = \frac{-27-14t-3t^2}{-1-10t+7t^2}}\) wynosi \(\displaystyle{ 4+\sqrt{17}}\) i jest osiągane dla \(\displaystyle{ t_{\min} = \frac{\sqrt{17}-3}{2}}\)
stąd wychodzi \(\displaystyle{ \tan^2 \frac \alpha 2 = \frac{\sqrt{17}-3}{2}}\) czyli jest ten śmieszny trójkąt