Matematyka.pl

Witam. Zostały mi odkserowane zadanka z I etapu małej olimpiady matematycznej gimnazjalistów z roku 2002/2003(podobno "fundamenty" pod OMG) i chciałem prosić o jakieś wskazóweczki i/lub wasze rozwiązania.

Liczby całkowite dodatnie x,y,z,t spełniają równanie:
\(\displaystyle{ x ^{4} + y ^{4} + z ^{4} = t ^{4}}\)
Udowodnij, że co najmniej jedna z tych liczb jest podzielna przez 10.

W Skoczkowie Królewskim mieszkają 2003 osoby. Pewnego dnia mieszkańcy grali między sobą w szachy, przy czym liczba partii rozegranych przez każdego z mieszkańców była liczbą pierwszą. Udowodnij, że liczba mieszkańców którzy rozegrali dokładnie dwie partie jest nieparzysta.

W kwadracie ABCD o boku 1 punkty E i F są odpowiednio środkami boków AD i CD, natomiast G jest punktem przecięcia odcinków CE i BF. Udowodnij, że odcinek AG ma długość 1

Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych dodatnich a,b,c zachodzi nierówność:
\(\displaystyle{ \frac{a+b+c}{1+a^{2}+ b^{2} + c ^{2} } \le \frac{a}{1+ a^{2} } + \frac{b}{1 +b ^{2} } + \frac{c}{1 + c ^{2} }}\)

Z góry dziękuje Jeżeli umieściłem to w złym dziale to przepraszam

1. Jakie reszty z dzielenia przez 10 dają czwarte potęgi?

To jest Mała Olimpiada Matematyczna, czyli coś zdecydowanie powyżej poziomu OMG.

\(\displaystyle{ 1 \vee 6 \vee 5 \vee 0}\)

Właśnie kaszubski nie. To nie Mała Olimpiada Licealna(zadanka strona: ... piady.html), tylko JEDYNA edycja Małej Olimpiady Gimnazjalistów zoorganizowanej przez pana Tomalczyka

Kaszubski, masz jakiś sprytniejszy sposób na dokończenie pierwszego niż "łopatologiczne" pokazywanie, że zawsze wyjdzie? Bo tych kombinacji jest kilkanaście..

Jakoś nie widzę innych sposobów, jak rozpatrzenie kilku przypadków.

Szkoda że przez te 7 lat poziom zdecydowanie się obniżył.

Kaszubski, poziom nauczania matematyki drastycznie spada. Poza tym mamy niż demograficzny => mniej osób na konkursy.

Masz jakiś sprytny sposób na tą nierówność?Jeśli chodzi o sprytny to niekoniecznie nierówność Cauchy'ego

Dla a=b=c=-1 nie działa. Powinny być rzeczywiste nieujemne?

Faktycznie, przepraszam Powinno być rzeczywistych dodatnich.

\(\displaystyle{ \frac{a}{1+a^{2}}>\frac{a}{1+a^{2}+b^{2}+c^{2}}}\)...

Geo:
Zauważmy, że trójkąty GCF i GBC są podobne (skala 1:2). \(\displaystyle{ GC=x}\), więc \(\displaystyle{ BG=2x}\), \(\displaystyle{ GF=0,5x}\).
Poprowadźmy z punktu A prostą równoległą do odcinka CD. Oznaczmy przez H i I odpowiednio punkty przecięcia tej prostej z odcinkami BG i BC. \(\displaystyle{ BI=1/2}\) Trójkąty CGF i BHI są przystające. Zatem \(\displaystyle{ BH=x}\). Stąd \(\displaystyle{ GH=2x-x=x}\). Zatem dorysowana prosta (pop. z pkt A) jest symetralną boku BG, a zatem trójkąt ABG jest równoramienny i \(\displaystyle{ AG=AB=1}\)

ps
Pominęłam kilka wniosków. Zdaję sobie z tego sprawę.

Dostałem zadania z pierwszego dnia II etapu:
1. Udowodnij, że istnieje rosnący ciąg \(\displaystyle{ a_{n}}\) o wyrazach całkowitych dodatnich taki, że dla każdego n liczba \(\displaystyle{ a ^{2} _{n+1}+1}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ a ^{2} _{n}+1}\)
2.Kolejne boki pięciokąta wypukłego mają długość 1,2,3,4,5. Udowodnij, że w ten pieciokąt nie można wpisać okręgu.
3.Liczby rzeczywiste a,b,c,d spełniają warunek: ab + cd = ac + bd = ad + bc
Udowodnij, że :
\(\displaystyle{ bc ^{2}d ^{3} +cd ^{2} a^{3} + da^{2}b^{3} + ab^{2}c^{3} = a^{3}b^{3} + c^{3}d^{3} + abc^{2}d^{2} + a^{2}b^{2}cd}\)
Czas pracy - 270 minutek

Jest tu jeszcze jakiś cwaniak?:D

wskazówka do pierwszego:

wskazówka do drugiego:

Reszta zadanek.

Zawody drugiego stopnia - drugi dzień

1.Udowodnij, że dla dowolnej liczby rzeczywistej x zachodzi równość:

\(\displaystyle{ 126x \le 120 + x ^{2} +x ^{4}+ x ^{8} + x ^{16} + x ^{32} + x ^{64}}\)

2.Każdą z przekątnych 101-kąta foremnego pomalowano na jeden z 50 kolorów. Udowodnij, że istnieją dwie przekątne tego samego koloru mające wspólny punkt wewnętrzny.

3.Na krawędziach AB, BC, CD czworościanu foremnego ABCD o krawędzi 1 wybieramy odpowiednio punkty E,F,G. Wyznacz najmniejszą możliwą wartość sumy:
\(\displaystyle{ DE + EF + FG + GA}\)

Zawody trzeciego stopnia - pierwszy dzień
1.Wyznacz wszystkie takie trójki liczb całkowitych dodatnich x,y,z , że \(\displaystyle{ z \ge y \ge x}\) oraz
\(\displaystyle{ xyz + x + y + z = xy + yz + zx + 28}\)
2.Dany jest czworościan ABCD, w którym AB=BC=AC=CD. Udowodnij, że wszystkie kąty ściany ABD mają miarę mniejszą od 150.
3.Zbiór Z składa się z ośmiu liczb całkowitych dodatnich. Udowodnij, że istnieją dwa niepuste rozłączne podzbiory A i B zbioru Z, mające taką samą liczbę elementów, o następujących własnościach:
suma elementów zbioru A daje przy dzieleniu przez 69 taką samą resztę, jaką przy dzieleniu przez 69 daje suma elementów zbioru B.
Zawody trzeciego stopnia - pierwszy dzień
1.Ciąg \(\displaystyle{ (a _{n} )}\) liczb rzeczywistych określony jest następująco:
\(\displaystyle{ a_{1} = 1 \wedge a_{n+1}= \frac{4 ^{a _{n} } }{3 ^{a _{n} } }}\) dla \(\displaystyle{ n=1,2,3...}\)
Udowodnij,że dla dowolnej liczby całkowitej dodatniej n zachodzi nierownosc:
\(\displaystyle{ a_{n+1} < a _{n} + 1}\)
2.W pieciokącie wypukłym każdy kąt wewnętrzny jest dzielony na trzy równe katy przez dwie przekatne wychodzace z wierzcholka. Udowodnij, że pieciokat jest foremny.
3.Dana jest taka liczba całkowita dodatnia n oraz liczba pierwsza p, że liczba \(\displaystyle{ n ^{4} + 1}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ p ^{2}}\). Udowodnij, że istnieja takie liczby całkowite dodatnie a,b, że \(\displaystyle{ a \le b < p}\) oraz liczba \(\displaystyle{ a ^{4} + b ^{4}}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ p ^{2}}\)

No to po kolei:
1.: AM >=GM.

III st. dzień1. z. 1
\(\displaystyle{ (x-1)(y-1)(z-1)=27}\)