[MIX] Mała Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

[justynian]

ktoś roskminił to:

W Skoczkowie Królewskim mieszkają 2003 osoby. Pewnego dnia mieszkańcy grali między sobą w szachy, przy czym liczba partii rozegranych przez każdego z mieszkańców była liczbą pierwszą. Udowodnij, że liczba mieszkańców którzy rozegrali dokładnie dwie partie jest nieparzysta.

???

[Dumel]

dość oczywiste - suma stopni wierzchołków w grafie jest parzysta

[justynian]

uuuu ale pomogłeś ....

[laurelandilas]

Tak justynian

Ukryta treść:    

Niech \(\displaystyle{ x_{1}}\) wygrał 2 mecze, \(\displaystyle{ x_{2}}\) 2 mecze \(\displaystyle{ x_{k+1} p_{1}}\)meczów \(\displaystyle{ x_{k+2} p_{2}}\) meczów ..
Zatem liczba wszystkich meczów to: \(\displaystyle{ 2k + p_{1} + p_{2} ... + p_{2003-k}}\) Załóżmy, że \(\displaystyle{ k=2l, l \in N_{+}}\) zatem \(\displaystyle{ 4l + p_{1} + p_{2} ... + p_{2003-2l}}\) -> łączna liczba rozegranych meczów przez 2003 zawodników; \(\displaystyle{ 4l + p_{1} + p_{2} ... + p_{2003-2l} = 2m - 4l = 2(m-2l); m \in N_{+}}\) -> sprzecznosc

Dodam jeszcze, że rozkminiłem zadanie pierwsze z II etapu(pierwszy dzień)
Bezcenna okazała się tutaj wskazówka Dumela

Możemy udowodnić indukcyjnie, że \(\displaystyle{ a_{n}^{2} +1 | a_{n+1}^{2} +1}\) dla \(\displaystyle{ n \in N_{+}}\)
Z warunków zadania mamy, że ten ciąg spełnia poniższy układ warunków:
\(\displaystyle{ \begin{cases} a_{n}^{2}+1=k(a_{n+1}^2 +1) \\ a_{n+1} > a_{n} \\ a_{n} \in N_{+} \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ a _{n}^{6} + 1 = (a _{n}^2+1)(a _{n}^{4}-a_{n}^{2}+1) \wedge (a _{n}^{4}-a_{n}^{2}+1) \in Z_{+}}\)
A wzór ogólny tego ciągu : \(\displaystyle{ a_{n} = 2^{3 ^{n-1} }}\)

[smigol]

układ równań:

chyba układ warunków.

\(\displaystyle{ a_{n}^{2} +1 | a_{n+1}^{2} +1 \Leftrightarrow a_{n}^{2}+1=k(a_{n+1}^2 +1)}\)
?

Mogłeś wziąć też prostszy do wymyślenia ciąg: \(\displaystyle{ \begin{cases} a_1=2 \\ a_{n+1}=a_n^3 \end{cases}}\) bo nie musiałeś podawać wzoru ogólnego.
I coś ten zapis ze Skoczkowem Królewskim nie za bardzo, chyba.

[laurelandilas]

Zgadza się smigol, układ warunków
Skoczków jest dobrze

Uzupełnienie dosłane przez smigola

x_1,..., x_k wygrali 2 mecze.
x_{k+1} - p_1 mecżów.
.
.
.
x_{2003-k} - p_{2003-k} meczów.
Liczba 2k+p_1+...+p_{2003-k} musi być parzysta (no bo w każdej partii 2 osoby brały udział, czyli jak na wierzchołki grafu spojrzymy, to ładnie widać).
Z drugiej strony
, jeśli k jest liczbą parzystą, to: p_1+...+p_{2003-2l} jest sumą nieparzystej ilości nieparzystych składników
, czyli jest nieparzysta, zatem dodając jeszcze 4l mamy liczbę nieparzystą, sprzeczność.
Jeśli k jest nieparzyste to mamy sumę parzystej ilości nieparzystych składników czyli suma ta jest parzysta, dodając 4l mamy parzystą całkowitą sumę.