[MIX] Mała Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
laurelandilas
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 233
Rejestracja: 6 kwie 2010, o 18:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: woj. śląskie
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 6 razy

[MIX] Mała Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

Post autor: laurelandilas » 6 cze 2010, o 14:28

Witam. Zostały mi odkserowane zadanka z I etapu małej olimpiady matematycznej gimnazjalistów z roku 2002/2003(podobno "fundamenty" pod OMG) i chciałem prosić o jakieś wskazóweczki i/lub wasze rozwiązania.

Liczby całkowite dodatnie x,y,z,t spełniają równanie:
\(\displaystyle{ x ^{4} + y ^{4} + z ^{4} = t ^{4}}\)
Udowodnij, że co najmniej jedna z tych liczb jest podzielna przez 10.

W Skoczkowie Królewskim mieszkają 2003 osoby. Pewnego dnia mieszkańcy grali między sobą w szachy, przy czym liczba partii rozegranych przez każdego z mieszkańców była liczbą pierwszą. Udowodnij, że liczba mieszkańców którzy rozegrali dokładnie dwie partie jest nieparzysta.

W kwadracie ABCD o boku 1 punkty E i F są odpowiednio środkami boków AD i CD, natomiast G jest punktem przecięcia odcinków CE i BF. Udowodnij, że odcinek AG ma długość 1

Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych dodatnich a,b,c zachodzi nierówność:
\(\displaystyle{ \frac{a+b+c}{1+a^{2}+ b^{2} + c ^{2} } \le \frac{a}{1+ a^{2} } + \frac{b}{1 +b ^{2} } + \frac{c}{1 + c ^{2} }}\)

Z góry dziękuje Jeżeli umieściłem to w złym dziale to przepraszam
Ostatnio zmieniony 6 cze 2010, o 15:35 przez laurelandilas, łącznie zmieniany 1 raz.

kaszubki
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 867
Rejestracja: 12 kwie 2008, o 13:35
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 78 razy

[MIX] Mała Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

Post autor: kaszubki » 6 cze 2010, o 14:44

1. Jakie reszty z dzielenia przez 10 dają czwarte potęgi?

To jest Mała Olimpiada Matematyczna, czyli coś zdecydowanie powyżej poziomu OMG.

laurelandilas
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 233
Rejestracja: 6 kwie 2010, o 18:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: woj. śląskie
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 6 razy

[MIX] Mała Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

Post autor: laurelandilas » 6 cze 2010, o 14:52

\(\displaystyle{ 1 \vee 6 \vee 5 \vee 0}\)

Właśnie kaszubski nie. To nie Mała Olimpiada Licealna(zadanka strona: http://www-users.mat.uni.torun.pl/~send ... piady.html), tylko JEDYNA edycja Małej Olimpiady Gimnazjalistów zoorganizowanej przez pana Tomalczyka

Kaszubski, masz jakiś sprytniejszy sposób na dokończenie pierwszego niż "łopatologiczne" pokazywanie, że zawsze wyjdzie? Bo tych kombinacji jest kilkanaście..

kaszubki
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 867
Rejestracja: 12 kwie 2008, o 13:35
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 78 razy

[MIX] Mała Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

Post autor: kaszubki » 6 cze 2010, o 15:22

Jakoś nie widzę innych sposobów, jak rozpatrzenie kilku przypadków.

Szkoda że przez te 7 lat poziom zdecydowanie się obniżył.

laurelandilas
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 233
Rejestracja: 6 kwie 2010, o 18:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: woj. śląskie
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 6 razy

[MIX] Mała Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

Post autor: laurelandilas » 6 cze 2010, o 15:24

Kaszubski, poziom nauczania matematyki drastycznie spada. Poza tym mamy niż demograficzny => mniej osób na konkursy.

Masz jakiś sprytny sposób na tą nierówność?Jeśli chodzi o sprytny to niekoniecznie nierówność Cauchy'ego

kaszubki
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 867
Rejestracja: 12 kwie 2008, o 13:35
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 78 razy

[MIX] Mała Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

Post autor: kaszubki » 6 cze 2010, o 15:33

Dla a=b=c=-1 nie działa. Powinny być rzeczywiste nieujemne?

laurelandilas
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 233
Rejestracja: 6 kwie 2010, o 18:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: woj. śląskie
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 6 razy

[MIX] Mała Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

Post autor: laurelandilas » 6 cze 2010, o 15:34

Faktycznie, przepraszam Powinno być rzeczywistych dodatnich.

Piotr Rutkowski
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2233
Rejestracja: 26 paź 2006, o 18:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 22 razy
Pomógł: 389 razy

[MIX] Mała Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

Post autor: Piotr Rutkowski » 6 cze 2010, o 16:16

\(\displaystyle{ \frac{a}{1+a^{2}}>\frac{a}{1+a^{2}+b^{2}+c^{2}}}\)...

MagdaW
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 760
Rejestracja: 18 mar 2008, o 10:23
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: z Lublina
Podziękował: 32 razy
Pomógł: 177 razy

[MIX] Mała Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

Post autor: MagdaW » 6 cze 2010, o 17:28

Geo:
Zauważmy, że trójkąty GCF i GBC są podobne (skala 1:2). \(\displaystyle{ GC=x}\), więc \(\displaystyle{ BG=2x}\), \(\displaystyle{ GF=0,5x}\).
Poprowadźmy z punktu A prostą równoległą do odcinka CD. Oznaczmy przez H i I odpowiednio punkty przecięcia tej prostej z odcinkami BG i BC. \(\displaystyle{ BI=1/2}\) Trójkąty CGF i BHI są przystające. Zatem \(\displaystyle{ BH=x}\). Stąd \(\displaystyle{ GH=2x-x=x}\). Zatem dorysowana prosta (pop. z pkt A) jest symetralną boku BG, a zatem trójkąt ABG jest równoramienny i \(\displaystyle{ AG=AB=1}\)

ps
Pominęłam kilka wniosków. Zdaję sobie z tego sprawę.

laurelandilas
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 233
Rejestracja: 6 kwie 2010, o 18:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: woj. śląskie
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 6 razy

[MIX] Mała Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

Post autor: laurelandilas » 13 cze 2010, o 13:59

Dostałem zadania z pierwszego dnia II etapu:
1. Udowodnij, że istnieje rosnący ciąg \(\displaystyle{ a_{n}}\) o wyrazach całkowitych dodatnich taki, że dla każdego n liczba \(\displaystyle{ a ^{2} _{n+1}+1}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ a ^{2} _{n}+1}\)
2.Kolejne boki pięciokąta wypukłego mają długość 1,2,3,4,5. Udowodnij, że w ten pieciokąt nie można wpisać okręgu.
3.Liczby rzeczywiste a,b,c,d spełniają warunek: ab + cd = ac + bd = ad + bc
Udowodnij, że :
\(\displaystyle{ bc ^{2}d ^{3} +cd ^{2} a^{3} + da^{2}b^{3} + ab^{2}c^{3} = a^{3}b^{3} + c^{3}d^{3} + abc^{2}d^{2} + a^{2}b^{2}cd}\)
Czas pracy - 270 minutek

Jest tu jeszcze jakiś cwaniak?:D

Dumel
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2000
Rejestracja: 19 lut 2008, o 17:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Stare Pole/Kraków
Podziękował: 60 razy
Pomógł: 202 razy

[MIX] Mała Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

Post autor: Dumel » 13 cze 2010, o 16:17

wskazówka do pierwszego:
Ukryta treść:    

Awatar użytkownika
tkrass
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1464
Rejestracja: 21 lut 2008, o 13:11
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Cambridge / Warszawa
Podziękował: 10 razy
Pomógł: 186 razy

[MIX] Mała Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

Post autor: tkrass » 13 cze 2010, o 21:44

wskazówka do drugiego:
Ukryta treść:    

laurelandilas
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 233
Rejestracja: 6 kwie 2010, o 18:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: woj. śląskie
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 6 razy

[MIX] Mała Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

Post autor: laurelandilas » 23 cze 2010, o 20:07

Reszta zadanek.

Zawody drugiego stopnia - drugi dzień

1.Udowodnij, że dla dowolnej liczby rzeczywistej x zachodzi równość:

\(\displaystyle{ 126x \le 120 + x ^{2} +x ^{4}+ x ^{8} + x ^{16} + x ^{32} + x ^{64}}\)

2.Każdą z przekątnych 101-kąta foremnego pomalowano na jeden z 50 kolorów. Udowodnij, że istnieją dwie przekątne tego samego koloru mające wspólny punkt wewnętrzny.

3.Na krawędziach AB, BC, CD czworościanu foremnego ABCD o krawędzi 1 wybieramy odpowiednio punkty E,F,G. Wyznacz najmniejszą możliwą wartość sumy:
\(\displaystyle{ DE + EF + FG + GA}\)

Zawody trzeciego stopnia - pierwszy dzień
1.Wyznacz wszystkie takie trójki liczb całkowitych dodatnich x,y,z , że \(\displaystyle{ z \ge y \ge x}\) oraz
\(\displaystyle{ xyz + x + y + z = xy + yz + zx + 28}\)
2.Dany jest czworościan ABCD, w którym AB=BC=AC=CD. Udowodnij, że wszystkie kąty ściany ABD mają miarę mniejszą od 150.
3.Zbiór Z składa się z ośmiu liczb całkowitych dodatnich. Udowodnij, że istnieją dwa niepuste rozłączne podzbiory A i B zbioru Z, mające taką samą liczbę elementów, o następujących własnościach:
suma elementów zbioru A daje przy dzieleniu przez 69 taką samą resztę, jaką przy dzieleniu przez 69 daje suma elementów zbioru B.
Zawody trzeciego stopnia - pierwszy dzień
1.Ciąg \(\displaystyle{ (a _{n} )}\) liczb rzeczywistych określony jest następująco:
\(\displaystyle{ a_{1} = 1 \wedge a_{n+1}= \frac{4 ^{a _{n} } }{3 ^{a _{n} } }}\) dla \(\displaystyle{ n=1,2,3...}\)
Udowodnij,że dla dowolnej liczby całkowitej dodatniej n zachodzi nierownosc:
\(\displaystyle{ a_{n+1} < a _{n} + 1}\)
2.W pieciokącie wypukłym każdy kąt wewnętrzny jest dzielony na trzy równe katy przez dwie przekatne wychodzace z wierzcholka. Udowodnij, że pieciokat jest foremny.
3.Dana jest taka liczba całkowita dodatnia n oraz liczba pierwsza p, że liczba \(\displaystyle{ n ^{4} + 1}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ p ^{2}}\). Udowodnij, że istnieja takie liczby całkowite dodatnie a,b, że \(\displaystyle{ a \le b < p}\) oraz liczba \(\displaystyle{ a ^{4} + b ^{4}}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ p ^{2}}\)

Awatar użytkownika
smigol
Korepetytor
Korepetytor
Posty: 3454
Rejestracja: 20 paź 2007, o 23:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 89 razy
Pomógł: 353 razy

[MIX] Mała Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

Post autor: smigol » 23 cze 2010, o 20:12

No to po kolei:
1.: AM >=GM.

MagdaW
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 760
Rejestracja: 18 mar 2008, o 10:23
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: z Lublina
Podziękował: 32 razy
Pomógł: 177 razy

[MIX] Mała Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

Post autor: MagdaW » 23 cze 2010, o 20:54

III st. dzień1. z. 1
\(\displaystyle{ (x-1)(y-1)(z-1)=27}\)

ODPOWIEDZ