Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Oczywiście żadna z liczb nie jest równa zero. Z drugiego równania \(\displaystyle{ 1+y+yz = 22-xyz}\), a z pierwszego \(\displaystyle{ x(1+y+yz)=12}\), więc: \(\displaystyle{ x(22-xyz)=12 \Rightarrow xyz = 22-\frac{12}{x}}\), podobnie \(\displaystyle{ xyz = 31-\frac{21}{y}, \ xyz = 13 - \frac{30}{z}}\). Przyrównując dwa pierwsze mamy: \(\displaystyle{ 22-\frac{12}{x} = 31-\frac{21}{y} \Rightarrow y=\frac{7x}{3x+4}}\) (1)
Po podstawieniu do pierwszego z wyjściowych równań: \(\displaystyle{ x + x \cdot \frac{7x}{3x+4} + 22-\frac{12}{x} = 12 \Rightarrow 5(x-1)(x+2)(x+\frac{12}{5})=0}\)
Mamy do sprawdzenia trzy wartości \(\displaystyle{ x}\): \(\displaystyle{ 1, \ -2, -\frac{12}{5}}\). Dla każdej można z (1) obliczyć \(\displaystyle{ y}\), następnie podstawić do któregokolwiek z wyjściowych równań obliczyć \(\displaystyle{ z}\), na koniec jeszcze sprawdzić, czy działa.
PS. Sprawdziłem, rozwiązania to \(\displaystyle{ (1,1,10), \ (-2,7,-2), \ (-\frac{12}{5}, \frac{21}{4}, \ -\frac{15}{7})}\).
