[Rozgrzewka OM][MIX][Planimetria] Planimetria

Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Awatar użytkownika
Htorb
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 120
Rejestracja: 5 sie 2013, o 20:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Końskie
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 17 razy

[Rozgrzewka OM][MIX][Planimetria] Planimetria

Post autor: Htorb »

Ukryta treść:    
Niech \(\displaystyle{ D, \ E, \ F}\) będą spodkami wysokości w \(\displaystyle{ \triangle ABC}\), a \(\displaystyle{ O}\) to środek okręgu opisanego na nim. Oznaczmy \(\displaystyle{ N=AO \cap BC}\) oraz \(\displaystyle{ M=EF \cap AD}\). Niech środkami odcinków \(\displaystyle{ MN}\) i \(\displaystyle{ BC}\) będą punkty \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\). Pokazać, że \(\displaystyle{ A, \ X, \ Y}\) leżą na jednej prostej.
Pinionrzek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 393
Rejestracja: 22 wrz 2013, o 21:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bonn
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 63 razy

[Rozgrzewka OM][MIX][Planimetria] Planimetria

Post autor: Pinionrzek »

Ukryta treść:    
-- 16 cze 2016, o 22:25 --

Nowe: Okrąg wpisany w \(\displaystyle{ \triangle ABC}\) jest styczny do boków \(\displaystyle{ BC, \ AC, \ AB}\) w punktach \(\displaystyle{ D, \ E, \ F}\). Oznaczmy przez \(\displaystyle{ G}\) punkt Gergonne'a \(\displaystyle{ \triangle ABC}\), a przez \(\displaystyle{ N}\) punkt Nagela \(\displaystyle{ \triangle ABC}\). Pokazać, że ortocentrum trójkąta utworzonego z punktów \(\displaystyle{ D, \ E, \ F}\) leży na prostej \(\displaystyle{ GN}\).
Pinionrzek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 393
Rejestracja: 22 wrz 2013, o 21:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bonn
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 63 razy

[Rozgrzewka OM][MIX][Planimetria] Planimetria

Post autor: Pinionrzek »


Nowe zadanie:
Dany jest \(\displaystyle{ \triangle ABC}\). Niech \(\displaystyle{ D, \ E}\) będą spodkami wysokości z wierzchołków \(\displaystyle{ A, \ B}\). Przez \(\displaystyle{ M, \ H}\) oznaczmy odpowiednio środek boku \(\displaystyle{ AB}\) oraz ortocentrum \(\displaystyle{ ABC}\). Niech \(\displaystyle{ P, \ Q}\) będą punktami przecięcia \(\displaystyle{ O(DEM), \ O(AHB)}\), przy czym \(\displaystyle{ P}\) leży po tej samej stronie \(\displaystyle{ CH}\), co \(\displaystyle{ A}\). Pokazac, że proste \(\displaystyle{ DE, \ PH, \ MQ}\) przecinają się na \(\displaystyle{ O(ABC)}\).
pegon00
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 10
Rejestracja: 26 wrz 2014, o 23:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Końskie
Pomógł: 1 raz

[Rozgrzewka OM][MIX][Planimetria] Planimetria

Post autor: pegon00 »

Ukryta treść:    
Nowe zadanie:
Okrąg \(\displaystyle{ \omega}\) o środku \(\displaystyle{ I}\), wpisany w trókąt \(\displaystyle{ ABC}\), jest styczny do boku \(\displaystyle{ BC}\) w \(\displaystyle{ D}\). Punkt \(\displaystyle{ K}\) jest taki, że \(\displaystyle{ DK}\) jest średnicą \(\displaystyle{ \omega}\). Punkt \(\displaystyle{ M}\) jest środkiem \(\displaystyle{ AI}\). Wykaż, że prosta \(\displaystyle{ MK}\) przechodzi przez punkt Fuerbacha trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\).
Pinionrzek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 393
Rejestracja: 22 wrz 2013, o 21:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bonn
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 63 razy

[Rozgrzewka OM][MIX][Planimetria] Planimetria

Post autor: Pinionrzek »

Ukryta treść:    
-- 4 sty 2017, o 20:38 --

Zadanko:
Niech okrąg wpisany w \(\displaystyle{ \triangle ABC}\) będzie styczny do boków \(\displaystyle{ BC, \ AC, \ AB}\) w \(\displaystyle{ D, \ E, \ F}\). Przez \(\displaystyle{ K, \ L}\) oznaczmy punkty przecięcia prostych \(\displaystyle{ DE, \ DF}\) z prostą równoległą do \(\displaystyle{ BC}\) przechodzącą przez \(\displaystyle{ A}\). Pokazać, że punkt Feuerbacha \(\displaystyle{ \triangle ABC}\) leży na prostej Eulera \(\displaystyle{ \triangle DKL}\).
pegon00
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 10
Rejestracja: 26 wrz 2014, o 23:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Końskie
Pomógł: 1 raz

[Rozgrzewka OM][MIX][Planimetria] Planimetria

Post autor: pegon00 »

Ukryta treść:    
Nowe zadanie:
Punkty \(\displaystyle{ O, I_B, I_C}\) są środkami okręgów odpowiednio opisanego oraz dopisanych do boków \(\displaystyle{ CA, AB}\) w \(\displaystyle{ \triangle ABC}\). Punkty \(\displaystyle{ E,F}\) są spodkami wysokości odpowiednio z \(\displaystyle{ B, C}\), a \(\displaystyle{ Y, Z}\) są spodkami dwusiecznych z tych wierzchołków. Proste \(\displaystyle{ I_B F, I_C E}\) tną się w \(\displaystyle{ P}\). Wykaż, że \(\displaystyle{ OP \perp YZ}\).
btcaf
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 29 lip 2019, o 22:20
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Planimetria] Planimetria

Post autor: btcaf »

Ukryta treść:    
Nowe:
Niech \(\displaystyle{ ABC}\) będzie trójkątem o obwodzie \(\displaystyle{ 4}\). Punkty \(\displaystyle{ X}\), \(\displaystyle{ Y}\) leżą odpowiednio na półprostych \(\displaystyle{ AB^{ \rightarrow }}\), \(\displaystyle{ AC^{ \rightarrow }}\), przy czym \(\displaystyle{ AX=AY=1}\). Odcinki \(\displaystyle{ XY}\) i \(\displaystyle{ BC}\) przecinają się w punkcie \(\displaystyle{ M}\). Udowodnij, że obwód jednego z trójkątów \(\displaystyle{ ABM}\), \(\displaystyle{ ACM}\) jest równy \(\displaystyle{ 2}\).
robalbrowal
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 47
Rejestracja: 16 mar 2017, o 18:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Grzebień
Pomógł: 1 raz

[Rozgrzewka OM][MIX][Planimetria] Planimetria

Post autor: robalbrowal »

Bardzo fajne zadanie, pochodzi chyba z jakiejś rosyjskiej olimpiady, bardzo mi się ono podoba i jego nieskomplikowane, aczkolwiek dość niekonwencjonalne rozwiązanie.
Ukryta treść:    
Zadanie wrzucę jutro, kilka godzin odpoczynku.

-- 7 sie 2019, o 22:28 --

O prostej Simsona:
\(\displaystyle{ P_a}\)- rzut punktu \(\displaystyle{ P}\) leżącego na okręgu opisanym na trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\) na prostą \(\displaystyle{ BC}\), analogicznie pozostałe.
Wykazać, że:
1) \(\displaystyle{ \angle PP_aA =\angle PP_bB =\angle PP_cC}\),
2) prosta Simsona (łącząca punkty \(\displaystyle{ P_a, P_b, P_c}\)) przecina odcinek \(\displaystyle{ PH}\) w jego środku (\(\displaystyle{ H}\)- ortocentrum trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\)) .-- 7 sie 2019, o 22:29 --Wrzuciłem wyżej zadanie, własności być może dobrze znane ale potrzebuję ich dowodu, a nie podołałem samodzielnie
Awatar użytkownika
niunix98
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 96
Rejestracja: 19 lis 2017, o 20:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 17 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Planimetria] Planimetria

Post autor: niunix98 »

robalbrowal pisze: 4 sie 2019, o 00:13 \(\displaystyle{ P_a}\)- rzut punktu \(\displaystyle{ P}\) leżącego na okręgu opisanym na trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\) na prostą \(\displaystyle{ BC}\), analogicznie pozostałe.
Wykazać, że:
1) \(\displaystyle{ \angle PP_aA =\angle PP_bB =\angle PP_cC}\)
To nie jest prawda: prostym kontrprzykładem jest konfiguracja, w której trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\) jest równoboczny oraz punkt \(\displaystyle{ P}\) jest punktem przeciwnym do punktu \(\displaystyle{ A}\) na okręgu opisanym na \(\displaystyle{ \Delta ABC}\). Wtedy \(\displaystyle{ P_a}\) jest środkiem boku \(\displaystyle{ BC}\), więc \(\displaystyle{ \angle PP_aA = 180^{\circ}}\). Natomiast \(\displaystyle{ P_b = C}\), więc \(\displaystyle{ \angle PP_bB = 30^{\circ} }\). Potrzebne są dodatkowe założenia.

Dodano po 51 minutach 11 sekundach:
robalbrowal pisze: 4 sie 2019, o 00:13 2) prosta Simsona (łącząca punkty \(\displaystyle{ P_a, P_b, P_c}\)) przecina odcinek \(\displaystyle{ PH}\) w jego środku (\(\displaystyle{ H}\)- ortocentrum trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\)) .
Bardzo fajne zadanie.

W rozwiązaniu przydaje się pewien lemat:

Lemat
Niech \(\displaystyle{ ABCD}\) - czworokąt wpisany w okrąg oraz \(\displaystyle{ G,H}\) - ortocentra trójkątów \(\displaystyle{ ABC}\) i \(\displaystyle{ BCD}\), odpowiednio. Wówczas \(\displaystyle{ AGHD}\) jest równoległobokiem.
Dowód lematu:    
Przyjmijmy, że punkt \(\displaystyle{ P}\) leży na łuku \(\displaystyle{ BC}\) niezawierającym \(\displaystyle{ A}\). Oznaczmy punkty przecięcia prostej \(\displaystyle{ PP_a}\) z okręgiem opisanym na \(\displaystyle{ \Delta ABC}\) przez \(\displaystyle{ K}\) oraz prostej \(\displaystyle{ AH}\) z prostą Simsona przez \(\displaystyle{ L}\).

Zauważmy, że \(\displaystyle{ AL \bot BC}\) oraz \(\displaystyle{ P_a K \bot BC}\), więc \(\displaystyle{ AL \parallel KP_a}\). Ponadto \(\displaystyle{ \angle AKP = \angle ACP = \angle P_c P_a K}\) (druga równość wynika z faktu, że na czworokącie \(\displaystyle{ PC P_c P_a}\) można opisać okrąg). Stąd prosta \(\displaystyle{ AK}\) jest równoległa do prostej Simsona. Łącząc te dwa fakty orzymujemy, że \(\displaystyle{ AK P_a L}\) jest równoległobokiem.

Teraz będę korzystał z faktu, że odbicie ortocentrum trójkąta względem boku leży na okręgu opisanym na tym trójkącie. Oznaczmy przez \(\displaystyle{ K'}\) punkt symetryczny do \(\displaystyle{ K}\) względem prostej \(\displaystyle{ BC}\). Zauważmy, że w myśl tego co napisałem, \(\displaystyle{ K'}\) jest ortocentrum \(\displaystyle{ \Delta PBC}\). W takim razie nasz lemat mówi, że \(\displaystyle{ AHK'P}\) jest równoległobokiem.

Zauważmy teraz, że \(\displaystyle{ PP_a = P_a K' - PK' = P_a K - AH = AL - AH = HL}\), co w połączeniu z \(\displaystyle{ HL \parallel PP_a}\) daje nam \(\displaystyle{ HLPP_a}\) - równoległobok. Ale zauważmy, że to oznacza tezę, gdyż prosta \(\displaystyle{ LP_a}\) to prosta Simsona.

Jeszcze dzisiaj postaram się wrzucić jakieś nowe zadanie :)

Dodano po 7 minutach 33 sekundach:
Nowe zadanie:
Niech \(\displaystyle{ ABC}\) - trójkąt. Punkt \(\displaystyle{ D}\) jest spodkiem wysokości w trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\) z wierzchołka \(\displaystyle{ C}\). Punkty \(\displaystyle{ E}\) i \(\displaystyle{ F}\) są rzutami prostokątnymi punktu \(\displaystyle{ D}\) odpowiednio na proste \(\displaystyle{ BC}\) i \(\displaystyle{ CA}\). Punkty \(\displaystyle{ K}\) i \(\displaystyle{ L}\) są odpowiednio środkami odcinków \(\displaystyle{ BC}\) i \(\displaystyle{ CA}\). Proste \(\displaystyle{ FK}\) i \(\displaystyle{ EL}\) przecinają się w \(\displaystyle{ P}\). Udowodnić, że prosta \(\displaystyle{ PD}\) przechodzi przez \(\displaystyle{ O}\) - środek okręgu opisanego na trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\).
Awatar użytkownika
karolex123
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 751
Rejestracja: 22 gru 2012, o 11:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: somewhere
Podziękował: 39 razy
Pomógł: 127 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Planimetria] Planimetria

Post autor: karolex123 »

Długo się tu nic nie działo, więc pozwolę sobie wrzucić rozwiązanie powyższego zadania.
Ukryta treść:    
To teraz coś łatwiejszego:

Na bokach \(\displaystyle{ AC}\) i \(\displaystyle{ BC}\) trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\) rozważamy pary punktów \(\displaystyle{ K}\) \(\displaystyle{ L}\) o tej własności, że \(\displaystyle{ \frac{AK}{KC}=\frac{CL}{LB}}\). Proszę udowodnić, że środki odcinków \(\displaystyle{ KL}\) leżą na jednej stożkowej stycznej do prostych \(\displaystyle{ AC}\) i \(\displaystyle{ BC}\).
Awatar użytkownika
timon92
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1654
Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 472 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Planimetria] Planimetria

Post autor: timon92 »

dobrze przepisałeś treść?

te środki leżą na linii środkowej trójkąta \(ABC\) równoległej do boku \(AB\)
Awatar użytkownika
niunix98
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 96
Rejestracja: 19 lis 2017, o 20:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 17 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Planimetria] Planimetria

Post autor: niunix98 »

Chyba nie leżą. Jakby tak było, to by zachodziło \(\displaystyle{ \frac{AK}{KC} = \frac{LB}{CL}}\), a równość jest inna.
Awatar użytkownika
niunix98
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 96
Rejestracja: 19 lis 2017, o 20:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 17 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Planimetria] Planimetria

Post autor: niunix98 »

karolex123 pisze: 24 paź 2022, o 20:47 Długo się tu nic nie działo, więc pozwolę sobie wrzucić rozwiązanie powyższego zadania.
Fajne rozwiązanie. Ja znam inne, może kogoś zainteresuje.
Ukryta treść:    
Awatar użytkownika
karolex123
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 751
Rejestracja: 22 gru 2012, o 11:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: somewhere
Podziękował: 39 razy
Pomógł: 127 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Planimetria] Planimetria

Post autor: karolex123 »

timon92 pisze: 25 paź 2022, o 00:07
te środki leżą na linii środkowej trójkąta \(ABC\) równoległej do boku \(AB\)
nie leżą.

niunix98 pisze: 25 paź 2022, o 01:14
karolex123 pisze: 24 paź 2022, o 20:47 Długo się tu nic nie działo, więc pozwolę sobie wrzucić rozwiązanie powyższego zadania.
Fajne rozwiązanie. Ja znam inne, może kogoś zainteresuje.
Ukryta treść:    
Bardzo fajnie! Wiedząc już, że punkty \(\displaystyle{ D,S,P}\) są współliniowe, łatwo sprawdzić, że symetralna odcinka \(\displaystyle{ EK}\) oraz symetralna odcinka \(\displaystyle{ LF}\) przecinają się w środku odcinka \(\displaystyle{ OD}\), a więc \(\displaystyle{ O,D,S,P}\) są współliniowe!
Awatar użytkownika
timon92
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1654
Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 472 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Planimetria] Planimetria

Post autor: timon92 »

jak to nie leżą?
Załączniki
Untitled.png
ODPOWIEDZ