[Rozgrzewka OM][MIX][Planimetria] Planimetria

Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
micha73
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23
Rejestracja: 11 cze 2014, o 09:52
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Pomógł: 6 razy

[Rozgrzewka OM][MIX][Planimetria] Planimetria

Post autor: micha73 »

up:    
Awatar użytkownika
Htorb
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 120
Rejestracja: 5 sie 2013, o 20:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Końskie
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 17 razy

[Rozgrzewka OM][MIX][Planimetria] Planimetria

Post autor: Htorb »

Trochę się zastało, to może warto by wrzucać coś nowego:

Niech \(\displaystyle{ H}\) będzie ortocentrum \(\displaystyle{ \triangle ABC}\), a \(\displaystyle{ M}\) środkiem łuku \(\displaystyle{ BC}\) zawierającego \(\displaystyle{ A}\). Na bokach \(\displaystyle{ AB}\),\(\displaystyle{ AC}\) wybieramy takie punkty \(\displaystyle{ E,F}\), że \(\displaystyle{ AF=AE}\) oraz \(\displaystyle{ H \in EF}\). Pokazać, że prosta \(\displaystyle{ MH}\) zawiera środek okręgu opisanego na \(\displaystyle{ \triangle AEF}\).
Pinionrzek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 393
Rejestracja: 22 wrz 2013, o 21:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bonn
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 63 razy

[Rozgrzewka OM][MIX][Planimetria] Planimetria

Post autor: Pinionrzek »

Ukryta treść:    
Moje zadanie:
Niech \(\displaystyle{ ABC}\) będzie trójkątem ostrokątnym. Środek okręgu opisanego na nim oznaczmy przez \(\displaystyle{ O}\), a niech \(\displaystyle{ D}\) będzie rzutem prostokątnym \(\displaystyle{ A}\) na \(\displaystyle{ BC}\). Rozważmy okrąg \(\displaystyle{ \omega_A}\) przechodzący przez \(\displaystyle{ A}\), którego środek leży na \(\displaystyle{ AD}\). Załóżmy ponadto, że jest on styczny do okręgu opisanego na \(\displaystyle{ OBC}\) w \(\displaystyle{ X}\). Udowodnić, że \(\displaystyle{ AX}\) to symediana \(\displaystyle{ ABC}\).
Awatar użytkownika
Htorb
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 120
Rejestracja: 5 sie 2013, o 20:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Końskie
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 17 razy

[Rozgrzewka OM][MIX][Planimetria] Planimetria

Post autor: Htorb »

Ukryta treść:    
Niech \(\displaystyle{ ABCD}\) będzie czworokątem wpisanym w okrąg o środku \(\displaystyle{ O}\) i jednocześnie opisanym na okręgu o środku w \(\displaystyle{ I}\). Okrąg o średnicy \(\displaystyle{ AI}\) przecina okrąg opisany na czworokącie w punkcie \(\displaystyle{ A_1}\), analogicznie definiujemy \(\displaystyle{ B_1,C_1,D_1}\). Niech \(\displaystyle{ X \equiv A_1C_1 \cap B_1D_1}\). Pokazać, że \(\displaystyle{ X,I}\) i \(\displaystyle{ O}\) są współliniowe .
Awatar użytkownika
Htorb
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 120
Rejestracja: 5 sie 2013, o 20:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Końskie
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 17 razy

[Rozgrzewka OM][MIX][Planimetria] Planimetria

Post autor: Htorb »

Kurczę anoni to nie jest aż takie trudne
Ukryta treść:    
pegon00
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 10
Rejestracja: 26 wrz 2014, o 23:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Końskie
Pomógł: 1 raz

[Rozgrzewka OM][MIX][Planimetria] Planimetria

Post autor: pegon00 »

Ukryta treść:    
W trójkącie ostrokątnym \(\displaystyle{ ABC}\) punkty \(\displaystyle{ D, E, F}\) są spodkami wysokości opuszczonych z wierzchołków odpowiednio \(\displaystyle{ A, B, C}\). Punkt \(\displaystyle{ O}\) jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie \(\displaystyle{ D E F}\), a punkty \(\displaystyle{ A' , B' , C'}\) są symetryczne do odpowiednio \(\displaystyle{ D, E, F}\) względem \(\displaystyle{ O}\). Wykazać, że proste \(\displaystyle{ AA', BB', CC'}\) są współpękowe.
Awatar użytkownika
Htorb
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 120
Rejestracja: 5 sie 2013, o 20:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Końskie
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 17 razy

[Rozgrzewka OM][MIX][Planimetria] Planimetria

Post autor: Htorb »

Ukryta treść:    
Niech \(\displaystyle{ ABCD}\) będzie czworokątem wpisanym w okręg takim, że \(\displaystyle{ \triangle BCD}\) oraz \(\displaystyle{ \triangle ACD}\) nie są równoboczne. Udowodnić, że jeżeli prosta Simsona wierzchołka \(\displaystyle{ A}\) względem \(\displaystyle{ \triangle BCD}\) jest prostopadła do prostej Eulera \(\displaystyle{ \triangle BCD}\) to prosta Simsona punktu \(\displaystyle{ B}\) względem \(\displaystyle{ \triangle ACD}\) jest prostopadła do prostej Eulera \(\displaystyle{ \triangle ACD}\)
Awatar użytkownika
timon92
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1654
Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 472 razy

[Rozgrzewka OM][MIX][Planimetria] Planimetria

Post autor: timon92 »

zadanie z poprzedniego posta to oczywiście głupawy żart, nie mam nic przeciwko jeśli zostanie usunięte

nowe zadanie: Punkty \(\displaystyle{ P}\) i \(\displaystyle{ Q}\) leżą na boku \(\displaystyle{ BC}\) trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\), przy czym \(\displaystyle{ BP=QC}\). Proste prostopadłe do \(\displaystyle{ BC}\) przechodzące przez \(\displaystyle{ P}\) i \(\displaystyle{ Q}\) przecinają \(\displaystyle{ AC}\) i \(\displaystyle{ AB}\) w punktach \(\displaystyle{ E}\) i \(\displaystyle{ F}\) odpowiednio. Niech \(\displaystyle{ M}\) będzie punktem wspólnym prostych \(\displaystyle{ PF}\) i \(\displaystyle{ EQ}\). Niech \(\displaystyle{ H_1}\) i \(\displaystyle{ H_2}\) będą ortocentrami trójkątów \(\displaystyle{ BFP}\) i \(\displaystyle{ CEQ}\). Udowodnić, że \(\displaystyle{ AM \perp H_1H_2}\).
Pinionrzek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 393
Rejestracja: 22 wrz 2013, o 21:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bonn
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 63 razy

[Rozgrzewka OM][MIX][Planimetria] Planimetria

Post autor: Pinionrzek »

Ukryta treść:    
Nowe zadanie: W trójkącie nierównobocznym \(\displaystyle{ ABC}\) okrąg wpisany jest styczny do \(\displaystyle{ AC, AB}\) w punktach \(\displaystyle{ E, F}\). \(\displaystyle{ I}\) to incetrum tego trójkąta. Niech styczne do okręgu opisanego na \(\displaystyle{ AEF}\) przecinają się w \(\displaystyle{ S}\). \(\displaystyle{ T=EF \cap BC}\). Pokazać, że okrąg o średnicy \(\displaystyle{ ST}\) i okrąg Feuerbacha \(\displaystyle{ BIC}\) są ortogonalne.
Awatar użytkownika
Htorb
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 120
Rejestracja: 5 sie 2013, o 20:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Końskie
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 17 razy

[Rozgrzewka OM][MIX][Planimetria] Planimetria

Post autor: Htorb »


Tak trochę dziwnie wrzucać link do rozwiązania, ale nie było sensu go przepisywać. Może znajdź jakieś inne zadanie.
Pinionrzek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 393
Rejestracja: 22 wrz 2013, o 21:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bonn
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 63 razy

[Rozgrzewka OM][MIX][Planimetria] Planimetria

Post autor: Pinionrzek »

Obawiałem się właśnie, że dla Ciebie, konesera tajwańskich TST, to zadanie może być znane xD.
Może w takim razie coś takiego: Dany jest czworokąt wypukły \(\displaystyle{ ABCD}\) i punkt \(\displaystyle{ P}\) należący do boku \(\displaystyle{ AB}\). Niech \(\displaystyle{ \omega}\) będzie okręgiem wpisanym w \(\displaystyle{ CPD}\) o środku w \(\displaystyle{ I}\). Załóżmy, że \(\displaystyle{ \omega}\) jest styczny do okręgów wpisanych w \(\displaystyle{ APD, BPC}\) w punktach \(\displaystyle{ K, L}\). Niech \(\displaystyle{ E=AC \cap BD, F=AK \cap BL}\). Pokazać, że \(\displaystyle{ E, I, F}\) są współliniowe.
Awatar użytkownika
Htorb
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 120
Rejestracja: 5 sie 2013, o 20:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Końskie
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 17 razy

[Rozgrzewka OM][MIX][Planimetria] Planimetria

Post autor: Htorb »

To natomiast było w tym roku na Mszanie, daj coś innego, do trzech razy sztuka
Pinionrzek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 393
Rejestracja: 22 wrz 2013, o 21:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bonn
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 63 razy

[Rozgrzewka OM][MIX][Planimetria] Planimetria

Post autor: Pinionrzek »

Kurde, nie wiedziałem, a takie ładne zadanie .
Dany jest trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\). Niech okrąg weń wpisany \(\displaystyle{ \omega}\) będzie styczny do \(\displaystyle{ BC, CA, AB}\) w \(\displaystyle{ D, E, F}\). Niech \(\displaystyle{ K, M}\) będą środkami \(\displaystyle{ AB, BC}\). \(\displaystyle{ Q=KM \cap EF}\). Niech \(\displaystyle{ X}\) będzie drugim punktem przecięcia \(\displaystyle{ XD}\) z \(\displaystyle{ \omega}\). Pokazać, że \(\displaystyle{ X}\) to punkt Feuerbacha względem \(\displaystyle{ ABC}\).
Awatar użytkownika
Htorb
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 120
Rejestracja: 5 sie 2013, o 20:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Końskie
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 17 razy

[Rozgrzewka OM][MIX][Planimetria] Planimetria

Post autor: Htorb »

Ukryta treść:    
Niech \(\displaystyle{ F}\) będzie spodkiem wysokości z wierzchołka \(\displaystyle{ A}\) w trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\). Oznaczmy przez \(\displaystyle{ \omega_1, \ \omega_2}\) odpowiednio okręgi wpisane \(\displaystyle{ \triangle ABF, \ \triangle AFC}\). Wspólna styczna zewnętrzna do okręgów \(\displaystyle{ \omega_1, \ \omega_2}\) różna od \(\displaystyle{ BC}\) jest styczna do nich odpowiednio w punktach \(\displaystyle{ X, \ Y}\). Niech \(\displaystyle{ N=AB \cap XY}\), \(\displaystyle{ M=AC \cap XY}\), \(\displaystyle{ P= BX \cap CY, \ Q=CN \cap BM}\). Pokazać, że \(\displaystyle{ A, \ P, \ Q}\) są współliniowe.
Awatar użytkownika
timon92
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1654
Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 472 razy

[Rozgrzewka OM][MIX][Planimetria] Planimetria

Post autor: timon92 »

Ukryta treść:    
nowe: dany jest trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\), okręgi dopisane naprzeciw wierzchołków \(\displaystyle{ A,B,C}\) to \(\displaystyle{ \omega_1, \omega_2, \omega_3}\), okrąg \(\displaystyle{ \omega_i}\) jest styczny do prostych \(\displaystyle{ BC, CA, AB}\) w punktach odpowiednio \(\displaystyle{ A_i, B_i, C_i}\) dla \(\displaystyle{ i=1,\ldots, 3}\), niech \(\displaystyle{ P,Q,R,S,T,V}\) będą środkami kolejnych boków sześciokąta \(\displaystyle{ C_1B_1A_2C_2B_3A_3}\)

udowodnić, że proste \(\displaystyle{ PS, QT, RV}\) przecinają się w jednym punkcie
ODPOWIEDZ