[Rozgrzewka OM][MIX][Planimetria] Planimetria

Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Pinionrzek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 393
Rejestracja: 22 wrz 2013, o 21:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bonn
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 63 razy

[Rozgrzewka OM][MIX][Planimetria] Planimetria

Post autor: Pinionrzek »

Ukryta treść:    
Nowe:
Dany jest trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\). Niech \(\displaystyle{ X}\) będzie takim punktem na okręgu opisanym na tym trójkącie, że \(\displaystyle{ AX \parallel BC}\). Niech dwusieczna \(\displaystyle{ \angle BAC}\) tnie \(\displaystyle{ BC}\) w \(\displaystyle{ E}\). Niech \(\displaystyle{ D}\) będzie punktem styczności okręgu wpisanego w \(\displaystyle{ ABC}\) do \(\displaystyle{ BC}\). Oznaczmy przez \(\displaystyle{ P}\) drugi punkt przecięcia \(\displaystyle{ DX}\) z okręgiem opisanym na trójkącie \(\displaystyle{ ADE}\). Pokazać, że \(\displaystyle{ AI=IP}\), gdzie \(\displaystyle{ I}\) jest incentrum \(\displaystyle{ ABC}\).
Bolciak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12
Rejestracja: 21 lut 2015, o 18:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów

[Rozgrzewka OM][MIX][Planimetria] Planimetria

Post autor: Bolciak »

Ukryta treść:    
Nowe zadanie :
Punkt \(\displaystyle{ I}\) jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\). Proste \(\displaystyle{ AI}\) i \(\displaystyle{ BI}\) przecinają ponownie okrąg opisany na tym trójkącie odpowiednio w punktach \(\displaystyle{ D}\) i \(\displaystyle{ E}\). Proste \(\displaystyle{ AE}\) i \(\displaystyle{ BD}\) przecinają się w punkcie \(\displaystyle{ T}\). Odcinek \(\displaystyle{ DE}\) jest przecina boki \(\displaystyle{ AC}\) i \(\displaystyle{ BC}\) odpowiednio w punktach \(\displaystyle{ F}\) i \(\displaystyle{ G}\). Prosta równoległa do prostej \(\displaystyle{ AI}\) przech. przez \(\displaystyle{ F}\) oraz prosta równoległa do prostej \(\displaystyle{ BI}\) przechodząca przez \(\displaystyle{ G}\) przecinają się w punkcie \(\displaystyle{ P}\). Wykazać że punkty \(\displaystyle{ P}\), \(\displaystyle{ I}\), \(\displaystyle{ T}\) leżą na 1 prostej.
Awatar użytkownika
Htorb
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 120
Rejestracja: 5 sie 2013, o 20:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Końskie
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 17 razy

[Rozgrzewka OM][MIX][Planimetria] Planimetria

Post autor: Htorb »

Ukryta treść:    
Dany jest trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\) opisany na okręgu \(\displaystyle{ \omega}\). Dwusieczna kąta \(\displaystyle{ BAC}\) przecina \(\displaystyle{ \omega}\) w punktach \(\displaystyle{ A_1}\) i \(\displaystyle{ S}\) takich, że \(\displaystyle{ A_1}\) leży bliżej \(\displaystyle{ A}\) niż \(\displaystyle{ S}\). Środek odcinka \(\displaystyle{ BC}\) oznaczmy przez \(\displaystyle{ A_2}\), analogicznie definiujemy \(\displaystyle{ B_1,B_2,C_1,C_2}\). Uwodnić, że proste \(\displaystyle{ A_1A_2, B_1B_2, C_1C_2}\) przecinają się w jednym punkcie.
Awatar użytkownika
Htorb
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 120
Rejestracja: 5 sie 2013, o 20:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Końskie
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 17 razy

[Rozgrzewka OM][MIX][Planimetria] Planimetria

Post autor: Htorb »

Nowe:

W trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\) wpisanym w okrąg \(\displaystyle{ \omega}\) wybieramy taki punkt \(\displaystyle{ H}\), że \(\displaystyle{ \angle HBA = \angle HCA}\). Niech \(\displaystyle{ K}\) będzie punktem leżącym na \(\displaystyle{ \omega}\), takim że \(\displaystyle{ \angle AKH = 90^{\circ}}\). Niech \(\displaystyle{ D,E}\) będą takimi punktami na odcinku \(\displaystyle{ BC}\), że \(\displaystyle{ \angle BHD= \angle CHE}\). Pokazać, że okrąg opisany na trójkącie \(\displaystyle{ KDE}\) jest styczny do \(\displaystyle{ \omega}\).
Bolciak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12
Rejestracja: 21 lut 2015, o 18:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów

[Rozgrzewka OM][MIX][Planimetria] Planimetria

Post autor: Bolciak »

Htorb, wrzuciłbyś rozwiązanie poprzedniego ?
Awatar użytkownika
Htorb
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 120
Rejestracja: 5 sie 2013, o 20:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Końskie
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 17 razy

[Rozgrzewka OM][MIX][Planimetria] Planimetria

Post autor: Htorb »

Powinno być w tym pdfie:

Kod: Zaznacz cały

http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/Docs/The%20second%20mid-arc%20point.pdf
Awatar użytkownika
timon92
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1654
Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 472 razy

[Rozgrzewka OM][MIX][Planimetria] Planimetria

Post autor: timon92 »

Htorb pisze:W trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\) wpisanym w okrąg \(\displaystyle{ \omega}\) wybieramy taki punkt \(\displaystyle{ H}\), że \(\displaystyle{ \angle HBA = \angle HCA}\). Niech \(\displaystyle{ K}\) będzie punktem leżącym na \(\displaystyle{ \omega}\), takim że \(\displaystyle{ \angle AKH = 90^{\circ}}\). Niech \(\displaystyle{ D,E}\) będą takimi punktami na odcinku \(\displaystyle{ BC}\), że \(\displaystyle{ \angle BHD= \angle CHE}\). Pokazać, że okrąg opisany na trójkącie \(\displaystyle{ KDE}\) jest styczny do \(\displaystyle{ \omega}\).
fajne zadanie:    
W układzie współrzędnych dane są punkty \(\displaystyle{ X_1, X_2, X_3, X_4, X_5}\), przy czym \(\displaystyle{ X_1X_2X_3X_4X_5}\) jest pięciokątem wypukłym. Niech \(\displaystyle{ \{Y_k\}=X_{k+1}X_{k+2} \cap X_{k+3}X_{k+4}}\) dla \(\displaystyle{ k=1,2,...,5}\), przy czym indeksy są brane modulo 5. Udowodnić, że jeśli następujące cztery proste \(\displaystyle{ X_1Y_1, X_2Y_2, X_3Y_3, X_4Y_4}\) są współpękowe, to przynajmniej jedna ze współrzędnych przynajmniej jednego z punktów \(\displaystyle{ X_1, X_2, X_3, X_4, X_5}\) jest liczbą niewymierną.
Pinionrzek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 393
Rejestracja: 22 wrz 2013, o 21:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bonn
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 63 razy

[Rozgrzewka OM][MIX][Planimetria] Planimetria

Post autor: Pinionrzek »

timon92, tak naprawdę równość \(\displaystyle{ \frac{BH}{CH}= \frac{CK}{BK}}\) kończy to zadanie.
Przecież skoro \(\displaystyle{ D, E}\) są izogonalnie sprzężone względem \(\displaystyle{ \angle BHC}\), to zachodzi \(\displaystyle{ \frac{BD}{DC}\cdot \frac{EB}{CE}=(\frac{BH}{CH})^2}\), zatem na mocy tego spostrzeżenia \(\displaystyle{ D, E}\) są również izogonalnie sprzężone względem \(\displaystyle{ \angle BKC}\), więc z trywialnego wniosku z jednokładności mamy tezę.
Awatar użytkownika
timon92
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1654
Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 472 razy

[Rozgrzewka OM][MIX][Planimetria] Planimetria

Post autor: timon92 »

masz rację, zupełnie zapomniałem o tym fajnym lemacie o prostych izogonalnie sprzężonych

pamiętajcie, żeby na wszelkich konkursach dowodzić wszystkich mało znanych lematów!
wtz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12
Rejestracja: 22 lut 2014, o 18:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów

[Rozgrzewka OM][MIX][Planimetria] Planimetria

Post autor: wtz »

Szanowny Panie Htorbie, ja to francusku nie szprecham i bardzo chętnie zobaczyłbym Twoje rozwiązanie tego pierwszego zadanka, bo słyszałem, że masz jakieś niestandardowe rozwiązanie. Pozdrawiamy z salonu z emilem99 i Bolciakiem, a no i jeszcze pozdro dla mamy jeża
Awatar użytkownika
timon92
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1654
Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 472 razy

[Rozgrzewka OM][MIX][Planimetria] Planimetria

Post autor: timon92 »

timon92 pisze:W układzie współrzędnych dane są punkty \(\displaystyle{ X_1, X_2, X_3, X_4, X_5}\), przy czym \(\displaystyle{ X_1X_2X_3X_4X_5}\) jest pięciokątem wypukłym. Niech \(\displaystyle{ \{Y_k\}=X_{k+1}X_{k+2} \cap X_{k+3}X_{k+4}}\) dla \(\displaystyle{ k=1,2,...,5}\), przy czym indeksy są brane modulo 5. Udowodnić, że jeśli następujące cztery proste \(\displaystyle{ X_1Y_1, X_2Y_2, X_3Y_3, X_4Y_4}\) są współpękowe, to przynajmniej jedna ze współrzędnych przynajmniej jednego z punktów \(\displaystyle{ X_1, X_2, X_3, X_4, X_5}\) jest liczbą niewymierną.
ciekawostka:    
wskazówka:    
Awatar użytkownika
timon92
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1654
Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 472 razy

[Rozgrzewka OM][MIX][Planimetria] Planimetria

Post autor: timon92 »

szkic rozwiązania:    
nowe: \(\displaystyle{ I}\) jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\), w którym \(\displaystyle{ \angle ABC=60^\circ}\) oraz \(\displaystyle{ \angle BCA = 40^\circ}\). Udowodnić, że \(\displaystyle{ AB=CI}\)
Awatar użytkownika
Htorb
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 120
Rejestracja: 5 sie 2013, o 20:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Końskie
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 17 razy

[Rozgrzewka OM][MIX][Planimetria] Planimetria

Post autor: Htorb »

Ukryta treść:    
Okrąg wpisany w trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\) jest styczny do boków \(\displaystyle{ BC, CA, AB}\) odpowiednio w punktach \(\displaystyle{ D, E, F}\). Oznaczmy przez \(\displaystyle{ K, L, H}\) rzuty punktu \(\displaystyle{ D}\) odpowiednio na proste \(\displaystyle{ AB, CA, EF}\). Niech punkt \(\displaystyle{ M}\) będzie środkiem odcinka \(\displaystyle{ KL}\). Udowodnić, że środek okręgu opisanego na trójkącie \(\displaystyle{ BCH}\) leży na prostej \(\displaystyle{ HM}\).
micha73
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23
Rejestracja: 11 cze 2014, o 09:52
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Pomógł: 6 razy

[Rozgrzewka OM][MIX][Planimetria] Planimetria

Post autor: micha73 »

Ukryta treść:    
Jeśli to jest ok, to wrzucę coś później.

Nowe: Dany jest trójkąt ostrokątny \(\displaystyle{ ABC}\). Niech punkty \(\displaystyle{ A_1, B_1, C_1}\) będą środkami boków odpowiednio \(\displaystyle{ BC, CA, AB}\). Na prostych \(\displaystyle{ B_1C_1, A_1B_1}\) wybieramy takie punkty \(\displaystyle{ E, F}\), że prosta \(\displaystyle{ BE}\) połowi kąt \(\displaystyle{ AEB_1}\), a prosta \(\displaystyle{ BF}\) połowi kąt \(\displaystyle{ CFB_1}\). Wykazać, że \(\displaystyle{ \angle BAE = \angle BCF}\).
marcin7Cd
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 139
Rejestracja: 31 gru 2013, o 13:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: łódź
Pomógł: 61 razy

[Rozgrzewka OM][MIX][Planimetria] Planimetria

Post autor: marcin7Cd »

Teza chyba jest fałszywa.
Ukryta treść:    
ODPOWIEDZ