[Rozgrzewka OM][MIX][Planimetria] Planimetria

Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
pegon00
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 10
Rejestracja: 26 wrz 2014, o 23:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Końskie
Pomógł: 1 raz

[Rozgrzewka OM][MIX][Planimetria] Planimetria

Post autor: pegon00 »

Ukryta treść:    
Nowe zadanie:
Okrąg wpisany w trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\) jest styczny do \(\displaystyle{ BC, CA, AB}\) odpowiednio w punktach \(\displaystyle{ D, E, F}\). Punkt \(\displaystyle{ P}\) leży na odcinku \(\displaystyle{ EF}\), przy czym \(\displaystyle{ PD \perp BC}\). Proste \(\displaystyle{ PB, PC}\) przecinają prostą równoległą do \(\displaystyle{ BC}\) przechodzącą przez punkt \(\displaystyle{ A}\) w \(\displaystyle{ X, Y}\). Udowodnić, że \(\displaystyle{ AX=AY=AE=AF}\).
Ostatnio zmieniony 22 mar 2015, o 07:44 przez pegon00, łącznie zmieniany 1 raz.
Pinionrzek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 393
Rejestracja: 22 wrz 2013, o 21:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bonn
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 63 razy

[Rozgrzewka OM][MIX][Planimetria] Planimetria

Post autor: Pinionrzek »

Cała teza jest niepoprawna.
Może chodziło o wykazanie, że \(\displaystyle{ AX=AY}\)? Wtedy:
Ukryta treść:    
Apeluję jednak do autora, by poprawił treść, bo moje domysły mogą być fałszywe.-- 22 mar 2015, o 12:48 --Druga część rozwiązania, czyli \(\displaystyle{ AX=AE}\):
Ukryta treść:    
Nowe zadanie:
Dany jest okrąg \(\displaystyle{ \omega}\) ze średnicą \(\displaystyle{ AB}\) oraz środkiem \(\displaystyle{ O}\). Niech \(\displaystyle{ C, D}\) będą dowolnymi punktami na tym okręgu, leżącymi po tej samej stronie \(\displaystyle{ AB}\). Niech \(\displaystyle{ S=CD \cap AB}\), przy czym \(\displaystyle{ SD<SC, SB<SA}\). Niech \(\displaystyle{ P}\) drugim punktem przecięcia okręgów opisanych na \(\displaystyle{ AOC}\) i \(\displaystyle{ BOD}\). Udowodnić, że \(\displaystyle{ \angle SPO= \frac{\pi}{2}}\)
emil99
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 55
Rejestracja: 14 gru 2013, o 23:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 4 razy

[Rozgrzewka OM][MIX][Planimetria] Planimetria

Post autor: emil99 »

Ukryta treść:    
-- 22 mar 2015, o 13:31 --Nowe:
Okrąg \(\displaystyle{ \omega}\) to okrąg opisany na trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\). Na łuku \(\displaystyle{ AB}\), niezawierającym \(\displaystyle{ C}\) wybrano punkt \(\displaystyle{ P}\). Punkty \(\displaystyle{ O_{1}}\) i \(\displaystyle{ O_{2}}\) to środki okręgów wpisanych odpowiednio w \(\displaystyle{ APC}\) i \(\displaystyle{ BPC}\). Punkt \(\displaystyle{ Q}\) jest drugim punktem przecięcia okręgu opisanego na trójkącie \(\displaystyle{ O_{1}O_{2}P}\) z \(\displaystyle{ \omega}\). Udowodnić, że położenie punktu \(\displaystyle{ Q}\) nie zależy od wyboru punktu \(\displaystyle{ P}\).
pegon00
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 10
Rejestracja: 26 wrz 2014, o 23:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Końskie
Pomógł: 1 raz

[Rozgrzewka OM][MIX][Planimetria] Planimetria

Post autor: pegon00 »

Ukryta treść:    
Nowe:
W trójkącie \(\displaystyle{ ABC (AB>AC)}\) punkty \(\displaystyle{ O, H, D}\) to odpowiednio środek okręgu opisanego, ortocentrum i spodek wysokości z wierzchołka \(\displaystyle{ A}\). Punkt \(\displaystyle{ P}\) leży na boku \(\displaystyle{ AC}\) tego trójkąta, przy czym \(\displaystyle{ \angle ODP= \frac{\pi}{2}}\). Udowodnić, że \(\displaystyle{ \angle ACB= \angle DHP}\).
emil99
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 55
Rejestracja: 14 gru 2013, o 23:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 4 razy

[Rozgrzewka OM][MIX][Planimetria] Planimetria

Post autor: emil99 »

Ukryta treść:    
-- 22 mar 2015, o 16:28 --No to nowe:
Punkt \(\displaystyle{ O}\) jest środkiem okręgu opisanego na \(\displaystyle{ ABC}\). Punkt \(\displaystyle{ H_{A}}\) to rzut \(\displaystyle{ A}\) na \(\displaystyle{ BC}\). Prosta \(\displaystyle{ AO}\) przecina okrąg opisany na trójkącie \(\displaystyle{ BCO}\) ponownie w punkcie \(\displaystyle{ A'}\). Punkty \(\displaystyle{ D}\) i \(\displaystyle{ E}\) to rzuty punktu \(\displaystyle{ A'}\) na \(\displaystyle{ AB}\) i \(\displaystyle{ AC}\). Punkt \(\displaystyle{ O_{A}}\) to środek okręgu opisanego na trójkącie \(\displaystyle{ DH_{A}E}\). Punkty \(\displaystyle{ H_{B}, O_{B}, H_{C}, O_{C}}\) definiujemy analogicznie. Wykazać, że proste \(\displaystyle{ H_{A}O_{A}, H_{B}O_{B}, H_{C}O_{C}}\) przecinają się w jednym punkcie.
Awatar użytkownika
Htorb
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 120
Rejestracja: 5 sie 2013, o 20:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Końskie
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 17 razy

[Rozgrzewka OM][MIX][Planimetria] Planimetria

Post autor: Htorb »

Ukryta treść:    
Nowe: Dany jest czworokąt wypukły \(\displaystyle{ ABCD}\). Punkty przecięcia dwusiecznych jego kątów zewnętrznych wyznaczają czworokąt \(\displaystyle{ EFGH}\), taki że punkty \(\displaystyle{ A,B,C,D}\) leżą odpowiednio na odcinkach \(\displaystyle{ HE, EF, FG, GH}\). Przez \(\displaystyle{ l_E}\) zdefiniujmy prostą prostopadłą do \(\displaystyle{ AB}\) i przechodzącą przez \(\displaystyle{ E}\), podobnie określamy \(\displaystyle{ l_F, l_G, l_H}\). Udowodnić, że w czworokąt wypukły wyznaczony przez przecięcia prostych \(\displaystyle{ l_E,l_F, l_G, l_H}\) można wpisać okrąg.
wtz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12
Rejestracja: 22 lut 2014, o 18:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów

[Rozgrzewka OM][MIX][Planimetria] Planimetria

Post autor: wtz »

kurczę, narysowałem dla kwadratu i mi nie działa, coś musi być nie tak z tym zadaniem
Bolciak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12
Rejestracja: 21 lut 2015, o 18:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów

[Rozgrzewka OM][MIX][Planimetria] Planimetria

Post autor: Bolciak »

Ukryta treść:    
Nowe zadanko:
Niech : \(\displaystyle{ ABC}\) - ostrokątny trójkąt, \(\displaystyle{ \omega}\) - okrąg wpisany w \(\displaystyle{ ABC}\), \(\displaystyle{ F}\) i \(\displaystyle{ E}\) - punkty styczności \(\displaystyle{ AB}\) i \(\displaystyle{ AC}\) z \(\displaystyle{ \omega}\), a punkty \(\displaystyle{ P, Q}\) leżą odpowiednio na bokach \(\displaystyle{ AB}\) i \(\displaystyle{ AC}\) tak, że \(\displaystyle{ PQ \parallel BC}\) i \(\displaystyle{ PQ}\) jest styczna do \(\displaystyle{ \omega}\). Niech jeszcze \(\displaystyle{ M}\) będzie środkiem \(\displaystyle{ PQ}\) i \(\displaystyle{ T=EF \cap BC}\). Udowodnić, że prosta \(\displaystyle{ TM}\) jest styczna do \(\displaystyle{ \omega}\)
emil99
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 55
Rejestracja: 14 gru 2013, o 23:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 4 razy

[Rozgrzewka OM][MIX][Planimetria] Planimetria

Post autor: emil99 »

Ukryta treść:    
-- 23 mar 2015, o 19:06 --

Nowe:
Dany jest trójkąt ostrokątny \(\displaystyle{ ABC}\). Punkty \(\displaystyle{ K, L, M}\) to środki odpowiednio \(\displaystyle{ AB, BC, CA}\). Wewnątrz trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\) wybrano taki punkt \(\displaystyle{ P}\), że \(\displaystyle{ PM:PL:PK = AC:BC:AB}\). Proste \(\displaystyle{ AP, BP, CP}\) przecinają po raz drugi okrąg opisany na trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\) w punktach \(\displaystyle{ D, E, F}\). Wykaż, że środki okręgów opisanych na trójkątach \(\displaystyle{ APF, APE, BPF, BPD, CPD, CPE}\) leżą na jednym okręgu.
pegon00
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 10
Rejestracja: 26 wrz 2014, o 23:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Końskie
Pomógł: 1 raz

[Rozgrzewka OM][MIX][Planimetria] Planimetria

Post autor: pegon00 »

Ukryta treść:    
Nowe zadanie:
Dany jest trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\). Punkty \(\displaystyle{ O, I}\) to odpowiednio środki okręgu opisanego i wpisanego w ten trójkąt (oznaczmy \(\displaystyle{ \omega}\)). Prosta \(\displaystyle{ OI}\) przecina prostą \(\displaystyle{ l}\) równoległa do \(\displaystyle{ BC}\) i styczną do \(\displaystyle{ \omega}\) w punkcie \(\displaystyle{ X}\). Na prostej \(\displaystyle{ l}\) wybieramy taki punkt \(\displaystyle{ Y}\) , że \(\displaystyle{ \angle YIX= 90^{\circ}}\). Udowodnić, że punkty \(\displaystyle{ X,O,Y,A}\) leżą na jednym okręgu.
emil99
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 55
Rejestracja: 14 gru 2013, o 23:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 4 razy

[Rozgrzewka OM][MIX][Planimetria] Planimetria

Post autor: emil99 »

Ukryta treść:    
-- 4 kwi 2015, o 16:23 --Nowe:
Czworokąt \(\displaystyle{ ABCD}\) jest wpisany w okrąg. \(\displaystyle{ F = AD \cap BC}\) oraz \(\displaystyle{ E = AB \cap CD}\). Punkty \(\displaystyle{ M}\) i \(\displaystyle{ N}\) to środki odcinków \(\displaystyle{ AC}\) i \(\displaystyle{ BD}\). Wykazać, że prosta \(\displaystyle{ EF}\) jest styczna do okręgu opisanego na trójkącie \(\displaystyle{ FNM}\).
Awatar użytkownika
Htorb
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 120
Rejestracja: 5 sie 2013, o 20:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Końskie
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 17 razy

[Rozgrzewka OM][MIX][Planimetria] Planimetria

Post autor: Htorb »

Ukryta treść:    
Na okręgu opisanym na trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\) wybieramy punkt \(\displaystyle{ P}\). Z punktu \(\displaystyle{ P}\) prowadzimy styczne do okręgu wpisanego, które przecinają prostą \(\displaystyle{ BC}\) w punktach \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\). Udowodnić, że okręgi opisane na trójkątach \(\displaystyle{ PXY}\) niezależnie od wyboru \(\displaystyle{ P}\) mają punkt wspólny.
Awatar użytkownika
Htorb
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 120
Rejestracja: 5 sie 2013, o 20:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Końskie
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 17 razy

[Rozgrzewka OM][MIX][Planimetria] Planimetria

Post autor: Htorb »

Nowe:
Niech \(\displaystyle{ I}\) oraz \(\displaystyle{ O}\) będą odpowiednio środkami okręgu wpisanego i opisanego na trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\). Oznaczmy przez \(\displaystyle{ \omega_A}\) okrąg przechodzący przez \(\displaystyle{ B}\) i \(\displaystyle{ C}\) styczny do okręgu wpisanego w trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\), \(\displaystyle{ \omega_B}\) oraz \(\displaystyle{ \omega_C}\) definiujemy analogicznie. Udowodnić, że środek potęgowy \(\displaystyle{ \omega_A}\), \(\displaystyle{ \omega_B}\), \(\displaystyle{ \omega_C}\) leży na prostej \(\displaystyle{ OI}\).
wtz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12
Rejestracja: 22 lut 2014, o 18:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów

[Rozgrzewka OM][MIX][Planimetria] Planimetria

Post autor: wtz »

Htorb, a mógłbyś wrzucić rozwiązanie tamtego wcześniejszego xD?
Awatar użytkownika
Htorb
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 120
Rejestracja: 5 sie 2013, o 20:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Końskie
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 17 razy

[Rozgrzewka OM][MIX][Planimetria] Planimetria

Post autor: Htorb »

Pewnie
Ukryta treść:    
W ogóle śmieszne, że jak piszę trójkąt DEF to wyskakuje "[Blad w formule, skoryguj!]"
ODPOWIEDZ