[Rozgrzewka OM][MIX] Łańcuszek olimpijski

Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Awatar użytkownika
Damianito
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 68
Rejestracja: 25 kwie 2007, o 13:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Zabrze
Pomógł: 7 razy

[Rozgrzewka OM][MIX] Łańcuszek olimpijski

Post autor: Damianito »

timon92 pisze:\(\displaystyle{ \ln \alpha + \ln \beta + \ln \gamma \ge 3 \ln \frac{\pi}{3}}\).\(\displaystyle{ (*)}\), ckd.
Nierówność Karamaty (tutaj to to samo co Jensen) daje przeciwną nierówność niestety. Nie działa.
Dumel
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2000
Rejestracja: 19 lut 2008, o 17:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Stare Pole/Kraków
Podziękował: 60 razy
Pomógł: 202 razy

[Rozgrzewka OM][MIX] Łańcuszek olimpijski

Post autor: Dumel »

Nierówność Karamaty (tutaj to to samo co Jensen) daje przeciwną nierówność niestety. Nie działa
Jensen daje przeciwną, ale Karamatę stosujemy dla funkcji wklęsłych malejących/wypukłych rosnących wiec tutaj jej nie mozemy zastosować
Awatar użytkownika
Damianito
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 68
Rejestracja: 25 kwie 2007, o 13:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Zabrze
Pomógł: 7 razy

[Rozgrzewka OM][MIX] Łańcuszek olimpijski

Post autor: Damianito »

Dumel pisze:Jensen daje przeciwną, ale Karamatę stosujemy dla funkcji wklęsłych malejących/wypukłych rosnących wiec tutaj jej nie mozemy zastosować
Karamata działa po prostu dla wypukłych/wklęsłych bez założenia monotoniczności. Tak przynajmniej podaje Wikipedia.
robin5hood
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1676
Rejestracja: 2 kwie 2007, o 14:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: warszawa
Podziękował: 178 razy
Pomógł: 17 razy

[Rozgrzewka OM][MIX] Łańcuszek olimpijski

Post autor: robin5hood »

timon92 czemu usunąłes zadanie, juz zacząłem go rozwiązywać?
Awatar użytkownika
SaxoN
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 154
Rejestracja: 20 cze 2008, o 14:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice/ Warszawa
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 9 razy

[Rozgrzewka OM][MIX] Łańcuszek olimpijski

Post autor: SaxoN »

Już chciałem napisać, że Karamata... a tu psikus w postaci kolejnych postów. I tak, Karamata działa bez monotoniczności- przynajmniej jej dowód niczego takiego nie zakłada

EDIT: Chyba, że ktoś umie wyprodukować funkcję na rzeczywistych dodatnich, która jest wypukła i ma \(\displaystyle{ f(xy)=f(x)+f(y)}\)- to by było całkiem przydatne na przyszłość ^^
Ostatnio zmieniony 16 sie 2010, o 22:13 przez SaxoN, łącznie zmieniany 2 razy.
Awatar użytkownika
timon92
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1654
Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 472 razy

[Rozgrzewka OM][MIX] Łańcuszek olimpijski

Post autor: timon92 »

robin5hood pisze:timon92 czemu usunąłes zadanie, juz zacząłem go rozwiązywać?
ponieważ poprzednie nie zostało rozwiązane

przypominam, że aktualne zadanie, to
marek12 pisze:Weżmy punkt P wewnątrz trójkata ABC taki że \(\displaystyle{ \angle ABP = \angle BCP = \angle CAP= \phi}\). Pokaż że \(\displaystyle{ 8\phi^3 \le \alpha\beta\gamma}\), gdzie
\(\displaystyle{ \angle A=\alpha , \angle B =\beta , \angle C = \gamma}\)
Awatar użytkownika
Damianito
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 68
Rejestracja: 25 kwie 2007, o 13:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Zabrze
Pomógł: 7 razy

[Rozgrzewka OM][MIX] Łańcuszek olimpijski

Post autor: Damianito »

Oznaczmy \(\displaystyle{ x=\alpha - \phi}\), \(\displaystyle{ y=\beta - \phi}\), \(\displaystyle{ z=\gamma - \phi}\).

Pokażemy, że \(\displaystyle{ xyz \geq \phi^3}\), a wówczas \(\displaystyle{ \alpha\beta\gamma=(\phi+x)(\phi+y)(\phi+z) \geq 8\sqrt{\phi^3xyz} \geq 8\phi^3}\), czyli teza.

Podobnie jak wcześniej (tudzież po prostu na mocy trygonometrycznej wersji tw. Cevy:

\(\displaystyle{ \sin{x}\sin{y}\sin{z}=(\sin{\phi})^3}\).

Przypuśćmy teraz, że \(\displaystyle{ xyz < \phi^3}\), co daje \(\displaystyle{ \ln{x} + \ln{y} + \ln{z} < 3\ln{\phi}}\).

Funkcja \(\displaystyle{ f(x)=\ln\sin{e^x}}\) jest wklęsła na przedziale \(\displaystyle{ (-\infty,\ ln{\pi})}\), co daje na mocy nierówności Jensena, że (liczby \(\displaystyle{ x, y, z, 3\phi}\) sumują się do \(\displaystyle{ \pi}\)) :

\(\displaystyle{ \ln\sin e^{\ln x}+\ln\sin e^{\ln y}+\ln\sin e^{\ln z} \leq 3\ln\sin \sqrt[3]{xyz}}\) skąd

\(\displaystyle{ \sin{x}\sin{y}\sin{z}\leq(\sin{\sqrt[3]{xyz}})^3}\)

Mamy też \(\displaystyle{ \sqrt[3]{xyz} < \phi}\) i do tego \(\displaystyle{ \phi\leq\frac{\pi}{6}<\frac{\pi}{2}}\), więc

\(\displaystyle{ \sin{x}\sin{y}\sin{z} < (\sin\phi)^3}\)

I tu już sprzeczność.

Nie pamiętam jak było dokładnie zadanie timon92, ale je proponuję jako następne.
Awatar użytkownika
timon92
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1654
Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 472 razy

[Rozgrzewka OM][MIX] Łańcuszek olimpijski

Post autor: timon92 »

Znaleźć wszystkie trójki liczb wymiernych dodatnich \(\displaystyle{ (x,y,z)}\) takich, że liczby \(\displaystyle{ x+y+z, \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}, xyz}\) są naturalne
robin5hood
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1676
Rejestracja: 2 kwie 2007, o 14:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: warszawa
Podziękował: 178 razy
Pomógł: 17 razy

[Rozgrzewka OM][MIX] Łańcuszek olimpijski

Post autor: robin5hood »

Ukryta treść:    
Awatar użytkownika
Damianito
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 68
Rejestracja: 25 kwie 2007, o 13:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Zabrze
Pomógł: 7 razy

[Rozgrzewka OM][MIX] Łańcuszek olimpijski

Post autor: Damianito »

Ej, \(\displaystyle{ x, y, z}\) są wymierne a nie od razu całkowite, więc fakt, że suma odwrotności jest całkowita jeszcze nie daje szacowania tej sumy. (Może coś niedopowiedzianego jest w dowodzie)
robin5hood
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1676
Rejestracja: 2 kwie 2007, o 14:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: warszawa
Podziękował: 178 razy
Pomógł: 17 razy

[Rozgrzewka OM][MIX] Łańcuszek olimpijski

Post autor: robin5hood »

Ukryta treść:    
czy ta geometria jest juz poprawnie rozwiązana?
Ostatnio zmieniony 17 sie 2010, o 00:11 przez robin5hood, łącznie zmieniany 1 raz.
Dumel
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2000
Rejestracja: 19 lut 2008, o 17:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Stare Pole/Kraków
Podziękował: 60 razy
Pomógł: 202 razy

[Rozgrzewka OM][MIX] Łańcuszek olimpijski

Post autor: Dumel »

Damianito pisze:Karamata działa po prostu dla wypukłych/wklęsłych bez założenia monotoniczności. Tak przynajmniej podaje Wikipedia.
dobrze wiedzieć, dotychczas opierałem sie tylko na (jak widać błędnej) wzmiance w kompendium.
Awatar użytkownika
SaxoN
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 154
Rejestracja: 20 cze 2008, o 14:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice/ Warszawa
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 9 razy

[Rozgrzewka OM][MIX] Łańcuszek olimpijski

Post autor: SaxoN »

To moje rozwiązanie do \(\displaystyle{ x,y,z\in\mathbb{Q}}\)
Ukryta treść:    
A co, robin5hood, wątpisz w rozwiązanie Damianito? Zarzuć dowodem tego faktu o wielomianie, będę wdzięczny ^^

NEW
Niech \(\displaystyle{ W}\) będzie wielomianem stopnia \(\displaystyle{ n}\) takim, że \(\displaystyle{ W(k)=\frac{1}{k}}\) dla \(\displaystyle{ k=1,2,\ldots, n+1}\). Obliczyć \(\displaystyle{ W(0)}\).
robin5hood
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1676
Rejestracja: 2 kwie 2007, o 14:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: warszawa
Podziękował: 178 razy
Pomógł: 17 razy

[Rozgrzewka OM][MIX] Łańcuszek olimpijski

Post autor: robin5hood »

nie wiem czy wszystko ok, bo późna pora
Ukryta treść:    
Ostatnio zmieniony 17 sie 2010, o 08:03 przez robin5hood, łącznie zmieniany 1 raz.
Awatar użytkownika
SaxoN
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 154
Rejestracja: 20 cze 2008, o 14:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice/ Warszawa
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 9 razy

[Rozgrzewka OM][MIX] Łańcuszek olimpijski

Post autor: SaxoN »

Ok, tylko w kilku miejscach masz literówki- stopień to \(\displaystyle{ n+1}\), a nie \(\displaystyle{ n+2}\). No i nie wrzuciłeś kolejnego zadania ^^
ODPOWIEDZ