Nierówność Karamaty (tutaj to to samo co Jensen) daje przeciwną nierówność niestety. Nie działa.timon92 pisze:\(\displaystyle{ \ln \alpha + \ln \beta + \ln \gamma \ge 3 \ln \frac{\pi}{3}}\).\(\displaystyle{ (*)}\), ckd.
[Rozgrzewka OM][MIX] Łańcuszek olimpijski
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
- Damianito
- Użytkownik
- Posty: 68
- Rejestracja: 25 kwie 2007, o 13:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Zabrze
- Pomógł: 7 razy
[Rozgrzewka OM][MIX] Łańcuszek olimpijski
-
- Użytkownik
- Posty: 2000
- Rejestracja: 19 lut 2008, o 17:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Stare Pole/Kraków
- Podziękował: 60 razy
- Pomógł: 202 razy
[Rozgrzewka OM][MIX] Łańcuszek olimpijski
Jensen daje przeciwną, ale Karamatę stosujemy dla funkcji wklęsłych malejących/wypukłych rosnących wiec tutaj jej nie mozemy zastosowaćNierówność Karamaty (tutaj to to samo co Jensen) daje przeciwną nierówność niestety. Nie działa
- Damianito
- Użytkownik
- Posty: 68
- Rejestracja: 25 kwie 2007, o 13:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Zabrze
- Pomógł: 7 razy
[Rozgrzewka OM][MIX] Łańcuszek olimpijski
Karamata działa po prostu dla wypukłych/wklęsłych bez założenia monotoniczności. Tak przynajmniej podaje Wikipedia.Dumel pisze:Jensen daje przeciwną, ale Karamatę stosujemy dla funkcji wklęsłych malejących/wypukłych rosnących wiec tutaj jej nie mozemy zastosować
-
- Użytkownik
- Posty: 1676
- Rejestracja: 2 kwie 2007, o 14:43
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: warszawa
- Podziękował: 178 razy
- Pomógł: 17 razy
[Rozgrzewka OM][MIX] Łańcuszek olimpijski
timon92 czemu usunąłes zadanie, juz zacząłem go rozwiązywać?
- SaxoN
- Użytkownik
- Posty: 154
- Rejestracja: 20 cze 2008, o 14:33
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice/ Warszawa
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 9 razy
[Rozgrzewka OM][MIX] Łańcuszek olimpijski
Już chciałem napisać, że Karamata... a tu psikus w postaci kolejnych postów. I tak, Karamata działa bez monotoniczności- przynajmniej jej dowód niczego takiego nie zakłada
EDIT: Chyba, że ktoś umie wyprodukować funkcję na rzeczywistych dodatnich, która jest wypukła i ma \(\displaystyle{ f(xy)=f(x)+f(y)}\)- to by było całkiem przydatne na przyszłość ^^
EDIT: Chyba, że ktoś umie wyprodukować funkcję na rzeczywistych dodatnich, która jest wypukła i ma \(\displaystyle{ f(xy)=f(x)+f(y)}\)- to by było całkiem przydatne na przyszłość ^^
Ostatnio zmieniony 16 sie 2010, o 22:13 przez SaxoN, łącznie zmieniany 2 razy.
- timon92
- Użytkownik
- Posty: 1654
- Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 472 razy
[Rozgrzewka OM][MIX] Łańcuszek olimpijski
ponieważ poprzednie nie zostało rozwiązanerobin5hood pisze:timon92 czemu usunąłes zadanie, juz zacząłem go rozwiązywać?
przypominam, że aktualne zadanie, to
marek12 pisze:Weżmy punkt P wewnątrz trójkata ABC taki że \(\displaystyle{ \angle ABP = \angle BCP = \angle CAP= \phi}\). Pokaż że \(\displaystyle{ 8\phi^3 \le \alpha\beta\gamma}\), gdzie
\(\displaystyle{ \angle A=\alpha , \angle B =\beta , \angle C = \gamma}\)
- Damianito
- Użytkownik
- Posty: 68
- Rejestracja: 25 kwie 2007, o 13:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Zabrze
- Pomógł: 7 razy
[Rozgrzewka OM][MIX] Łańcuszek olimpijski
Oznaczmy \(\displaystyle{ x=\alpha - \phi}\), \(\displaystyle{ y=\beta - \phi}\), \(\displaystyle{ z=\gamma - \phi}\).
Pokażemy, że \(\displaystyle{ xyz \geq \phi^3}\), a wówczas \(\displaystyle{ \alpha\beta\gamma=(\phi+x)(\phi+y)(\phi+z) \geq 8\sqrt{\phi^3xyz} \geq 8\phi^3}\), czyli teza.
Podobnie jak wcześniej (tudzież po prostu na mocy trygonometrycznej wersji tw. Cevy:
\(\displaystyle{ \sin{x}\sin{y}\sin{z}=(\sin{\phi})^3}\).
Przypuśćmy teraz, że \(\displaystyle{ xyz < \phi^3}\), co daje \(\displaystyle{ \ln{x} + \ln{y} + \ln{z} < 3\ln{\phi}}\).
Funkcja \(\displaystyle{ f(x)=\ln\sin{e^x}}\) jest wklęsła na przedziale \(\displaystyle{ (-\infty,\ ln{\pi})}\), co daje na mocy nierówności Jensena, że (liczby \(\displaystyle{ x, y, z, 3\phi}\) sumują się do \(\displaystyle{ \pi}\)) :
\(\displaystyle{ \ln\sin e^{\ln x}+\ln\sin e^{\ln y}+\ln\sin e^{\ln z} \leq 3\ln\sin \sqrt[3]{xyz}}\) skąd
\(\displaystyle{ \sin{x}\sin{y}\sin{z}\leq(\sin{\sqrt[3]{xyz}})^3}\)
Mamy też \(\displaystyle{ \sqrt[3]{xyz} < \phi}\) i do tego \(\displaystyle{ \phi\leq\frac{\pi}{6}<\frac{\pi}{2}}\), więc
\(\displaystyle{ \sin{x}\sin{y}\sin{z} < (\sin\phi)^3}\)
I tu już sprzeczność.
Nie pamiętam jak było dokładnie zadanie timon92, ale je proponuję jako następne.
Pokażemy, że \(\displaystyle{ xyz \geq \phi^3}\), a wówczas \(\displaystyle{ \alpha\beta\gamma=(\phi+x)(\phi+y)(\phi+z) \geq 8\sqrt{\phi^3xyz} \geq 8\phi^3}\), czyli teza.
Podobnie jak wcześniej (tudzież po prostu na mocy trygonometrycznej wersji tw. Cevy:
\(\displaystyle{ \sin{x}\sin{y}\sin{z}=(\sin{\phi})^3}\).
Przypuśćmy teraz, że \(\displaystyle{ xyz < \phi^3}\), co daje \(\displaystyle{ \ln{x} + \ln{y} + \ln{z} < 3\ln{\phi}}\).
Funkcja \(\displaystyle{ f(x)=\ln\sin{e^x}}\) jest wklęsła na przedziale \(\displaystyle{ (-\infty,\ ln{\pi})}\), co daje na mocy nierówności Jensena, że (liczby \(\displaystyle{ x, y, z, 3\phi}\) sumują się do \(\displaystyle{ \pi}\)) :
\(\displaystyle{ \ln\sin e^{\ln x}+\ln\sin e^{\ln y}+\ln\sin e^{\ln z} \leq 3\ln\sin \sqrt[3]{xyz}}\) skąd
\(\displaystyle{ \sin{x}\sin{y}\sin{z}\leq(\sin{\sqrt[3]{xyz}})^3}\)
Mamy też \(\displaystyle{ \sqrt[3]{xyz} < \phi}\) i do tego \(\displaystyle{ \phi\leq\frac{\pi}{6}<\frac{\pi}{2}}\), więc
\(\displaystyle{ \sin{x}\sin{y}\sin{z} < (\sin\phi)^3}\)
I tu już sprzeczność.
Nie pamiętam jak było dokładnie zadanie timon92, ale je proponuję jako następne.
- timon92
- Użytkownik
- Posty: 1654
- Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 472 razy
[Rozgrzewka OM][MIX] Łańcuszek olimpijski
Znaleźć wszystkie trójki liczb wymiernych dodatnich \(\displaystyle{ (x,y,z)}\) takich, że liczby \(\displaystyle{ x+y+z, \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}, xyz}\) są naturalne
-
- Użytkownik
- Posty: 1676
- Rejestracja: 2 kwie 2007, o 14:43
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: warszawa
- Podziękował: 178 razy
- Pomógł: 17 razy
- Damianito
- Użytkownik
- Posty: 68
- Rejestracja: 25 kwie 2007, o 13:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Zabrze
- Pomógł: 7 razy
[Rozgrzewka OM][MIX] Łańcuszek olimpijski
Ej, \(\displaystyle{ x, y, z}\) są wymierne a nie od razu całkowite, więc fakt, że suma odwrotności jest całkowita jeszcze nie daje szacowania tej sumy. (Może coś niedopowiedzianego jest w dowodzie)
-
- Użytkownik
- Posty: 1676
- Rejestracja: 2 kwie 2007, o 14:43
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: warszawa
- Podziękował: 178 razy
- Pomógł: 17 razy
[Rozgrzewka OM][MIX] Łańcuszek olimpijski
Ukryta treść:
Ostatnio zmieniony 17 sie 2010, o 00:11 przez robin5hood, łącznie zmieniany 1 raz.
-
- Użytkownik
- Posty: 2000
- Rejestracja: 19 lut 2008, o 17:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Stare Pole/Kraków
- Podziękował: 60 razy
- Pomógł: 202 razy
[Rozgrzewka OM][MIX] Łańcuszek olimpijski
dobrze wiedzieć, dotychczas opierałem sie tylko na (jak widać błędnej) wzmiance w kompendium.Damianito pisze:Karamata działa po prostu dla wypukłych/wklęsłych bez założenia monotoniczności. Tak przynajmniej podaje Wikipedia.
- SaxoN
- Użytkownik
- Posty: 154
- Rejestracja: 20 cze 2008, o 14:33
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice/ Warszawa
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 9 razy
[Rozgrzewka OM][MIX] Łańcuszek olimpijski
To moje rozwiązanie do \(\displaystyle{ x,y,z\in\mathbb{Q}}\)
A co, robin5hood, wątpisz w rozwiązanie Damianito? Zarzuć dowodem tego faktu o wielomianie, będę wdzięczny ^^
NEW
Niech \(\displaystyle{ W}\) będzie wielomianem stopnia \(\displaystyle{ n}\) takim, że \(\displaystyle{ W(k)=\frac{1}{k}}\) dla \(\displaystyle{ k=1,2,\ldots, n+1}\). Obliczyć \(\displaystyle{ W(0)}\).
Ukryta treść:
NEW
Niech \(\displaystyle{ W}\) będzie wielomianem stopnia \(\displaystyle{ n}\) takim, że \(\displaystyle{ W(k)=\frac{1}{k}}\) dla \(\displaystyle{ k=1,2,\ldots, n+1}\). Obliczyć \(\displaystyle{ W(0)}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 1676
- Rejestracja: 2 kwie 2007, o 14:43
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: warszawa
- Podziękował: 178 razy
- Pomógł: 17 razy
[Rozgrzewka OM][MIX] Łańcuszek olimpijski
nie wiem czy wszystko ok, bo późna pora
Ukryta treść:
Ostatnio zmieniony 17 sie 2010, o 08:03 przez robin5hood, łącznie zmieniany 1 raz.
- SaxoN
- Użytkownik
- Posty: 154
- Rejestracja: 20 cze 2008, o 14:33
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice/ Warszawa
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 9 razy
[Rozgrzewka OM][MIX] Łańcuszek olimpijski
Ok, tylko w kilku miejscach masz literówki- stopień to \(\displaystyle{ n+1}\), a nie \(\displaystyle{ n+2}\). No i nie wrzuciłeś kolejnego zadania ^^