[Rozgrzewka OM][MIX] Łańcuszek olimpijski

Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Zahion
Moderator
Moderator
Posty: 2095
Rejestracja: 9 gru 2012, o 19:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa, mazowieckie
Podziękował: 139 razy
Pomógł: 504 razy

[Rozgrzewka OM][MIX] Łańcuszek olimpijski

Post autor: Zahion »

Ukryta treść:    
Zaraz coś wymyślę -- 26 lut 2016, o 02:08 --Dla \(\displaystyle{ a, b, c}\) będacymi bokami trójkąta i spełniającymi \(\displaystyle{ a + b + c = 1}\) wyznaczyć maksimum \(\displaystyle{ \prod_{}^{} \left( a^{2}+b^{2} - c^{2}\right)}\)
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

[Rozgrzewka OM][MIX] Łańcuszek olimpijski

Post autor: Premislav »

Ukryta treść:    
Zadanie było tak miękkie, a ja się z nim męczyłem łącznie ze 3 godziny. Ja mam taki postulat, żeby ciężko kapujący ludzie mieli możliwość eutanazji, oczywiście nie refundowanej ze środków podatników, bo to byłaby kradzież, ale za odpowiednią opłatą.
Jeśli nie ma błędów, to coś wrzucę.
Zahion
Moderator
Moderator
Posty: 2095
Rejestracja: 9 gru 2012, o 19:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa, mazowieckie
Podziękował: 139 razy
Pomógł: 504 razy

[Rozgrzewka OM][MIX] Łańcuszek olimpijski

Post autor: Zahion »

Wygląda poprawnie - ponadto o ile się nie pomyliłem wystarczyłby nawet warunek dla \(\displaystyle{ a + b + c \ge 0}\)
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

[Rozgrzewka OM][MIX] Łańcuszek olimpijski

Post autor: Premislav »

No to wrzucam nowe, może za dużo nierówności, więc znalazłem coś innego, ale nie obiecuję, że już tego nie było.

Proszę znaleźć wszystkie takie funkcje \(\displaystyle{ f: \RR \rightarrow \RR}\), że \(\displaystyle{ f(xy + f(x)) = xf(y) + f(x)}\).
Awatar użytkownika
krolikbuks42
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 17
Rejestracja: 5 lis 2014, o 19:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Tarnów
Pomógł: 9 razy

[Rozgrzewka OM][MIX] Łańcuszek olimpijski

Post autor: krolikbuks42 »

Proszę o sprawdzenie, gdyż mógł się wkraść błąd przy podstawianiu.
Ukryta treść:    
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

[Rozgrzewka OM][MIX] Łańcuszek olimpijski

Post autor: Premislav »

Jest OK (ale dłuugo sprawdzałem). Śmiało możesz wrzucać następne zadanie.
Awatar użytkownika
krolikbuks42
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 17
Rejestracja: 5 lis 2014, o 19:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Tarnów
Pomógł: 9 razy

[Rozgrzewka OM][MIX] Łańcuszek olimpijski

Post autor: krolikbuks42 »

Dany jest graf, w którym stopień każdego wierzchołka jest nie większy niż 5. Udowodnić, że da się tak pokolorować wierzchołki tego grafu trzema kolorami, aby każdy wierzchołek miał co najwyżej jednego sąsiada o takim samym kolorze jak on sam.
TomciO
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 289
Rejestracja: 16 paź 2004, o 23:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 38 razy

[Rozgrzewka OM][MIX] Łańcuszek olimpijski

Post autor: TomciO »

Ukryta treść:    
Nowe zadanie: udowodnić, że dla dowolnej liczby naturalnej \(\displaystyle{ k}\) istnieje ciąg arytmetyczny postaci \(\displaystyle{ \frac{a_1}{b_1}, \frac{a_2}{b_2}, \ldots, \frac{a_k}{b_k}}\), gdzie \(\displaystyle{ a_i, b_i}\) są względnie pierwszymi liczbami naturalnymi (dla \(\displaystyle{ i=1, 2, \ldots, k}\)) oraz liczby \(\displaystyle{ a_1, b_1, a_2, b_2, \ldots, a_k, b_k}\) są parami różne.
utyqaq
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 10
Rejestracja: 22 lut 2016, o 10:09
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: kosmos
Pomógł: 2 razy

[Rozgrzewka OM][MIX] Łańcuszek olimpijski

Post autor: utyqaq »

Ukryta treść:    
Zadanie ode mnie:
Każda z \(\displaystyle{ n}\) koleżanek zna pewną plotkę. Podczas rozmowy telefonicznej koleżanki wymieniają wszystkie znane im dotychczas plotki. Ile rozmów pomiędzy dwoma koleżankami musi się co najmniej odbyć, aby każda z koleżanek poznała każdą plotkę.
Kartezjusz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7330
Rejestracja: 14 lut 2008, o 08:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 961 razy

[Rozgrzewka OM][MIX] Łańcuszek olimpijski

Post autor: Kartezjusz »

Ukryta treść:    
.
marcin7Cd
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 139
Rejestracja: 31 gru 2013, o 13:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: łódź
Pomógł: 61 razy

[Rozgrzewka OM][MIX] Łańcuszek olimpijski

Post autor: marcin7Cd »

To ja dam moje wnioski:
Ukryta treść:    
Awatar użytkownika
krolikbuks42
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 17
Rejestracja: 5 lis 2014, o 19:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Tarnów
Pomógł: 9 razy

[Rozgrzewka OM][MIX] Łańcuszek olimpijski

Post autor: krolikbuks42 »

może jakiś hint? Bo zadanie już leży prawie miesiąc.
Kartezjusz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7330
Rejestracja: 14 lut 2008, o 08:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 961 razy

[Rozgrzewka OM][MIX] Łańcuszek olimpijski

Post autor: Kartezjusz »

Marcin. Podaj kto z kim ma gadać, bo czwórki by wszystkie znały wszystkie plotki nie widzę.
ElEski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 304
Rejestracja: 22 maja 2010, o 17:20
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Pomógł: 12 razy

[Rozgrzewka OM][MIX] Łańcuszek olimpijski

Post autor: ElEski »

lekko blefiasty szkic, dokoncze jak bede mogl :c :; niech \(\displaystyle{ f(n)}\) oznacza najmniejszą liczbę rozmów dla \(\displaystyle{ n}\) sekretarek, \(\displaystyle{ n>3}\)
z pewnoscia \(\displaystyle{ f}\) jest niemalejaca, no bo jakze by inaczej. z pewnoscia \(\displaystyle{ f(n+1)\le f(n)+2}\), bo najpierw z \(\displaystyle{ 1,2,..,n+1}\) robimy \(\displaystyle{ 12,12,3,4,\ldots ,n+1}\), w \(\displaystyle{ f(n)}\) ruchach robimy \(\displaystyle{ 12, 123..n,123...n,....,123...n}\) i w jednym dodatkowym konczymy. no to teraz pokaze ze nie moze byc \(\displaystyle{ f(n+1) \le f(n)+1}\). pierwszy ruch robi bso \(\displaystyle{ 12,12,3,4,...,n+1}\), co jest rownowazne \(\displaystyle{ 1,1,2,..,n}\). niech \(\displaystyle{ g(n)}\) oznacza minimalna liczbe krokow dla sytuacji poczatkowej \(\displaystyle{ 1,1,2,3,...,n}\). musimy pokazac ze nie moze byc \(\displaystyle{ g(n) \le f(n)}\). wezmy minimalne \(\displaystyle{ n}\), ze \(\displaystyle{ g(n) \le f(n)}\). no to co sie dzieje.. kiedys musimy wykonac operacje zlaczajaca \(\displaystyle{ 1}\) z czyms innym. druga \(\displaystyle{ 1}\) jest dolaczana do czegos, co informacji \(\displaystyle{ 1}\) nie zawiera (bo wtedy bylaby to strata ruchu tzn znalezlibysmy strategie dla \(\displaystyle{ 1,2,..,n}\) ktora zajmuje max \(\displaystyle{ g(n)-1}\) ruchow i udowodnili to co chcemy) no ale w takim razie smialo mozemy zalozyc, ze te jedynki sa dolaczane od razu do innych eltow. (jesli nie, to znajdujemy blizniacza sekwencje ruchow doprowadzajaca do tego samego stanu, w ktorej jedynki sa dolaczane od razu do innych eltow) zatem po 2 ruchach sytuacja wyglada tak (bso laczymy \(\displaystyle{ 1}\) i \(\displaystyle{ 2}\), a potem \(\displaystyle{ 1}\) i \(\displaystyle{ 3}\))
\(\displaystyle{ 12,12,13,13,4,5,...,n}\). jest to sytuacja nie lepsza niz \(\displaystyle{ 12,12,13,4,5,...,n}\), a to jest rownowazne z sytuacja \(\displaystyle{ 2,2,3,4,...,n}\). czyli \(\displaystyle{ 1,1,2,3,4,...,n-1}\). mamy wiec \(\displaystyle{ g(n)\ge g(n-1)+2}\). no ale w takim razie \(\displaystyle{ g(n-1) \le f(n-1)}\) sprzecznosc.
----

-- 18 sie 2016, o 21:48 --

.
Ostatnio zmieniony 21 wrz 2016, o 01:25 przez Ponewor, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
Kartezjusz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7330
Rejestracja: 14 lut 2008, o 08:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 961 razy

[Rozgrzewka OM][MIX] Łańcuszek olimpijski

Post autor: Kartezjusz »

Sprecyzuj, co u ciebie jest czym.
ODPOWIEDZ