[Rozgrzewka OM][MIX] Łańcuszek olimpijski

Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
ElEski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 304
Rejestracja: 22 maja 2010, o 17:20
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Pomógł: 12 razy

[Rozgrzewka OM][MIX] Łańcuszek olimpijski

Post autor: ElEski »

Można trochę prościej [niż to, co ja tutaj napiszę], działa np. lemat że jeśli rozmawiają jakiekolwiek 2 osoby które mają jakąkolwiek wspólną informację, to można zmniejszyć liczbę osób o 1 i liczbę rozmów o 2, co rozwala zadanie prawie natychmiast i dowód jest nieco krótszy.


[url]https://scontent-lhr3-1.xx.fbcdn.net/v/t34.0-12/15151132_1220022824733656_1433030353_n.jpg?oh=60c09ec401731b33e8e2ac04fc86aa64&oe=5830E103[/url]
[url]https://scontent-lhr3-1.xx.fbcdn.net/v/t34.0-12/15058750_1220022798066992_1692988551_n.jpg?oh=59742acb129ef9043be5f5677d4b9e45&oe=5830C644[/url]
[url]https://scontent-lhr3-1.xx.fbcdn.net/v/t34.0-12/15086925_1220022858066986_387007553_n.jpg?oh=e123a621f0588d3adab91c4936d211f9&oe=5830D380[/url]

-------------------------------------

Czy istnieje funkcja dwóch zmiennych \(\displaystyle{ f:\mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}}\) t. że \(\displaystyle{ f(x,y)}\) jest wielomianem iksa po ustaleniu igreka oraz wielomianem igreka po ustaleniu iksa, ale \(\displaystyle{ f(x,y)}\) nie jest wielomianem dwóch zmiennych?
TheCB
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16
Rejestracja: 11 paź 2015, o 18:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Krzyszkowo
Pomógł: 2 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX] Łańcuszek olimpijski

Post autor: TheCB »

Ukryta treść:    
Jak jest OK to coś wrzucę.
Awatar użytkownika
timon92
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1654
Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 472 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX] Łańcuszek olimpijski

Post autor: timon92 »

TheCB pisze:Wówczas istnieją takie funkcje \(\displaystyle{ f_{0}(y), f_{1}(y), ..., f_{n}(y)}\), że dla dowolnych \(\displaystyle{ x, y \in \mathbb{R}}\) mamy \(\displaystyle{ f(x,y)=\sum_{i=0}^{n} f_{i}(y)x^{i}}\).
dlaczego?
TheCB
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16
Rejestracja: 11 paź 2015, o 18:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Krzyszkowo
Pomógł: 2 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX] Łańcuszek olimpijski

Post autor: TheCB »

Czy to nie wynika bezpośrednio z faktu, że \(\displaystyle{ f(x,y)}\) jest wielomianem iksa po ustaleniu igreka? Wtedy dla danego \(\displaystyle{ y \in \mathbb R}\) funkcje te przyjmowałyby wartości będące współczynnikami takiego wielomianu, a \(\displaystyle{ n}\) byłoby największym możliwym stopniem takiego wielomianu.
Awatar użytkownika
timon92
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1654
Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 472 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX] Łańcuszek olimpijski

Post autor: timon92 »

dla różnych igreków te wielomiany mogą mieć różne stopnie, w szczególności może być tak, że występują tam dowolnie duże stopnie, a w swoim rozwiązaniu zakładasz, że stopnie tych wielomianów są ograniczone przez \(\displaystyle{ n}\)
TheCB
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16
Rejestracja: 11 paź 2015, o 18:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Krzyszkowo
Pomógł: 2 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX] Łańcuszek olimpijski

Post autor: TheCB »

Aha, czyli bzdury napisałem :/
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX] Łańcuszek olimpijski

Post autor: a4karo »

F. W. Carroll, "A polynomial in each variable separately is a polynomial." Amer. Math. Monthly 68 (1961) 42.-- 18 lip 2017, o 19:40 --Nie tak bardzo bzdury.
Rozwiązanie opiera się o obserwację, że dla pewnego \(\displaystyle{ n}\) zbiór ygrekow dla których stopień \(\displaystyle{ f(x, y)}\) nie przekracza \(\displaystyle{ n}\) jest nieskończony.
ODPOWIEDZ