). Link do drugiej serii
Link do trzeciej serii
[url=http://www.matematyka.pl/258971.htm]Link do serii przedfinałowej[/url]
(zadania, których pełne rozwiązania zostały podane, są zaznaczone na zielono)
Zadanie 1 - rozwiązane przez jerzozwierza
Ciąg \(\displaystyle{ (a_n)}\) jest określony następująco:
\(\displaystyle{ a_1=1, a_{n+1}=a_n^3+1}\) dla \(\displaystyle{ n=1,2,3, \dots}\)
Rozstrzygnij które wyrazy tego ciągu są podzielne przez \(\displaystyle{ 1998}\).
Zadanie 2 - rozwiązane przez binaja
W czworościanie \(\displaystyle{ ABCD}\) mamy dane: \(\displaystyle{ |AB|=|CD|=p, |AC|=|BD|=q, |AD|=|BC|=r}\). Punkty \(\displaystyle{ K}\) i \(\displaystyle{ L}\) są środkami odpowiednio krawędzi \(\displaystyle{ AB}\) i \(\displaystyle{ CD}\). Na odcinku \(\displaystyle{ KL}\) znajdź takie punkty \(\displaystyle{ E}\) i \(\displaystyle{ F}\), dla których suma \(\displaystyle{ |AE|^2+|EF|^2+|FC|^2}\) osiąga wartość najmniejszą.
Zadanie 3 - rozwiązane przez Świstaka
Wewnątrz równoległoboku \(\displaystyle{ ABCD}\) obrano punkt \(\displaystyle{ P}\). Wykaż, że \(\displaystyle{ \sphericalangle APB + \sphericalangle CPD = 180^o}\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ \sphericalangle PDC = \sphericalangle PBC}\).
Zadanie 4 - rozwiązane przez klaustrofoba
Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n}\) liczba \(\displaystyle{ 1999^{2^n}-1}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 2^{n+2}}\).
Uwaga: zachodzi mocniejsza teza: \(\displaystyle{ 2^{n+4}| \left( 1999^{2^n}-1\right)}\), na co zwrócił uwagę Kimon.
Zadanie 5 - rozwiązane przez SchmudeJanusza, mzs i Qnia
Wykaż, że z odcinków długości \(\displaystyle{ a,b,c}\) można zbudować trójkąt wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych liczb \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ q}\) spełniających warunek \(\displaystyle{ p+q=1}\) zachodzi nierówność \(\displaystyle{ pa^2+qb^2> pqc^2}\).
Zadanie 6 - rozwiązane przez Dumla i Ponewora
Liczby nieujemne \(\displaystyle{ a,b,c,d}\) spełniają warunek \(\displaystyle{ a+b+c+d=2}\). Udowodnij, że
\(\displaystyle{ \frac{a+1}{a^2+1}+ \frac{b+1}{b^2+1}+\frac{c+1}{c^2+1}+\frac{d+1}{d^2+1}\leq \frac{24}{5}}\).
Zadanie 7
W międzynarodowej konferencji naukowej wzięło udział \(\displaystyle{ 1998}\) uczonych. Wśród każdych trzech naukowców co najmniej dwóch włada tym samym językiem, a każdy z uczestników konferencji zna co najwyżej pięć języków. Udowodnij, że co najmniej \(\displaystyle{ 200}\) uczonych zna ten sam język.
Zadanie 8 - rozwiązanie przez mola książkowego
Dana jest liczba całkowita \(\displaystyle{ a}\) oraz liczba pierwsza \(\displaystyle{ p}\). Wykaż, że jeżeli \(\displaystyle{ p| 5a-1}\) i \(\displaystyle{ p|a-10}\), to \(\displaystyle{ p|a-3}\).
Zadanie 9 - rozwiązanie przez Sienka
Przekątne \(\displaystyle{ AC}\) i \(\displaystyle{ BD}\) czworokąta \(\displaystyle{ ABCD}\) wpisanego w okrąg przecinają się w punkcie \(\displaystyle{ S}\); \(\displaystyle{ Q}\) jest środkiem boku \(\displaystyle{ AB}\), zaś \(\displaystyle{ P}\) i \(\displaystyle{ R}\) są rzutami prostokątnymi punktu \(\displaystyle{ S}\) odpowiednio na proste \(\displaystyle{ AD}\) i \(\displaystyle{ BC}\). Udowodnij, że \(\displaystyle{ |PQ|=|QR|}\).
Zadanie 10 - rozwiązane przez binaja, Vaxa i Ponewora
Udowodnij, że dla dowolnych liczb dodatnich \(\displaystyle{ a,b,c}\) zachodzi nierówność:
\(\displaystyle{ \left( 1+\frac{a}{b} \right) \left( 1+\frac{b}{c} \right) \left( 1+\frac{c}{a} \right) \ge 2 \left( 1 +\frac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}} \right)}\).
Zadanie 11 - rozwiązane przez Ponewora
Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n}\):
\(\displaystyle{ (1998n)! \le \left( \frac{3995n+1}{2} \cdot \frac{3993n+1}{2} \cdot \frac{3991n+1}{2} \cdot \dots \cdot \frac{n+1}{2} \right)^n}\).
Zadanie 12 - rozwiązane przez pawelsuza
Rozwiąż w liczbach rzeczywistych równanie:
\(\displaystyle{ (x+1998)(x+1999)(x+2000)(x+2001)+1=0}\).
Zadanie 13 - rozwiązane przez timona92
Wyznacz wszystkie funkcje \(\displaystyle{ f:\mathbb{R} \backslash \{ 0 \} \rightarrow \mathbb{R}}\) spełniające warunki:
(i) \(\displaystyle{ f(-x)=f(x)}\) dla \(\displaystyle{ x \neq 0}\);
(ii)\(\displaystyle{ f \left( \frac{1}{x+y} \right) = f \left( \frac{1}{x}\right) +f \left(\frac{1}{y} \right) +2(xy-1000)}\) dla \(\displaystyle{ x\neq 0, y\neq 0}\), takich, że \(\displaystyle{ x+y \neq 0}\).
Zadanie 14
Wyznacz wszystkie liczby naturalne \(\displaystyle{ n}\), dla których prawdziwe jest twierdzenie:
Dla każdej liczby naturalnej \(\displaystyle{ m}\) liczba
\(\displaystyle{ (1+n)^{n^{m-1}}-n^m -1}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ n^{m+1}}\).
Zadanie 15 - rozwiązane przez limesa123 i Dumla
Dany jest zbiór \(\displaystyle{ n}\)-elementowy \(\displaystyle{ A}\) oraz jego podzbiory \(\displaystyle{ A_1,A_2, \dots , A_m}\), z których żaden nie zawiera się w drugim. Udowodnij, że:
\(\displaystyle{ 1^o}\) \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{m} \frac{1}{{n \choose |A_i|}} \leq 1}\);
\(\displaystyle{ 2^o}\) \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{m} {n \choose |A_i|} \geq m^2}\).
Zadanie 16 - rozwiązane przez mola książkowego
Wyznacz wszystkie liczby pierwsze \(\displaystyle{ p}\), dla których układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2x^2=p+1 \\ 2y^2 = p^2+1 \end{cases}}\)
ma rozwiązanie w liczbach całkowitych \(\displaystyle{ x,y}\).
Zadanie 17 - rozwiązane przez mola książkowego
Dodatnie liczby \(\displaystyle{ a,b,c}\) spełniają warunek \(\displaystyle{ abc=1}\). Wykaż, że:
\(\displaystyle{ \frac{1+ab}{1+a}+\frac{1+bc}{1+b}+\frac{1+ca}{1+c} \geq 3}\) .
Zadanie 18 - rozwiązane przez timona92
Styczna do okręgu wpisanego w trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\), równoległa doboku \(\displaystyle{ BC}\), przecina boki \(\displaystyle{ AB}\) i \(\displaystyle{ CA}\) tego trójkąta odpowiednio w punktach\(\displaystyle{ D}\) i \(\displaystyle{ E}\). Udowodnij, że:
\(\displaystyle{ 8|DE| \leq |AB|+|BC|+|CA|}\) .
Zadanie 19
Ciąg \(\displaystyle{ (x_n)}\) określony jest następująco:
\(\displaystyle{ x_1=1}\)
\(\displaystyle{ x_{n+1}=\frac{n^2}{x_n}+\frac{x_n}{n^2} +2}\) dla \(\displaystyle{ n=1,2,3, \dots}\) .
Wykaż, że \(\displaystyle{ \lfloor x_n \rfloor =n}\) dla każdego \(\displaystyle{ n \geq 4}\).
Zadanie 20 - rozwiązane przez WC Pikera
Rozwiąż w liczbach nieujemnych \(\displaystyle{ x,y}\) układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases}
2^{x^4+y^2} +2^{x^2+y^4}=8 \\
x+y=2
\end{cases}}\) .
Zadanie 21 - rozwiązanie podane przez JanuszaSchmude
Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ a_1,a_2, \dots , a_n}\) oraz \(\displaystyle{ b_1,b_2, \dots ,b_n}\) zachodzi nierówność:
\(\displaystyle{ n \left( \sum_{i=1}^{n}a_ib_i + \sqrt{ \left( \sum_{i=1}^{n} a_i^2 \right) \left( \sum_{i=1}^{n} b_i^2 \right) } \right) \geq 2 \left( \sum_{i=1}^{n} a_i \right) \left( \sum_{i=1}^{n}b_i \right)}\) .
Zadanie 22 - rozwiązane przez Dumla i timona92
Wykaż, że dla dowolnych liczb wymiernych \(\displaystyle{ p,q,r}\) zachodzi nierówność:
\(\displaystyle{ \left(1 + \frac{p+q}{r} \right)^r \left(1 + \frac{q+r}{p} \right)^p\left(1 + \frac{r+p}{q} \right)^q \leq 3^{p+q+r}}\) .
Zadanie 23 - rozwiązane przez mola książkowego i timona92
Udowodnij, że jeżeli dodatnie liczby wymierne \(\displaystyle{ a,b,c}\) są długościami boków trójkąta, to:
\(\displaystyle{ \left( 1+ \frac{a-b}{c}\right)^c \left( 1+ \frac{b-c}{a}\right)^a \left( 1+ \frac{c-a}{b}\right)^b \leq 1}\) .
Zadanie 24 - rozwiązane przez timona92
Na bokach \(\displaystyle{ BC}\) i \(\displaystyle{ CD}\) kwadratu \(\displaystyle{ ABCD}\) obrano odpowiednio takie punkty \(\displaystyle{ P}\) i \(\displaystyle{ Q}\), że prosta \(\displaystyle{ PQ}\) jest styczna do okręgu o środku \(\displaystyle{ A}\) i promieniu \(\displaystyle{ AB}\). Odcinki \(\displaystyle{ AP}\) i \(\displaystyle{ AQ}\) przecinają przekątną \(\displaystyle{ BD}\) w punktach \(\displaystyle{ R}\) i \(\displaystyle{ S}\). Wykaż, że punkty \(\displaystyle{ C,P,Q,R,S}\) leżą na jednym okręgu.
Zadanie 25 - rozwiązane przez WC Pikera
Wykaż, że jeżeli \(\displaystyle{ x_1, x_2 \dots , x_9 \in <0;2>}\), zaś \(\displaystyle{ y_1,y_2, \dots , y_9 \in <0;4>}\), to dla pewnych \(\displaystyle{ 1 \leq i \neq j \leq 9}\)
\(\displaystyle{ (x_i-x_j)^2 + (y_i-y_j)^2 \leq 2}\) .
Zadanie 26 - rozwiązane przez pawelsuza
Ciąg \(\displaystyle{ (a_n)}\) jest określony następująco:
\(\displaystyle{ a_1=19, a_2 =98}\), \(\displaystyle{ a_{n+2}}\) jest resztą z dzielenia przez \(\displaystyle{ 100}\) liczby \(\displaystyle{ a_n+a_{n+1}}\), dla \(\displaystyle{ n=1,2,3, \dots}\).
Udowodnij, że suma:
\(\displaystyle{ a_1^2+a_2^2+\dots + a_{1998}^2}\)
jest podzielna przez \(\displaystyle{ 8}\).
Powodzenia!
Q.
