[Ciągi] ciągi rekurencyjne

[robin5hood]

NIech
\(\displaystyle{ x_1=y_1=\sqrt{3}; x_{n+1}=x_n+\sqrt{1+x_{n}^2}}\) i \(\displaystyle{ y_{n+1}=\frac{y_n}{1+\sqrt{1+y_{n}^2}}}\) dla \(\displaystyle{ n\geq 1}\)
Pokaż ze \(\displaystyle{ 2<x_ny_n<3}\) dla \(\displaystyle{ n>1}\).

[Wasilewski]

Podstaw
\(\displaystyle{ x_{n} = \ctg(a_{n}) \\
y_{n} = \tg(b_{n}),}\)
żeby wyznaczyć wzory ogólne tych ciągów; potem powinno być już w miarę łatwo.

[robin5hood]

a mozsz pokazać jak wyznaczyc wyraz ogólny np dla \(\displaystyle{ x_n}\)?

[Wasilewski]

Ok:
\(\displaystyle{ \ctg(a_{n+1}) = \ctg(a_{n}) + \sqrt{1 + \ctg^{2}(a_{n})} = \ctg(a_{n}) + \frac{1}{\sin(a_{n})} = \frac{1 + \cos(a_{n})}{\sin(a_{n})} = \frac{2\cos^{2}(\frac{a_{n}}{2})}{2 \sin(\frac{a_{n}}{2})\cdot \cos(\frac{a_{n}}{2})} = \ctg(\frac{a_{n}}{2})}\)
Jesteśmy w pierwszej ćwiartce, stąd:
\(\displaystyle{ x_{n} = \ctg(\frac{a_{0}}{2^{n}}) = \ctg(\frac{\pi}{3\cdot 2^{n}})}\).