[MIX][Planimetria] Geometria z Pawłowskiego
: 2 lis 2009, o 21:15
Witam
Mam problem z kilkoma zadaniami:
Zad 1
Na płaszczyżnie dane są dwa okręgi \(\displaystyle{ C _{1}}\) i \(\displaystyle{ C _{2}}\) przecinające się w punktach A i B i styczne do prostej w punktach odpowiednio \(\displaystyle{ P _{1}}\) i \(\displaystyle{ P _{2}}\)
Rzutami punktów \(\displaystyle{ P _{1}}\) i \(\displaystyle{ P _{2}}\) na linię środków tych okręgów są odpowiednio punkty \(\displaystyle{ M _{1}}\) i \(\displaystyle{ M _{2}}\) .Prosta \(\displaystyle{ AM _{1}}\) przecina okrąg \(\displaystyle{ C _{1}}\) jeszcze w punkcie \(\displaystyle{ N _{1}}\), a prosta \(\displaystyle{ AM _{2}}\) przcina okrąg \(\displaystyle{ C _{2}}\) jeszcze w punkcie \(\displaystyle{ N _{2}}\). Udowodnij że punkty \(\displaystyle{ N _{1}}\) , \(\displaystyle{ B}\) i \(\displaystyle{ N _{2}}\) leżą na jednej prostej
Zad 2
Na płaszczyżnie dane są dwa okręgi przecinające się w punktach A i B i styczne do prostej w punktach odpowiednio \(\displaystyle{ P}\) i \(\displaystyle{ Q}\). Styczne do okręgu opisanego na trójkącie APQ w punktach odpowiednio P i Q przecinają się w punkcie S. Niech H będzie obrazem punktu B w symetrii względem prostej PQ . Udowodnij , że punkty A , S ,H leżą na jednej prostej
Zad 3
W trójkącie ABC dwusieczna kąta BAC przecina bok BC w punkcie D. Okrąg S styczny do BC w punkcie D i przechodzący przez punkt A przecina AC jeszcze w punkcie M .Udowodnij, że punkt P , w którym okrąg S przecina raz jeszcze prostą BM , leży na środkowej trójkąta ABD
Zad 4
W czworokącie ABCD wpisanym w okrąg środkami przekątnych AC i BD są odpowiednio punkty L i N . Udowodnij , że jeśli BD jest dwusieczną kąta ANC , to AC jest dwusieczną kąta BLD
Zad 5
Wewnątrz trójkąta ostrokątnego ABC obrano taki punkt D , żę
\(\displaystyle{ DA \cdot DB \cdot AB+ DB \cdot DC \cdot BC+DC \cdot DA \cdot CA=AB \cdot BC \cdot CA}\)
Znajdż miejsce geometryczne punktów D
Zad 6
Punkt B należy do odcinka AC , a punkt D do odcinka AE. Proste CD i BE przecinają się w punkcie F. Udowodnij że jeśli AB+BF=AD+DF
to AC+CF=AE+EF
Zad 7
Dwa okręgi \(\displaystyle{ C _{1}}\) i \(\displaystyle{ C _{2}}\) przecinają się w punktach A i B . Okrąg O , styczny do nich w punktach D i E , leży wewnątrz ich części wspólnej. Niech C będzie jednym z punktów w którym prosta AB przecina okrąg O. Niech F będzie punktem w któym prosta EC przecina okrąg \(\displaystyle{ C _{2}}\) i niech G będzie punktem w którym prosta DC przecina okrąg \(\displaystyle{ C _{1}}\). NIech punkty H i I będą punktami w których prosta ED przecina okręgi \(\displaystyle{ C _{1}}\) i \(\displaystyle{ C _{2}}\). Udowodnij że punkty F,G,H,I leżą na jednym okręgu.
Mam problem z kilkoma zadaniami:
Zad 1
Na płaszczyżnie dane są dwa okręgi \(\displaystyle{ C _{1}}\) i \(\displaystyle{ C _{2}}\) przecinające się w punktach A i B i styczne do prostej w punktach odpowiednio \(\displaystyle{ P _{1}}\) i \(\displaystyle{ P _{2}}\)
Rzutami punktów \(\displaystyle{ P _{1}}\) i \(\displaystyle{ P _{2}}\) na linię środków tych okręgów są odpowiednio punkty \(\displaystyle{ M _{1}}\) i \(\displaystyle{ M _{2}}\) .Prosta \(\displaystyle{ AM _{1}}\) przecina okrąg \(\displaystyle{ C _{1}}\) jeszcze w punkcie \(\displaystyle{ N _{1}}\), a prosta \(\displaystyle{ AM _{2}}\) przcina okrąg \(\displaystyle{ C _{2}}\) jeszcze w punkcie \(\displaystyle{ N _{2}}\). Udowodnij że punkty \(\displaystyle{ N _{1}}\) , \(\displaystyle{ B}\) i \(\displaystyle{ N _{2}}\) leżą na jednej prostej
Zad 2
Na płaszczyżnie dane są dwa okręgi przecinające się w punktach A i B i styczne do prostej w punktach odpowiednio \(\displaystyle{ P}\) i \(\displaystyle{ Q}\). Styczne do okręgu opisanego na trójkącie APQ w punktach odpowiednio P i Q przecinają się w punkcie S. Niech H będzie obrazem punktu B w symetrii względem prostej PQ . Udowodnij , że punkty A , S ,H leżą na jednej prostej
Zad 3
W trójkącie ABC dwusieczna kąta BAC przecina bok BC w punkcie D. Okrąg S styczny do BC w punkcie D i przechodzący przez punkt A przecina AC jeszcze w punkcie M .Udowodnij, że punkt P , w którym okrąg S przecina raz jeszcze prostą BM , leży na środkowej trójkąta ABD
Zad 4
W czworokącie ABCD wpisanym w okrąg środkami przekątnych AC i BD są odpowiednio punkty L i N . Udowodnij , że jeśli BD jest dwusieczną kąta ANC , to AC jest dwusieczną kąta BLD
Zad 5
Wewnątrz trójkąta ostrokątnego ABC obrano taki punkt D , żę
\(\displaystyle{ DA \cdot DB \cdot AB+ DB \cdot DC \cdot BC+DC \cdot DA \cdot CA=AB \cdot BC \cdot CA}\)
Znajdż miejsce geometryczne punktów D
Zad 6
Punkt B należy do odcinka AC , a punkt D do odcinka AE. Proste CD i BE przecinają się w punkcie F. Udowodnij że jeśli AB+BF=AD+DF
to AC+CF=AE+EF
Zad 7
Dwa okręgi \(\displaystyle{ C _{1}}\) i \(\displaystyle{ C _{2}}\) przecinają się w punktach A i B . Okrąg O , styczny do nich w punktach D i E , leży wewnątrz ich części wspólnej. Niech C będzie jednym z punktów w którym prosta AB przecina okrąg O. Niech F będzie punktem w któym prosta EC przecina okrąg \(\displaystyle{ C _{2}}\) i niech G będzie punktem w którym prosta DC przecina okrąg \(\displaystyle{ C _{1}}\). NIech punkty H i I będą punktami w których prosta ED przecina okręgi \(\displaystyle{ C _{1}}\) i \(\displaystyle{ C _{2}}\). Udowodnij że punkty F,G,H,I leżą na jednym okręgu.