[MIX] Mix robina

[robin5hood]

Mam pare zadań pomyslałem, że zrobie jakiś mix.


1. Znajsz najmniejszą liczbę naturalną \(\displaystyle{ m}\) spełniająca tę nierówność

\(\displaystyle{ \overbrace { 100^{100^{100^{.^{.^{.^{100}}}}}}}^m > \overbrace {3^{3^{3^{.^{.^{.^{3}}}}}}}^{100}}\)


2. Udowodnij ,że w trojkącie \(\displaystyle{ \Delta ABC}\) zachodzi nierówność
\(\displaystyle{ \max\{a,b,c\}-\min\{a,b,c\}\le \frac{2\sqrt{3}}{3}\cdot\sqrt{s^2-3r(4R+r)}\;}\)
Gdzie oczywiście \(\displaystyle{ s= \frac{a+b+c}{2}}\) .


3.
Znajdź wszystkie funkcje f i g takie że
a)\(\displaystyle{ f:N \rightarrow N}\)
\(\displaystyle{ f(nf(n))+f(\frac{f(n)}{n})=p^2(n^2+1)}\) gdzie p jest pierwsza.
b) \(\displaystyle{ g:N \rightarrow N}\)
\(\displaystyle{ g(ng(n))+g(\frac{g(n)}{n})=d^2(n^2+1)}\) gdzie d jest całkowita.

4.
a) Udowodnij, że równanie ma \(\displaystyle{ y^2=x^3+x+1370^{1370}}\) ma co najmniej 6 rozwiązań w \(\displaystyle{ \mathbb{Q}}\)

b) Udowodnij, że równanie \(\displaystyle{ x^4-y^4=2z^2}\) nie ma rozwiązań w \(\displaystyle{ \mathbb{N}}\)


5. Niech x,y,z>0 oraz \(\displaystyle{ xyz=1}\). Udowodnij nierówność

\(\displaystyle{ \frac{x}{x^{-8}+y+z}+\frac{y}{x+y^{-8}+z}+\frac{z}{x+y+z^{-8}} \ge 1}\)


6. Punkt P znajduje się wewnątrz trojkąta \(\displaystyle{ \triangle ABC}\) oraz zachodzą warunki:
(*) \(\displaystyle{ \angle PAB \ge 30^\circ}\) i \(\displaystyle{ \angle APB \ge \angle PCB + 30^\circ}\)
(**) \(\displaystyle{ BP \cdot BC=CP \cdot AB.}\)
Udowodnij że \(\displaystyle{ \angle BAC \ge 60^\circ.}\)


7. Niech \(\displaystyle{ F_0=F_1=1}\) i \(\displaystyle{ F_{n+2}=F_{n+1}+F_n}\) dla \(\displaystyle{ n\in {\mathbb N}}\) . Udowodnij równość
\(\displaystyle{ \sum\limits_{k=0}^{n}{n\choose k}{n+k\choose k}F_{k}= \sum\limits_{k=0}^{n}{n\choose k}{n+k\choose k}(-1)^{n-k}F_{2k}\;}\) .

[pawelsuz]

Masz rozwiązania tych zadań?

[robin5hood]

niestety to są zadania z kółka bez rozwiązań

[Swistak]

Czy w zadaniu 3 p i d są ustalone, czy dla różnych n mogą być różne?

[Marcinek665]

Czy w zadaniu 3 p i d są ustalone, czy dla różnych n mogą być różne?

Jakby to miało jakiekolwiek znaczenie. I tak nie zrobisz nawet dwóch xd.

Ja pomyślałem, że spróbuję zrobić nierówność, bo wygląda przystępnie, lub pierwsze czy tam czwarte. Żadnego nie ruszyłem. Uległem ułudzie, że zadania Robina mogą być robialne

[mariolawiki1]

zad5.(zarys rozwiązania)

Ukryta treść:    

1. Najpierw można przekształcić nierówność, tzn:
\(\displaystyle{ \frac{x^6}{y^3z^3+x^5y+x^5z} + \frac{y^6}{x^3z^3+y^5x+y^5z} + \frac{z^6}{x^3y^3
+z^5x+z^5y} \ge 1}\)
2. Stosujemy CS w formie E.
3. Korzystamy z ciągów jednomonotonicznych

[timon92]

mariolawiki1, możesz rozpisać to dokładniej?

[XMaS11]

Same perełki.

[Swistak]

Czy w zadaniu 3 p i d są ustalone, czy dla różnych n mogą być różne?

Jakby to miało jakiekolwiek znaczenie. I tak nie zrobisz nawet dwóch xd.

?

[Emce1]

5:    

\(\displaystyle{ było źle}\)

Mam nadzieje, że nie wkradł się jakiś durny bug.edit: było źle, zamieszało mi się jak szybko wskazał Timon.

[timon92]

(3,3,0) majoryzuje (5,1,0)

nieprawda

[mariolawiki1]

mariolawiki1, możesz rozpisać to dokładniej?

Timon92
w punkcie 3 puściłam niestety blefa
zauważyłam, jak chciałam przepisać "na czysto"

z CS wychodzi:

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ x^6+y^6+z^6+x^3y^3+x^3z^3+y^3z^3 \ge x^5y+x^5z+y^5x+y^5z+z^5x+z^5y}\)

Wydaje mi się, że to jest prawdziwe, ale może się mylę.

[laurelandilas]

Blef.

[LisuBB]

Dowód tej nierówności, która dała Mariolawiki1:

Ukryta treść:    

Weźmy ciągi:
\(\displaystyle{ (x^{3},y^{3},z^{3}, x^{2}y, y^{2}z, z^{2}x) ; (x^{3}, y^{3}, z^{3}, xy^{2}, yz^{2}, x^{2}z)}\) - scisle jednomonotoniczne.
Wydaje mi sie, ze jest ok, ale byc moze jest blad

Ukryta treść:    

W **** monotoniczne

[marcin_smu]

b) z zadania 4.

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ x^4-y^4=(x-y)(x+y)(x^2+y^2)=2z^2}\)
\(\displaystyle{ x-y\equiv x+y\equiv x^2+y^2 (mod\ 2)}\), więc \(\displaystyle{ x \equiv y (mod\ 2)}\) i \(\displaystyle{ 2|z}\).
Podstawmy \(\displaystyle{ a=\frac{z}{2}}\) i \(\displaystyle{ b= \frac{x-y}{2}}\). \(\displaystyle{ a,b \in \mathbb{N}}\)
Po prostych przekształceniach otrzymujemy
\(\displaystyle{ b(b+y)(2b^2+2by+y^2)=a^2}\)
Łatwo zauważyć, iż bez straty ogólności można założyć \(\displaystyle{ gcd(b,y)=1}\).
\(\displaystyle{ gcd(b,b+y)=1 \Rightarrow b(b+y)|2b^2+2by+y^2 \Rightarrow b(b+y)|y^2 \Rightarrow b=1 \wedge 1+y | y^2}\)
Ostatnia podzielność jest w oczywisty sposób sprzeczna. c.k.d.