[Nierówności] Nierówność, niebieski Pawłowski. Austria '88.
: 12 sie 2009, o 21:08
\(\displaystyle{ x _{k}>0}\)
Pokazać, że:
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}x_k+ \sqrt{ \sum_{k=1}^{n}x_k^2 } \le \frac{n+\sqrt{n}}{n^2} \left( \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{x_k} \right) \left(\sum_{k=1}^{n}x_k^2 \right)}\)
Siedziałem nad tym trochę, ale nic nie wymyśliłem, zaglądając do wzorcówk pojawia się dowód, że:
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}x_k+ \sqrt{ \sum_{k=1}^{n}x_k^2 } \le \frac{n+\sqrt{n}}{\sqrt{n}}\sqrt{ \sum_{k=1}^{n}x_k^2 }}\)
no i OK.
ale nie wiem dlaczego teraz wystarczy pokazać, że: \(\displaystyle{ \sqrt{ \sum_{k=1}^{n}x_k^2 }\cdot\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{x_k} \ge n\sqrt{n}}\)
Pewnie to banalne dlaczego tak a nie inaczej, ale nie mogę dojść dlaczego tak .
Z góry dzięki
Pokazać, że:
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}x_k+ \sqrt{ \sum_{k=1}^{n}x_k^2 } \le \frac{n+\sqrt{n}}{n^2} \left( \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{x_k} \right) \left(\sum_{k=1}^{n}x_k^2 \right)}\)
Siedziałem nad tym trochę, ale nic nie wymyśliłem, zaglądając do wzorcówk pojawia się dowód, że:
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}x_k+ \sqrt{ \sum_{k=1}^{n}x_k^2 } \le \frac{n+\sqrt{n}}{\sqrt{n}}\sqrt{ \sum_{k=1}^{n}x_k^2 }}\)
no i OK.
ale nie wiem dlaczego teraz wystarczy pokazać, że: \(\displaystyle{ \sqrt{ \sum_{k=1}^{n}x_k^2 }\cdot\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{x_k} \ge n\sqrt{n}}\)
Pewnie to banalne dlaczego tak a nie inaczej, ale nie mogę dojść dlaczego tak .
Z góry dzięki