[Nierówności] Nierówność, niebieski Pawłowski. Austria '88.

Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Awatar użytkownika
smigol
Korepetytor
Korepetytor
Posty: 3454
Rejestracja: 20 paź 2007, o 23:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 89 razy
Pomógł: 353 razy

[Nierówności] Nierówność, niebieski Pawłowski. Austria '88.

Post autor: smigol » 12 sie 2009, o 21:08

\(\displaystyle{ x _{k}>0}\)
Pokazać, że:
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}x_k+ \sqrt{ \sum_{k=1}^{n}x_k^2 } \le \frac{n+\sqrt{n}}{n^2} \left( \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{x_k} \right) \left(\sum_{k=1}^{n}x_k^2 \right)}\)


Siedziałem nad tym trochę, ale nic nie wymyśliłem, zaglądając do wzorcówk pojawia się dowód, że:

\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}x_k+ \sqrt{ \sum_{k=1}^{n}x_k^2 } \le \frac{n+\sqrt{n}}{\sqrt{n}}\sqrt{ \sum_{k=1}^{n}x_k^2 }}\)
no i OK.
ale nie wiem dlaczego teraz wystarczy pokazać, że: \(\displaystyle{ \sqrt{ \sum_{k=1}^{n}x_k^2 }\cdot\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{x_k} \ge n\sqrt{n}}\)


Pewnie to banalne dlaczego tak a nie inaczej, ale nie mogę dojść dlaczego tak .

Z góry dzięki
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Artist
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 865
Rejestracja: 27 sty 2008, o 21:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Brodnica
Podziękował: 27 razy
Pomógł: 239 razy

[Nierówności] Nierówność, niebieski Pawłowski. Austria '88.

Post autor: Artist » 12 sie 2009, o 21:18

Dlatego, że mamy wyazać:
\(\displaystyle{ \frac{n+\sqrt{n}}{\sqrt{n}}\sqrt{ \sum_{k=1}^{n}x_{k}^{2}} \le \frac{n+\sqrt{n}}{n^{2}}( \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k})( \sum_{k=1}^{n}x_{k}^{2})}\)
Po podstawowych działaniach dostajemy to co trzeba.

Awatar użytkownika
smigol
Korepetytor
Korepetytor
Posty: 3454
Rejestracja: 20 paź 2007, o 23:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 89 razy
Pomógł: 353 razy

[Nierówności] Nierówność, niebieski Pawłowski. Austria '88.

Post autor: smigol » 12 sie 2009, o 21:37

no dobra, to to ja wiem
tylko dalej nie widzę co i jak..
mógłbyś rozwinąć??

Sorry, ja wiem, że to musi być banalne, ale tak się nad tym zawiesiłem, że nie wiem..

Awatar użytkownika
Artist
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 865
Rejestracja: 27 sty 2008, o 21:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Brodnica
Podziękował: 27 razy
Pomógł: 239 razy

[Nierówności] Nierówność, niebieski Pawłowski. Austria '88.

Post autor: Artist » 12 sie 2009, o 21:53

Ok
\(\displaystyle{ L \le \frac{n+\sqrt{n}}{\sqrt{n}}\sqrt{ \sum_{k=1}^{n}x_{k}^{2}} \le \frac{n+\sqrt{n}}{n^{2}}( \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{x_{k}})( \sum_{k=1}^{n}x_{k}^{2})=P}\)
L to lewa strona pierwszej nierównośći, P to prawa jej strona.
Aby wykazać, że \(\displaystyle{ L \le P}\) wykazujemy, że: \(\displaystyle{ L \le S \wedge S \le P \Leftrightarrow L \le P}\)

\(\displaystyle{ \frac{n+\sqrt{n}}{\sqrt{n}}\sqrt{ \sum_{k=1}^{n}x_{k}^{2}} \le \frac{n+\sqrt{n}}{n^{2}}( \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{x_{k}})( \sum_{k=1}^{n}x_{k}^{2})}\)
\(\displaystyle{ \frac{n+\sqrt{n}}{\sqrt{n}} \cdot \frac{n^{2}}{n+\sqrt{n}}\le ( \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{x_{k}})\frac{( \sum_{k=1}^{n}x_{k}^{2})}{\sqrt{( \sum_{k=1}^{n}x_{k}^{2})}}}\)
\(\displaystyle{ n\sqrt{n} \le (\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{x_{k}})(\sqrt{( \sum_{k=1}^{n}x_{k}^{2})}}\)

Awatar użytkownika
smigol
Korepetytor
Korepetytor
Posty: 3454
Rejestracja: 20 paź 2007, o 23:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 89 razy
Pomógł: 353 razy

[Nierówności] Nierówność, niebieski Pawłowski. Austria '88.

Post autor: smigol » 12 sie 2009, o 22:01

No teraz jasne
Nawet w moich bazgrołach znalazło się coś co wyglądało podobnie, ale coś się stało złego i się pomyliłem )

Dziękuję! )

ODPOWIEDZ