[MIX] zagadka o smokach, parametry

[Citizen]

1) Na wyspach Bergamotach żyje 2005 smoków, piwno i zielonookich. Jeśli któryś z nich odkryje jakiego koloru ma oczy znika. Na wyspie nie ma luster, a smoki nie rozmawiają o kolorze swoich oczu, ani nie oglądają swoich odbić w wodzie. Za to codziennie spotykają się na wieczornym capstrzyku. Pewnego dnia lotem błyskawicy rozeszła się wieść, że co najmniej 1 smok ma zielone oczy. Co stało się ze smoczą populacją?

2) Alicja i Błażej grają w następującą grę: kolejno rysują przekątne (po jednej każde z nich) w 1000-kącie foremnym, tak aby dorysowane przekątne nie miały punktów wspólnych z poprzednimi. Przegrywa ten kto nie będzie już mógł wykonaż żadnego ruchu. Które z nich ma strategię wygrywającą?

3) Dla jakich calkowitych warości parametru m wielomian: \(\displaystyle{ W(x)=(m-1)x^{2}-(m^{2}-1)x+m^{2}+m}\) ma tylko pierwiastki calkowite?

4) Ustaw w kolejności rosnącej liczby \(\displaystyle{ 3^{4^{5}},3^{5^{4}},4^{3^{5}},4^{5^{3}},5^{3^{4}},5^{4^{3}}}\)

5) Zbadaj liczbę pierwiastków układu równań w zależności od parametru m: \(\displaystyle{ \begin{cases} \left|x-y \right|=1 \\ \left|y \right|=x+m \end{cases}}\)

[kaszubki]

3)

Ukryta treść:    

Na początek zauważamy, że \(\displaystyle{ m \neq 1}\).
Liczba całkowita jest równocześnie wymierną. Korzystając z twierdzenia o pierwiastkach wymiernych wielomianu, wykazujemy, że \(\displaystyle{ (m-1)|m(m+1)}\). Ponieważ m i m-1 są względnie pierwsze, to \(\displaystyle{ (m-1)|(m+1)}\). Z tego wynika, że liczba \(\displaystyle{ \frac{2}{m-1}}\) musi byc całkowita, czyli \(\displaystyle{ m \in {-1,0,2,3}}\).
Dla m=0:
\(\displaystyle{ W(x)=-x^{2}+x \Rightarrow x=x^{2} \Rightarrow x \in (0,1)}\).
Dla \(\displaystyle{ m=-1}\):
\(\displaystyle{ W(x)=-2x^{2} \Rightarrow x=0}\).
Dla \(\displaystyle{ m=3}\):
\(\displaystyle{ W(x)=2x^{2}-8x+12 \Rightarrow x \in ()}\)
Dla \(\displaystyle{ m=2}\):
\(\displaystyle{ W(x)=x^{2}-3x+6 \Rightarrow x \in ()}\).

-- 26 lipca 2009, 19:34 --

4)

Ukryta treść:    

Są obecnie ustawione w kolejności malejącej.
\(\displaystyle{ 3^{4^{5}}=3^{1024},3^{5^{4}}=3^{625},4^{3^{5}}=4^{243},4^{5^{3}}=4^{125},5^{3^{4}}=5^{81},5^{4^{3}}=5^{64}}\).
\(\displaystyle{ 9^{243}>4^{243} \Rightarrow 3^{486}>4^{243} \Rightarrow 3^{625}>4^{243}}\).
\(\displaystyle{ 64^{41}>25^{41} \Rightarrow 4^{123} > 5^{82} > 4^{125}>5^{81}}\)
A zatem:
\(\displaystyle{ 3^{1024}>3^{625}>4^{243}>4^{125}>5^{81}>5^{64}}\), czyli w kolejności rosnącej liczby będą ustawione tak:
\(\displaystyle{ 5^{4^{3}},5^{3^{4}},4^{5^{3}},4^{3^{5}},3^{5^{4}},3^{4^{5}}}\).

[Inkwizytor]

1) Na wyspach Bergamotach żyje 2005 smoków, piwno i zielonookich. Jeśli któryś z nich odkryje jakiego koloru ma oczy znika. Na wyspie nie ma luster, a smoki nie rozmawiają o kolorze swoich oczu, ani nie oglądają swoich odbić w wodzie. Za to codziennie spotykają się na wieczornym capstrzyku. Pewnego dnia lotem błyskawicy rozeszła się wieść, że co najmniej 1 smok ma zielone oczy. Co stało się ze smoczą populacją?

Zadanie jest nieprecyzyjne.
Czy sformułowanie "rozeszła się wieść" oznacza plotkę, w którą jednak smoki uwierzyły? Czy był to FAKT iż przynajmniej jeden z nich miał zielone oczy?

Ukryta treść:    

Załóżmy, że to było tylko plotka (czyli nie było zielonego koloru oczu), ale smoki pękały, gdy "wmówiły sobie" jakiś kolor oczu i w to wierzyły. Skoro WSZYSTKIE smoki się spotykały, to każdy widział kolor oczu wszystkich pozostałych smoków. Skoro dany osobnik nie widział u nikogo koloru zielonego a słyszał że przynajmniej jeden z nich ma zielone, to UWIERZYŁ że kolor zielony jest jego oczu i wówczas pękał. A ponieważ nikt u nikogo nie widział zieleni w oczach to wyginęły wszystkie.

Jeśli jednak dokładnie jeden osobnik miał kolor zielony oczu swych, wówczas odkrył on to samo co wyżej i zginął, ale skoro pozostałe widziały u niego zielony to wcale nie musiały wywnioskować, że taki sam kolor oczu posiadają, więc przeżyły.

Jeśli więcej niż jeden osobnik miał kolor oczu zielony, to nic się nie stało z populacją.

[jerzozwierz]

5)

Ukryta treść:    

Interpretacja graficzna.
Wykresem równania nr 1. są dwie równoległe proste o równaniach \(\displaystyle{ y=x-1}\) i \(\displaystyle{ y=x+1}\).
Drugie równanie to dwie półproste o początku w punkcie \(\displaystyle{ (0,m)}\) zawierające się w I i II ćwiartce układu współrzędnych, fragmenty prostych \(\displaystyle{ y=x+m}\) i \(\displaystyle{ y=-x+m}\). Teraz łatwo odczytujemy:
dla \(\displaystyle{ m=1 \vee m=-1}\) nieskończenie wiele rozwiązań
dla \(\displaystyle{ m<-1}\) brak rozwiązań
dla \(\displaystyle{ -1<m<1}\) jedno rozwiązanie
dla \(\displaystyle{ m>1}\) dwa rozwiązania

[kaszubki]

2)

Ukryta treść:    

Strategię wygrywającą ma gracz pierwszy. Na początek rysuje przekątną "środkową", tzn. łączącą dwa najbardziej odległe od siebie punkty wielokąta. Później "kopiuje" ruchy przeciwnika, tzn. odbija odcinek narysowany przez przeciwnika symetrycznie do narysowanej przez siebie na samym początku przekątnej. W ten sposób jak przeciwnik nie narysuje linii, to pierwszy gracz może narysować następną, gdyż wolne są dwa punkty, które należą do przekątnej, która jest odbiciem symetrycznym przekątnej narysowanej ostatnio przez gracza nr 2.

[Swistak]

zad1:    

Jeżeli żaden smok nie ma zielonych oczu, to wszystkie zniknęły, jeśli ma jeden smok, to ten zniknął, a jak więcej niż 1, to żaden.

[tkrass]

do Swistaka:    

w przypadku gdy ma je jeden smok - on znika a reszta widzi, że on znika, wtedy reszta wie, że ma piwne oczy i takoż znika, nieprawdaż?

[paladin]

Mylicie się co do zadania numer 1. Jest to tak naprawdę wariacja zagadki o "Alicji wśród logików", lub też o "smerfach w niewoli Gargamela".

Żeby zagadka była jednoznaczna, warto zaznaczyć, że smoki poza wieczornym apelem nie spotykają się. Informacja o "plotce" też jest sformułowana cokolwiek nieszczęśliwie.

Rozwiązanie:

Ukryta treść:    

Jak słusznie zauważyliście, jeśli na wyspie jest dokładnie jeden smok o zielonych oczach, to natychmiast zniknie.
Pierwszego wieczora smoki spotykają się i widzą, że jakiś smok zniknął (aha! odkrył wreszcie, że ma zielone oczy...hmmm, skoro to odkrył, to ja muszę mieć brązowe...oops...<puff!>), i mamy bezludną wyspę.
Albo też widzą, że nikt nie zniknął. Czyli na wyspie są przynajmniej dwa smoki o zielonych oczach. Jeśli są dokładnie dwa, to w tym momencie każdy z nich zorientuje się, jakie ma oczy (zaraz, widzę tylko jednego...aha, to ja muszę być tym drugim! <puff!>), a zaraz po ich zniknięciu ta prawda dotrze do reszty (zaraz, czemu one...aha! <puff!>).
Jeśli wszyscy przeżyli ten wieczór, to spotkają się następnego dnia i wiedzą już, że na wyspie są przynajmniej trzy zielonookie smoki. Jeśli są dokładnie trzy...

[kaszubki]

Sprytne. Nie wpadłem na to.

[Swistak]

Aaa.... aha! <puff>
Nie doczytałem, że są tylko zielonoookie i i piwnookie i że co najmniej 1, ja przeczytałem dokładnie 1 xP.

[Citizen]

Dziękuje wszystkim