[Równania] Udowodnij, że iloczyn jest ujemny
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
-
- Użytkownik
- Posty: 122
- Rejestracja: 2 lis 2008, o 16:11
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Znikąd
- Podziękował: 35 razy
- Pomógł: 6 razy
[Równania] Udowodnij, że iloczyn jest ujemny
Liczby rzeczywiste \(\displaystyle{ a,b}\) spełniają równość
\(\displaystyle{ \left( \frac{a ^{2}+b ^{2} }{4ab}\right) ^{0} + \left( \frac{a ^{2}+b ^{2}}{4ab}\right) ^{1} +...+\left( \frac{a ^2+b ^2}{4ab}\right) ^{2000} =1,999.}\)
Udowodnij, że iloczyn tych liczb jest ujemny.
Proszę o wskazówkę.
Zaczynam od podstawienia \(\displaystyle{ x=\frac{a ^{2}+b ^{2} }{4ab}}\)
Wtedy jest:
\(\displaystyle{ x +x ^{2} +x ^{3} ...+ x^{2000}=0,999}\)
\(\displaystyle{ \left( \frac{a ^{2}+b ^{2} }{4ab}\right) ^{0} + \left( \frac{a ^{2}+b ^{2}}{4ab}\right) ^{1} +...+\left( \frac{a ^2+b ^2}{4ab}\right) ^{2000} =1,999.}\)
Udowodnij, że iloczyn tych liczb jest ujemny.
Proszę o wskazówkę.
Zaczynam od podstawienia \(\displaystyle{ x=\frac{a ^{2}+b ^{2} }{4ab}}\)
Wtedy jest:
\(\displaystyle{ x +x ^{2} +x ^{3} ...+ x^{2000}=0,999}\)
[Równania] Udowodnij, że iloczyn jest ujemny
Teraz skorzystaj z wzoru na sumę liczb ciągu geometrycznego.
- Zordon
- Użytkownik
- Posty: 4977
- Rejestracja: 12 lut 2008, o 21:42
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 75 razy
- Pomógł: 910 razy
[Równania] Udowodnij, że iloczyn jest ujemny
Dobrze jest zapamiętać taką prostą nierówność:
Jeśli a,b są tego samego znaku, to:
\(\displaystyle{ \frac{a}{b}+ \frac{b}{a} \ge 2}\)
Jeśli a,b są tego samego znaku, to:
\(\displaystyle{ \frac{a}{b}+ \frac{b}{a} \ge 2}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 122
- Rejestracja: 2 lis 2008, o 16:11
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Znikąd
- Podziękował: 35 razy
- Pomógł: 6 razy
[Równania] Udowodnij, że iloczyn jest ujemny
Czyli zakładam, że ten iloczyn jest dodatni, czyli: \(\displaystyle{ S=ab \ge 0}\)
Z wzoru na sumę ciągu geometrycznego wnoszę, że:
\(\displaystyle{ \frac{1- x^{2000} }{1-x}=1,999}\)
Z \(\displaystyle{ x+x ^{2}...+x ^{2000}=0,999}\) wnioskujemy, że \(\displaystyle{ x \le 1}\)
Od razu wynika, że \(\displaystyle{ x \ge x ^{2000}}\)
Jednak tutaj się gubię...
Z wzoru na sumę ciągu geometrycznego wnoszę, że:
\(\displaystyle{ \frac{1- x^{2000} }{1-x}=1,999}\)
Z \(\displaystyle{ x+x ^{2}...+x ^{2000}=0,999}\) wnioskujemy, że \(\displaystyle{ x \le 1}\)
Od razu wynika, że \(\displaystyle{ x \ge x ^{2000}}\)
Jednak tutaj się gubię...
[Równania] Udowodnij, że iloczyn jest ujemny
Prawie dobrze. Słusznie \(\displaystyle{ x<1}\), teraz jeszcze wzór \(\displaystyle{ \frac{1-x^{2000}}{1-x}=1,999}\) przekształć do postaci \(\displaystyle{ W(x)=0}\) i pokaż, że ten wielomian nie ma pierwiastków dodatnich.
- Sylwek
- Użytkownik
- Posty: 2716
- Rejestracja: 21 maja 2007, o 14:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 160 razy
- Pomógł: 657 razy
[Równania] Udowodnij, że iloczyn jest ujemny
No to metoda 2. Przypuśćmy, że są tego samego znaku, a potem korzystamy z nierówności podanej przez Zordona, czyli: \(\displaystyle{ x \ge \frac{1}{2}}\)
Wówczas:
\(\displaystyle{ 1,999=P=L=1+x+\ldots+x^{2000} \ge \\ \ge 1+\frac{1}{2}+\ldots+\frac{1}{2^{2000}}=1+\frac{2^{2000}-1}{2^{2000}}= 2-\frac{1}{2^{2000}}}\)
Wystarczy wykazać, że: \(\displaystyle{ 2-\frac{1}{2^{2000}}>2-0,001}\), wówczas dojdziesz do sprzeczności.
Wówczas:
\(\displaystyle{ 1,999=P=L=1+x+\ldots+x^{2000} \ge \\ \ge 1+\frac{1}{2}+\ldots+\frac{1}{2^{2000}}=1+\frac{2^{2000}-1}{2^{2000}}= 2-\frac{1}{2^{2000}}}\)
Wystarczy wykazać, że: \(\displaystyle{ 2-\frac{1}{2^{2000}}>2-0,001}\), wówczas dojdziesz do sprzeczności.
-
- Użytkownik
- Posty: 122
- Rejestracja: 2 lis 2008, o 16:11
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Znikąd
- Podziękował: 35 razy
- Pomógł: 6 razy
[Równania] Udowodnij, że iloczyn jest ujemny
O.K już prawie łapię. Jeszcze dwa pytania. Do freja
Jeżeli już wykażę, że ten wielomian nie ma pierwiastków dodatnich to będzie oznaczało, że \(\displaystyle{ ab \le 0}\)?
Do Sylwka
Też kombinowałem z tą nierównością \(\displaystyle{ \frac{a}{b}+ \frac{b}{a} \ge 2}\). Jak doszedłeś z tej nierówności do \(\displaystyle{ x \ge \frac{1}{2}}\)
Oczywiście, dzięki za wskazówki. Wykonujecie świetną robotę.
Pozdrawiam
Jeżeli już wykażę, że ten wielomian nie ma pierwiastków dodatnich to będzie oznaczało, że \(\displaystyle{ ab \le 0}\)?
Do Sylwka
Też kombinowałem z tą nierównością \(\displaystyle{ \frac{a}{b}+ \frac{b}{a} \ge 2}\). Jak doszedłeś z tej nierówności do \(\displaystyle{ x \ge \frac{1}{2}}\)
Oczywiście, dzięki za wskazówki. Wykonujecie świetną robotę.
Pozdrawiam
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10225
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2362 razy
[Równania] Udowodnij, że iloczyn jest ujemny
Może wyręczę kolegów :]
\(\displaystyle{ a^2+b^2 \ge 0 \Rightarrow \left(\frac{a^2+b^2}{4ab} \le 0 \Rightarrow ab \le 0 \right)}\)
\(\displaystyle{ \frac{a}{b} + \frac{b}{a} \ge 2 \Rightarrow \frac{a^2+b^2}{ab} \ge 2 \Rightarrow x=\frac{a^2+b^2}{4ab} \ge \frac{2}{4}=\frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ a^2+b^2 \ge 0 \Rightarrow \left(\frac{a^2+b^2}{4ab} \le 0 \Rightarrow ab \le 0 \right)}\)
\(\displaystyle{ \frac{a}{b} + \frac{b}{a} \ge 2 \Rightarrow \frac{a^2+b^2}{ab} \ge 2 \Rightarrow x=\frac{a^2+b^2}{4ab} \ge \frac{2}{4}=\frac{1}{2}}\)