[MIX] mix z kółka matematycznego

[Citizen]

Rozwiązane 1) Pokaż, że jeśli \(\displaystyle{ 2^{x}=3}\) i \(\displaystyle{ 5^{y}=3}\), to \(\displaystyle{ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} >2}\).

2) Wyznacz wszystkie pary liczb rzeczywistych, których różnica jest równa ilorazowi.

Rozwiązane 3) Dany jest prostokąt \(\displaystyle{ n \times 2}\). Z lewego górnego rogu idziemy do prawego dolnego po liniach kratki, ale poruszać się możemy tylko w prawo lub w dół. Ile jest możliwych dróg?

Rozwiązane 4) Dane są liczby naturalne \(\displaystyle{ m<n}\). tóra z liczb jest większa: \(\displaystyle{ \sqrt[n]{m}}\) czy \(\displaystyle{ \sqrt[m]{n}}\) ?

Rozwiązane 5) Uzasadnij, że dwa prostokąty o równych polach i równych obwodach mają boki odpowiednio równe.

Rozwiązane 6) Znajdź wszystkie liczby calkowite, których połowa jest kwadratem liczby całkowitej, a jedna trzecia sześcianem liczby całkowitej.

Rozwiązane 7) Dana jest liczba naturalna \(\displaystyle{ n}\). Oblicz iloczyn \(\displaystyle{ (a+1)(a^{2}+1)(a^{2^{2}}+1)...(a^{2^{n-2}}+1)(a^{2^n}+1).}\)

8) Dana jest liczba naturalna \(\displaystyle{ n>1}\). Wykaż, że jeżeli \(\displaystyle{ n^{k}+1 \mid n^{l}+1}\) dla pewnych naturalnych \(\displaystyle{ k}\) i \(\displaystyle{ l}\), to \(\displaystyle{ k\mid l}\).

Rozwiązane 9) Wykaż, że pole trójkąta o bokach \(\displaystyle{ a,b,c}\) jest nie mniejsze od \(\displaystyle{ \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{6}}\).

Rozwiązane 10) Wykaż, że jeżeli pewna liczba calkowita jest sumą kwadratów dwóch liczb calkowitych, to jej dwukrotność teź jest sumą kwadratów dwóch liczb całkowitych.

Rozwiązane 11) Rozwiąż układ równań \(\displaystyle{ \begin{cases} x+y=1 \\ x^{3}+y^{3}=1. \end{cases}}\)

12) Nieujemną liczbę całkowitą nazywamy rosnącą, jeśli ciąg cyfr jej zapisu dziesiętnego, od lewej do prawej, jest ciągiem rosnącym (być może jednoelementowym). Wykaż, że liczb rosnących o nieparzystej liczbie cyfr jest o dwie więcej, niż liczb rosnących o parzystej liczbie cyfr.

Rozwiązane 13) Dane są liczby całkowite \(\displaystyle{ a,b,c,d}\). Udowodnij, że dla dowolnej liczby całkowitej \(\displaystyle{ n}\) każdy wspólny dzielnik liczb \(\displaystyle{ an+b}\) i \(\displaystyle{ cn+d}\) jest dzielnikiem liczby \(\displaystyle{ ad-bc}\).

14) Funkcja \(\displaystyle{ g:\RR \rightarrow \RR}\) spełnia dla każdego \(\displaystyle{ x}\) nierównego \(\displaystyle{ 0}\) równanie \(\displaystyle{ g(x) \cdot g\left( \frac{1}{x}\right) =1.}\) Funkcja \(\displaystyle{ f:\RR \rightarrow \RR}\) jest określona za pomocą funkcji \(\displaystyle{ h:\RR \rightarrow \RR}\) równością \(\displaystyle{ f(x)=h(x)+g(x)\cdot h \left( \frac{1}{x}\right)}\) dla \(\displaystyle{ x \in \RR}\). Sprawdź, że jeżeli \(\displaystyle{ x}\) nierówny \(\displaystyle{ 0}\) jest pierwiastkiem funkcji \(\displaystyle{ f}\) to \(\displaystyle{ \frac{1}{x}}\) teź jest pierwiastkiem funkcji \(\displaystyle{ f}\).

Rozwiązane 15)Wyznacz wszystkie pary \(\displaystyle{ (a,b)}\) liczb naturalnych spełniających równanie \(\displaystyle{ \frac{ab}{a+b}=p}\) , gdzie \(\displaystyle{ p}\) jest daną liczbą pierwszą.

Rozwiązane 16) Znajdź ciąg, w którym suma n pierwszych wyrazów wynosi \(\displaystyle{ n(n^{2}-1)}\) dla każdego \(\displaystyle{ n}\).

17) Udowodnij, że dla dowolnego \(\displaystyle{ n \ge 1}\) zachodzi równość \(\displaystyle{ \left [ \sqrt{n-1}+ \sqrt{n+1} \right] = \left[ \sqrt{4n-1} \right]}\).

Rozwiązane 18) Dane są liczby rzeczywiste \(\displaystyle{ a,b,c}\), że funkcja \(\displaystyle{ f(x)=ax^{2}+bx+c}\) nie ma pierwiastków rzeczywistych. Wykaż, że liczba \(\displaystyle{ c}\) jest tego samego znaku co \(\displaystyle{ 100a + 10b + c}\).

Rozwiązane 19) Wykaż, że liczby rzeczywiste \(\displaystyle{ x,y,z}\) spełniają warunki \(\displaystyle{ x+y+z=xy+yz+zx}\) i \(\displaystyle{ xyz=1}\), to co najmniej jedna z nich jest równa \(\displaystyle{ 1}\).

Rozwiązane 20) Udowodnij, że jeżeli suma liczb nieujemnych \(\displaystyle{ a,b,c,d}\) wynosi \(\displaystyle{ 1}\), to \(\displaystyle{ ab+bc+cd \le \frac{1}{4}}\).

21) Wykaż, że do dowolnej liczby naturalnej w zapisie dziesiętnym można dopisać pewną liczbę cyfr tak, aby otrzymać sześcian liczby naturalnej.

22) Wykaż, że jeśli \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) są liczbami dodatnimi, to w przedziale \(\displaystyle{ \left[x,x+y+ \frac{x}{y}+1 \right]}\) leży co najmniej jeden kwadrat liczby całkowitej.

Rozwiązane 23) Udowodnij, że dla dowolnego naturalnego \(\displaystyle{ n \ge 1}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{ \sqrt{0}+ \sqrt{1} }+ \frac{1}{\sqrt{1}+ \sqrt{2}}+ \frac{1}{\sqrt{2}+ \sqrt{3}}+...+ \frac{1}{\sqrt{n-1}+ \sqrt{n}}= \sqrt{n}}\).

24) Dane są liczby dodatnie a,b,c oraz liczby rzeczywiste \(\displaystyle{ x_{1},x_{2},x_{3}}\). Wykaż, że funkcja
\(\displaystyle{ f(x)=a(x-x_{1})(x-x{2})+b(x-x_{2})(x-x{3})+c(x-x_{3})(x-x{1})}\)
ma pierwiastek rzeczywisty.

25) Iloczyn pewnych dwoch liczb dodatnich całkowitych jest podzielny przez ich sumę. Wykaż, że w rozkładzie tej sumy na iloczyn potęg różnych liczb pierwszych wszystkie wykładniki są większe od \(\displaystyle{ 1}\).

Rozwiązane 26)Dane są liczby rzeczywiste \(\displaystyle{ a,b,c}\). Udowodnij, że jeżeli \(\displaystyle{ (a+b+c)\cdot c < 0}\), to równanie \(\displaystyle{ ax^{2}+bx+c=0}\) ma pierwiastek rzeczywisty.

27) Danych jest \(\displaystyle{ 2n}\) liczb dodatnich mniejszych od \(\displaystyle{ M}\). Udowodnij, że suma pewnych \(\displaystyle{ n}\) z danych liczb jest większa od sumy \(\displaystyle{ n}\) pozostałych o mniej niż \(\displaystyle{ M}\).

[mol_ksiazkowy]

11

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ x^3+y^3= (x+y)(x^2-xy+y^2)}\), tj \(\displaystyle{ (x+y)^2-3xy =1}\), tj \(\displaystyle{ xy=0}\), tj x=0, y=1 lub y=0, x=1

[jgarnek]

zad. 10

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ m=x^2+y^2}\)
\(\displaystyle{ 2m=2(x^2+y^2)=(x+y)^2+(x-y)^2}\)

zad. 5

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ P_1=P_2 \Leftrightarrow ab=cd}\)
\(\displaystyle{ L_1=L_2 \Leftrightarrow a+b=c+d}\)
Rozważmy dwa wielomiany:
\(\displaystyle{ W(x)=(x-a)(x-b)=x^2-(a+b)x+ab}\)
\(\displaystyle{ G(x)=(x-c)(x-d)=x^2-(c+d)x+cd}\)
Z treści zadania wynika, że wielomiany te mają równe współczynniki, są więc równe- mają te same pierwiastki.

zad. 19

Ukryta treść:    

Rozważmy następujący wielomian:
\(\displaystyle{ W(a)=(a-x)(a-y)(a-z)=a^3+\alpha x^2 +\beta x +b}\)
Mamy:

\(\displaystyle{ -\alpha=x+y+z=\beta}\)

\(\displaystyle{ -b=xyz}\)

więc \(\displaystyle{ W(a)=a^3+\alpha x^2 -\alpha x -1}\)
W(1)=0, więc 1 jest jednym z pierwiastków tego wielomianu: \(\displaystyle{ 1 \in\{x, y, z\}}\)

zad. 23

Ukryta treść:    

Korzystając z tego, że:
\(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}=\frac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{x-y}}\)
otrzymujemy: \(\displaystyle{ L=\sqrt{1}+\sqrt{2}-\sqrt{1}+\sqrt{3}-\sqrt{2}+...+\sqrt{n}=\sqrt{n}=P}\)

[snm]

zad 20

Ukryta treść:    

podstawiamy \(\displaystyle{ (a+b+c+d)^{2}}\) w miejsce jedynki i mamy równoważnie \(\displaystyle{ 4ab+4bc+4cd \le a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+2ab+2bc+2cd+2ad \Leftrightarrow (a-b-c+d)^{2} \ge 0}\)

zad 23

Ukryta treść:    

mnożąc licznik i mianownik każdego ułamka przez sprzężenie mianownika otrzymujemy \(\displaystyle{ LHS=\sqrt{1}-\sqrt{0}+\sqrt{2}-\sqrt{1}+\sqrt{3}-\sqrt{2}+...+\sqrt{n}-\sqrt{n-1}=\sqrt{n}}\)

zad 9

Ukryta treść:    

teza jest nieprawdziwa - chociażby dla równobocznego o boku 1 mamy pole \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{3}}{4}}\) i wartość wyrażenia \(\displaystyle{ \frac{3}{6}=\frac{1}{2}}\). Można nawet łatwo pokazać, że pole trójkąta jest zawsze mniejsze. Oznaczmy to pole jako P. Mamy \(\displaystyle{ 3P \le \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2} \Leftrightarrow ab \sin \gamma + bc \sin \alpha + ac \sin \beta \le a^{2}+b^{2}+c^{2}}\), a to jest prawda, bo lewa strona jest mniejsza od \(\displaystyle{ ab+bc+ca}\)

[Dumel]

15:    

\(\displaystyle{ ab=p(a+b)}\) wiec \(\displaystyle{ p|ab}\). [texp[/latex] jest pierwsza wiec bez straty ogolnosci \(\displaystyle{ p|a=px}\). dostajemy \(\displaystyle{ b(x-1)=px}\). \(\displaystyle{ (x-1,x)=1}\) więc \(\displaystyle{ x|b=xy}\). mamy teraz \(\displaystyle{ y(x-1)=p}\) wiec jeden z czynnikow po lewej stronie jest rowny 1. dwa przypadki (\(\displaystyle{ x=2}\) i \(\displaystyle{ y=1}\) dają nam rozwiązania postaci \(\displaystyle{ a=b=2p}\), \(\displaystyle{ a=p(p+1);\ b=p+1}\) (no i oczywiscie jeszcze \(\displaystyle{ b=p(p+1);\ a=p+1}\)) ktore po sprawdzeniu są ok.

[Psycho]

1) Pokaż, że jeśli \(\displaystyle{ 2^{x}=3}\) \(\displaystyle{ 5^{x}=3}\), to \(\displaystyle{ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} >2}\).

źle przepisane ( nie ma nic o y )

4:    

wydaje się banalne:
\(\displaystyle{ \sqrt[n]{m} < \sqrt[n]{n} < \sqrt[m]{n}}\)

[mol_ksiazkowy]

ad 16

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ a_{n+1} =S_{n+1}-S_n =3n(n+1)}\)

Quote:

źle przepisane ( nie ma nic o y )

Zapewne ma byc \(\displaystyle{ 5^y=3}\)

[Psycho]

źle przepisane ( nie ma nic o y )

Zapewne ma byc \(\displaystyle{ 5^y=3}\)

pewnie tak

26:    

\(\displaystyle{ \delta = b^{2} - 4ac > b^{2} + 4(b+c)c= (b+2c)^{2}}\)

[bosa_Nike]

6:    

Standardowe podstawienia: \(\displaystyle{ x=6k\ \Rightarrow\ 3k=m^2\ \wedge\ 2k=n^3\ \Rightarrow\ 3n^3=2m^2\ \Rightarrow\ n=2r,\ m=3s...}\) itd. \(\displaystyle{ x=2^33^4t^6,\ t\in\mathbb{Z}}\)

7:    

Trzeba pomnożyć przez \(\displaystyle{ (a-1)}\), najlepiej z lewej strony.

[Swistak]

zad 3:    

Łącznie mamy przejść n+2 drogi z czego 2 mają być w dół, a n w prawo. Możemy te kawałki uporządkować na \(\displaystyle{ {n+2 \choose 2}}\) sposobów, a każdemu sposobowi odpowiada inna droga.

[taka_jedna]

1.:    

\(\displaystyle{ \frac{1}{x}+ \frac{1}{y}=log_{3}2+log_{3}5=log_{3}10>log_{3}9=2}\)

18.:    

Nietrudno zauważyć, że \(\displaystyle{ \Delta<0 \Rightarrow sgn a = sgn c}\), a ponieważ \(\displaystyle{ sgnf(x)=sgna \Rightarrow sgnf(10)=c}\)

13.:    

Jeśli k jest wspólnym dzielnikiem \(\displaystyle{ an+b}\) i \(\displaystyle{ cn+d}\), to \(\displaystyle{ an+b=kl \Rightarrow acn+bc=klc}\), \(\displaystyle{ cn+d=ks \Rightarrow acn+ad=aks}\), czyli \(\displaystyle{ ad-bc=k(as-lc)}\), a tu już widać tezę.

[Citizen]

Racja, źle przepisałem. Już poprawiłem, dzięki za rozwiązania . Zostały jeszcze tylko 2,8,12,14,17,21,22,24,25,27

[taka_jedna]

12.:    

Rozważmy zbiór \(\displaystyle{ \lbrace 1,2,3,4,5,6,7,8,9 \rbrace}\), a dokładniej zainteresujmy się jego podzbiorami. Podzbiorów o parzystej liczbie elementów (a w każdym podzbiorze możemy ustawić elementy rosnąco)jest: \(\displaystyle{ {9\choose 2}+{9\choose 4}+{9\choose 6}+{9\choose 8}+1=256}\)(uwzględniam też jako liczbę rosnącą \(\displaystyle{ 0}\)). O nieparzystej liczbie elementów \(\displaystyle{ 2 ^{9}-256=256}\). Wniosek z tego taki, że coś pochrzaniłam lub teza nie jest prawdziwa.

[mol_ksiazkowy]

2

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ a-b=\frac{a}{b}}\), tj \(\displaystyle{ a=\frac{b^2}{b-1}}\) tj pary \(\displaystyle{ (\frac{b^2}{b-1},b)}\), \(\displaystyle{ b \neq 1}\)

[bosa_Nike]

14:    

\(\displaystyle{ f(x)=0\ \Rightarrow\ g\left(\frac{1}{x}\right)\cdot 0=h(x)\cdot g\left(\frac{1}{x}\right)+g(x)\cdot g\left(\frac{1}{x}\right)\cdot h\left(\frac{1}{x}\right)=f\left(\frac{1}{x}\right)}\)