Matematyka.pl

Dany jest siedmiokąt foremny \(\displaystyle{ A_{1},A_{2},...,A_{7}}\). Pokaż, że:
\(\displaystyle{ \frac{1}{|A_{1}A_{3}|} + \frac{1}{|A_{1}A_{4}|}= \frac{1}{
|A_{1}A_{2}|}}\)

|A1A2|=|A3A4|, W trójkącie A1A3A4 łatwo możemy obliczyć kąty, korzystając z tw. sinusów widzimy, ze nasza równość do udowodnienia wygląda tak:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2R \cdot \sin{\frac{2 \pi}{7}}}+\frac{1}{2R \cdot \sin{\frac{4 \pi}{7}}}=\frac{1}{2R \cdot \sin{\frac{ \pi}{7}}} \Rightarrow \\ \sin{\frac{ \pi}{7}}} \sin{\frac{ 4\pi}{7}}} +\sin{\frac{ 2\pi}{7}}} \sin{\frac{ \pi}{7}}} -\sin{\frac{ 2\pi}{7}}} \sin{\frac{ 4\pi}{7}}}=0 \Leftrightarrow \\ (\cos{\frac{ 6\pi}{7}}}-\cos{\frac{ 5\pi}{7}}})-(-\cos{\frac{ \pi}{7}}}+\cos{\frac{ 2\pi}{7}}})=0 \Leftrightarrow \\ -\sin{\frac{ 11\pi}{14}}}\sin{\frac{ \pi}{14}}}+\sin{\frac{ 3\pi}{14}}}\sin{\frac{ \pi}{14}}}=0 \Leftrightarrow \\ 0=0}\)

Zdaję sobie sprawę że druga część dowodu może nie wygląda zbyt pięknie ale nie potrafiłem ładniej tego udowodnić, korzystałem z podstawowych tożsamości trygonometrycznych.

Po wymnożeniu: \(\displaystyle{ A_1 A_2 \cdot A_1 A_4 + A_1 A_3 \cdot A_1 A_2 = A_1 A_3 \cdot A_1 A_4}\). Pachnie Twierdzeniem Ptolemeusza (w szczególności po finale tegorocznego OM ). Zatem po prawej stronie mamy tak jakby długości pewnych przekątnych. Jeśli \(\displaystyle{ A_1A_4}\) to jedna przekątna, to druga jest długości \(\displaystyle{ A_1A_3}\), np. \(\displaystyle{ A_2A_4}\) (ale to nie będzie druga przekątna czworokąta, itp.). Ładnie pasuje: \(\displaystyle{ A_3A_5}\). Zatem rozpatrzmy czworokąt \(\displaystyle{ A_1A_3A_4A_5}\). Zachodzi w nim Twierdzenie Ptolemeusza (7-kąt foremny, na którym jest opisany okrąg):

\(\displaystyle{ A_1A_4 \cdot A_3 A_5 = A_1 A_3 \cdot A_4 A_5 + A_1A_5 \cdot A_3A_4}\)

Nietrudno sprawdzić, że zachodzą odpowiednie równości boków/przekątnych i powyższa równość jest równoważna tezie zadania.