[MIX] Mix matematyczny (21)

[Swistak]

Pomyślałem, że ja też mogę ułożyć mixa i wygrzebałem moim zdaniem parę naprawdę ciekawych zadanek .

1. Znaleźć wszystkie funkcje \(\displaystyle{ f:R \rightarrow R}\) spełniające warunek:
\(\displaystyle{ f(x)\cdot f(y) -xy=f(x)+f(y)-1}\)
2. Mamy dany wielomian \(\displaystyle{ W(x)=x^{4}+26x^{3}+52x^{2}+78x+1989}\). Udowodnij, ze nie istnieją wielomiany P(x) i Q(x) o współczynnikach całkowitych i stopniach niższych niż 4 takie, że \(\displaystyle{ W(x)=P(x)\cdot Q(x)}\)
3. Rozstrzygnij, czy istnieją takie trójki liczb naturalnych \(\displaystyle{ (x; y; p)}\), przy czym p jest w dodatku pierwsze takie, że \(\displaystyle{ \sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}=\sqrt[3]{p}}\)
4. Znajdź wszystkie liczby całkowite x takie, że ułamek \(\displaystyle{ \frac{7x+1}{3x+4}}\) też jest całkowity.
5. Dane są 3 walce o jednakowych promieniach, styczne każdy z każdym, takie, że ich osie są do siebie prostopadłe. Znaleźć promień największego walca jaki można włożyć w dziurę między nimi.
6. Dany mamy sześciokąt ABCDEF taki, że:
- trójkąt ABF jest trójkątem równobocznym
- czworokąt BDEF jest równoległobokiem
- \(\displaystyle{ BC=1}\)
- \(\displaystyle{ AD=3}\)
- \(\displaystyle{ CD+DE=2}\)
Obliczyć pole tego sześciokąta.
7. Dany mamy ostrosłup ABCDS o podstawie ABCD, która jest równoległobokiem. Na krawędziach SA, SB i SC obrano kolejno punkty \(\displaystyle{ A_{1} \ B_{1} \ C_{1}}\) takie, że \(\displaystyle{ \frac{A_{1}S}{AS}=\frac{1}{3} \ \frac{B_{1}S}{BS}=\frac{1}{5} \ \frac{C_{1}S}{CS}=\frac{1}{4}}\). Płaszczyzna \(\displaystyle{ A_{1}B_{1}C_{1}}\) przecina odcinek \(\displaystyle{ DS}\) w punkcie \(\displaystyle{ D_{1}}\). Obliczyć \(\displaystyle{ \frac{D_{1}S}{DS}}\).
8. W układzie współrzędnych znajduje się figura F o polu mniejszym niż 1. Udowodnij, że można ją tak przesunąć, aby nie zawierała żadnego punktu kratowego.
9. Na kole mamy dane n liczb. Dla 4 kolejnych liczb a, b, c, d możemy zamienić miejscami liczby b i c jeżeli zachodzi warunek \(\displaystyle{ (a-d)(b-c)>0}\). Udowodnij, że liczb nie można zamieniać w nieskończoność.
10. Dany jest trójkąt ostrokątny ABC. Punkt M jest środkiem boku BC, odcinki BE i CF są wysokościami tego trójkąta i \(\displaystyle{ |<BAC| = \alpha}\). Oblicz miarę kąta EMF.

EDIT: Przepraszam, do zad. 1 wkradł się mały błąd. Po prawej stronie przy jedynce miał być minus, a nie plus.

[abc666]

5.
Patrząc z góry mamy 3 okręgi o promieniach R i środkach \(\displaystyle{ O_1,O_2,O_3}\), łączymy je, powstaje trójkąt równoboczny o boku 2R, największy walec jaki możemy włożyć jest oczywiście styczny do pozostałych, jego oś (środek okręgu \(\displaystyle{ S}\) gdy patrzymy z góry) leży na środkowych naszego trójkąta, odcinek \(\displaystyle{ O_1S}\) ma długość \(\displaystyle{ \frac{2}{3} \cdot R \sqrt{3}}\) , składa się on z promienia dużego walca i promienia małego walca więc promień małego to \(\displaystyle{ r= \frac{2}{3} \cdot R \sqrt{3}-R=R( \frac{2 \sqrt{3} }{3}-1 )}\)

[Artist]

4
\(\displaystyle{ \frac{7x+1}{3x+4}=\frac{2(3x+4)+x-7}{3x+4}=2+\frac{x-7}{3x+4}}\)
Teraz nie weim czy to będzie optymalne, ale mianownik rośnie szybciej niż licznik więc dla \(\displaystyle{ x>7}\) nie będzie rozwiązań. Dalej dla \(\displaystyle{ x<-6}\) znowu nie będzie rozwiązań, gdyż zarówno licznik jak i mianownik będą ujemne a mianownik będzie dużo mniejszy. Szukamy zatem w zbiorze <-5,7>
Rozwiązaniem są:
7,-1,-3,

[frej]

2. Kryterium Eisensteina

[lina2002]

Wstawmy \(\displaystyle{ y:=x}\). Mamy \(\displaystyle{ f ^{2}(x)-x ^{2}=2f(x)+1}\), czyli \(\displaystyle{ f ^{2}(x)-2f(x)+1=x ^{2}+2}\), \(\displaystyle{ (f(x)-1) ^{2}=x ^{2}+2}\). Tak więc ostatecznie: \(\displaystyle{ f(x)= \sqrt{x ^{2}+2}+1}\) lub \(\displaystyle{ f(x)= -\sqrt{x ^{2}+2}+1}\)

edit: Skoro miała być jedynka z minusem to: \(\displaystyle{ f ^{2}(x)-x ^{2}=2f(x)-1}\), \(\displaystyle{ f ^{2}(x)-2f(x)+1=x ^{2}}\), \(\displaystyle{ (f(x)-1) ^{2}=x ^{2}}\). czyli \(\displaystyle{ f(x)=x+1}\) lub \(\displaystyle{ f(x)=-x+1}\).

[Swistak]

abc666: Odpowiedź się nie zgadza. Jak przeanalizuję Twoje rozwiązanie, to powiem co jest źle.
Artist: To jest firmowe rozwiązanie w Kurlyandchniku, jednak ja wymyśliłem także swoje inne rozwiązanie, zaraz je przedstawię.
frej: Mógłbyś to rozwinąć ?

[frej]

Każdy, kto wie, czym jest Kryterium Eisensteina wie, że dla \(\displaystyle{ p=13}\) wielomian jest nierozkładalny.-- 8 maja 2009, 18:32 --w 9. liczby są rzeczywiste, czy może naturalne... ?

[Swistak]

Ja niestety nie wiem co to kryterium Eisensteina . Zaraz przeszukam google :].
W 9 są liczby rzeczywiste.

[abc666]

<głupoty>

[Swistak]

Alternatywne rozwiązanie zad. 1:
Podstawiamy parę liczb (1; 1). Wtedy otrzymujemy, że \(\displaystyle{ f(1)^{2}=2f(1)}\), a więc \(\displaystyle{ f(1)=2 \vee f(1)=0}\)
Teraz podstawiamy parę liczb (x; 1). Otrzymujemy \(\displaystyle{ f(x)f(1)-x=f(x)+f(1)-1}\). Rozpatrujemy teraz 2 przypadki, gdy \(\displaystyle{ f(1)=2 \ i \ f(1)=0}\). Z 1 przypadku otrzymujemy rozwiązanie f(x)=x+1, a z drugiego f(x)=-x+1.
Dodam, że to rozwiązanie podał mi jerzozwierz.
Alternatywne rozwiązanie zad. 2:
Wiemy, że \(\displaystyle{ \frac{7x+1}{3x+4}}\) jest całkowite, a zatem \(\displaystyle{ \frac{21x+3}{3x+4}}\) też jest całkowite, a to wyrażenie jest równe wyrażeniu \(\displaystyle{ 7-\frac{25}{3x+4}}\). Z tego wynika, że 3x+4 dzieli 25, a więc \(\displaystyle{ 3x+4 \in}\){-25; -5; -1; 1; 5; 25} \(\displaystyle{ \Rightarrow 3x \in}\) {-29; -9; -5; -3; 1; 21} \(\displaystyle{ \Rightarrow x \in}\){-3; 1; 7}. Teraz podstawiamy te wartości i sprawdzamy, że wszystko się zgadza.

abc666: Ty przyjąłeś, że osie tych walców są równoległe, a miały być prostopadłe.
frej: No rzeczywiście, wszystko się zgadza, ale jakoś to rozwiązanie mnie nie satysfkacjonuje .

[Artist]

3.
Jeśli uznawać 0 za naturalne to chyba nie trzeba dużo myśleć
Załóżmy, że istnieją:
\(\displaystyle{ (\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y})^{3}=(\sqrt[3]{p})^{3}}\)
Ze wzoru:\(\displaystyle{ (a+b)^{3}=a^{3}+b^{3}+3ab(a+b)}\)
A u nas mamy a+b=p
\(\displaystyle{ y+x+3\sqrt[3]{xyp}=p}\)
Teraz trzeba jakoś sprzeczność wykazać....

\(\displaystyle{ 3\sqrt{xyp}}\) musi być całkowite (prawa strona jest) mogą zatem zajść dwa przypadki:
\(\displaystyle{ x=p^{2}k \vee y=p^{2}l}\) dla k,l naturalnych.
Drugi:
\(\displaystyle{ x=pa \wedge y=pb}\)
Pierwszy:
\(\displaystyle{ p^{2}k+y+3p\sqrt[3]{yk}>p}\) analogicznie dla y.
Drugi:
\(\displaystyle{ pa+pb+3\sqrt[3]{p^{3}ab}=p(a+b+3\sqrt[3]{ab})>p}\) Sprzecznosć.

[abc666]

Rzeczywiście, nie wiem jak ja to przeczytałem

[Swistak]

3.
Załóżmy, że istnieją:
\(\displaystyle{ y+x+3\sqrt[3]{xyp}=p}\)

Jak doszedłeś do tej tożsamości?

EDIT: A już wiem, rzeczywiście to zachodzi .
Jeżeli chcesz to wszystko rozpatrywać na przypadki, to zapomniałeś, że możliwe jest np. \(\displaystyle{ x=p^{5}k}\), ale takie przypadki są już oczywiste. Można to ogólnie potraktować, że wtedy na pewno któraś z liczb x i y będzie większa lub równa p, a wtedy dana tożsamość z tezy nie zachodzi.

P.S. Już 4 zadanka padły, a geometria jeszcze nie ruszona . Szczerze, to się nie dziwię .

[Artist]

Nie trzeba rozpatrywać \(\displaystyle{ x=p^{5}k}\), gdyż może być \(\displaystyle{ p|k}\), jest to nieistotne dla tego rozwiązania. Gdy masz dowieść, że liczba jest podzielna przez 3 (a jest przez 9) to nie musisz dowodzić, że jest podzielna przez 9.
A tożsamość może ktoś jeszcze nie dojśc to dokleje do pierwszego zadania.

[Dumel]

9.
dla liczb na okręgu: \(\displaystyle{ a_1,a_2,...,a_n}\) rozważmy liczbe \(\displaystyle{ L=a_1a_2+a_2a_3+...+a_na_1}\). po zamianie zgodnej z zasadami wartość \(\displaystyle{ L}\) rośnie, a nie moze oczywiście rosnąć nieskończoną ilość razy bo liczby można ustawić na okręgu na skończoną liczbę sposobów.