Wrzucam tutaj zadania oznaczone jako troszkę trudniejsze od pozostałych. Nie padło ich zbyt wiele, ale to była głównie wina niewielkiej ilości czasu wolnego.
Przypominam o klamrach
Ukryta treść:
T.1 Udowodnić, że każdy wielokąt wypukły o polu \(\displaystyle{ 1}\) zawiera sześciokąt wypukły o polu nie mniejszym niż \(\displaystyle{ \frac{3}{4}}\).
T.2 Niech \(\displaystyle{ a,b,c\in \mathbb {R}}\). Udowodnij, że \(\displaystyle{ a^{2}+b^{2}+c^{2}=1 \Rightarrow \frac{1}{1-ab}+\frac{1}{1-bc}+\frac{1}{1-ca} \le \frac{9}{2}}\)
T.3 W czasie zawodów Międzynarodowej Olimpiady Dobierania Zwierząt (International Animal Matching Olympiad) przy okrągłym stole siedzi \(\displaystyle{ 100}\) reprezentantów \(\displaystyle{ 25}\) krajów, po czterech z każdego kraju. Udowodnij, że można tak podzielić wszystkich zawodników IAMO na cztery grupy, że każda grupa zawiera reprezentanta każdego kraju i w żadnej grupie nie ma dwóch zawodników siedzących obok siebie.
T.4 Dany jest trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\) o kącie \(\displaystyle{ 60^{\circ}}\) przy wierzchołku \(\displaystyle{ A}\). Niech \(\displaystyle{ I}\) będzie środkiem okręgu wpisanego. Przez \(\displaystyle{ P}\) oznaczmy taki punkt na \(\displaystyle{ BC}\), że \(\displaystyle{ 3\cdot|BP|=|BC|}\). Punkt \(\displaystyle{ F}\) leży na \(\displaystyle{ AB}\) i \(\displaystyle{ IF}\) jest równoległe do \(\displaystyle{ AC}\). Udowodnij, że \(\displaystyle{ |\sphericalangle BFP|= |\sphericalangle FBI|}\).
T.5 Niech \(\displaystyle{ S}\) będzie skończonym zbiorem punktów na płaszczyźnie, przy czym żadne trzy punkty z \(\displaystyle{ S}\) nie są współliniowe. Dla każdego wielokąta wypukłego \(\displaystyle{ P}\) o wierzchołkach z \(\displaystyle{ S}\) niech \(\displaystyle{ a(P)}\) oznacza liczbę wierzchołków \(\displaystyle{ P}\), a \(\displaystyle{ b(P)}\) liczbę punktów na zewnątrz \(\displaystyle{ P}\). Udowodnij, że dla każdej niezerowej liczby rzeczywistej zachodzi
\(\displaystyle{ \sum_{P} x^{a(P)}(1-x)^{b(P)}=1}\)
przy czym sumowanie zachodzi po wszystkich wielokątach wypukłych o wierzchołkach w \(\displaystyle{ S}\). Przyjmujemy, że odcinek, punkt i zbiór pusty są wielokątami wypukłymi o odpowiednio dwóch, jednym i zerze wierzchołków.
T.6 W trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\) kąt przy wierzchołku \(\displaystyle{ A}\) ma miarę \(\displaystyle{ 120^{\circ}}\), a \(\displaystyle{ K,L,M}\) są spodkami dwusiecznych \(\displaystyle{ AK, BL, CM}\) odpowiednio. Oblicz \(\displaystyle{ | \sphericalangle LKM|}\).
T.7 Kolonizatorzy zasiedlający kulistą planetę postanowili zbudować \(\displaystyle{ N}\) miast o powierzchni \(\displaystyle{ \frac{1}{1000}}\) planety. Ponadto chcieli, żeby każde \(\displaystyle{ 2}\) punkty należące do różnych miast miały różną szerokość i długość geograficzną. Jaka jest maksymalna wartość \(\displaystyle{ N}\)?
T.8 Okrąg \(\displaystyle{ k}\) wpisany w trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\) ma promień długości \(\displaystyle{ r}\) . Dwusieczne kątów \(\displaystyle{ BAC, CBA, ACB}\) przecinają \(\displaystyle{ k}\) odpowiednio w \(\displaystyle{ A', B', C'}\). Udowodnić, że zachodzi nierówność \(\displaystyle{ 16\cdot Q^{3} \ge P \cdot 27r^{4}}\), gdzie \(\displaystyle{ Q}\) i \(\displaystyle{ P}\) to odpowiednio pola trójkątów \(\displaystyle{ A'B'C'}\) i \(\displaystyle{ ABC}\).
T.9 Czy istnieje funkcja ograniczona i ciągła \(\displaystyle{ f: \mathbb {R} \to \mathbb {R}}\) taka, że dla dowolnych \(\displaystyle{ x,y \in \mathbb {R}}\) zachodzi
\(\displaystyle{ (f(x)-f(y))(f(x)+f(y))=f(x-y)f(x+y)}\)
T.10 Rozstrzygnąć, czy istnieje zbiór okręgów w przestrzeni taki, że przez każdy punkt przestrzeni przechodzi dokładnie jeden z tych okręgów.
Nierozwiązane są zadania 3, 4, 5 (?), 6, 7 , 8.