7:
Odpowiedź: \(\displaystyle{ N = \lfloor \sqrt{1000} \rfloor = 31}\).
Funkcja \(\displaystyle{ F : [0, 2\pi] \times [-1, 1] \to \mathbb{S}^2}\) określona wzorem \(\displaystyle{ F( \lambda, z ) = \big( \sqrt{1-z^2} \cos \lambda, \sqrt{1-z^2} \sin \lambda, z \big)}\) jest izomorfizmem ze względu na wszystkie własności istotne dla zadania - zachowuje powierzchnię i równość odpowiednich współrzędnych (dowód pominę, bo to nieciekawe rachunki). Prostokąt z kolei jest izomorficzny z kwadratem \(\displaystyle{ [0, 1]^2}\) (choć tym razem zachowana jest nie powierzchnia, a stosunek powierzchni, co oczywiście wystarcza). Zatem zostaje wykazać, że w takim kwadracie największa liczba miast jaką można umieścić zgodnie z regułami zadania to \(\displaystyle{ N = 31}\).
Nietrudno zauważyć, że \(\displaystyle{ 31}\) miast się zmieści: wystarczy wybrać rozłączne odcinki \(\displaystyle{ I_1, \ldots, I_{31} \subseteq [0, 1]}\) o długości \(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{1000}}}\), a wtedy prostokąty \(\displaystyle{ I_k \times I_k}\) mają żądane własności.
Przypuśćmy teraz, że udało się zbudować \(\displaystyle{ K}\) miast \(\displaystyle{ M_1, \ldots, M_K \subseteq [0, 1]^2}\) w sposób spełniający warunki. Niech \(\displaystyle{ I_k}\) będzie rzutem miasta \(\displaystyle{ M_k}\) na pierwszą oś, a \(\displaystyle{ J_k}\) na drugą. Wtedy oczywiście \(\displaystyle{ M_k \subseteq I_k \times J_k}\), zatem
\(\displaystyle{ | I_k | \cdot | J_k | \ge \frac{1}{1000}}\),
gdzie \(\displaystyle{ |\cdot|}\) oznacza długość odcinka (lub - jeśli nie ma założenia, że miasta muszą być spójne - ich miarę Lebesgue'a). Z warunków zadania wynika, że wszystkie odcinki \(\displaystyle{ I_k}\), a także wszystkie \(\displaystyle{ J_k}\), są rozłączne, w związku z czym
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^K |I_k| \le 1}\) oraz \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^K |J_k| \le 1}\).
Z nierówności Cauchy'ego-Schwarza otrzymujemy
\(\displaystyle{ \frac{K}{\sqrt{1000}} \le \sum_{k=1}^K \sqrt{|I_k|} \cdot \sqrt{|J_k|} \le \sqrt{ \sum_{k=1}^K |I_k| } \cdot \sqrt{ \sum_{k=1}^K |J_k| } \le 1}\),
co daje żądane oszacowanie \(\displaystyle{ K \le \lfloor \sqrt{1000} \rfloor}\).
Funkcja \(\displaystyle{ F : [0, 2\pi] \times [-1, 1] \to \mathbb{S}^2}\) określona wzorem \(\displaystyle{ F( \lambda, z ) = \big( \sqrt{1-z^2} \cos \lambda, \sqrt{1-z^2} \sin \lambda, z \big)}\) jest izomorfizmem ze względu na wszystkie własności istotne dla zadania - zachowuje powierzchnię i równość odpowiednich współrzędnych (dowód pominę, bo to nieciekawe rachunki). Prostokąt z kolei jest izomorficzny z kwadratem \(\displaystyle{ [0, 1]^2}\) (choć tym razem zachowana jest nie powierzchnia, a stosunek powierzchni, co oczywiście wystarcza). Zatem zostaje wykazać, że w takim kwadracie największa liczba miast jaką można umieścić zgodnie z regułami zadania to \(\displaystyle{ N = 31}\).
Nietrudno zauważyć, że \(\displaystyle{ 31}\) miast się zmieści: wystarczy wybrać rozłączne odcinki \(\displaystyle{ I_1, \ldots, I_{31} \subseteq [0, 1]}\) o długości \(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{1000}}}\), a wtedy prostokąty \(\displaystyle{ I_k \times I_k}\) mają żądane własności.
Przypuśćmy teraz, że udało się zbudować \(\displaystyle{ K}\) miast \(\displaystyle{ M_1, \ldots, M_K \subseteq [0, 1]^2}\) w sposób spełniający warunki. Niech \(\displaystyle{ I_k}\) będzie rzutem miasta \(\displaystyle{ M_k}\) na pierwszą oś, a \(\displaystyle{ J_k}\) na drugą. Wtedy oczywiście \(\displaystyle{ M_k \subseteq I_k \times J_k}\), zatem
\(\displaystyle{ | I_k | \cdot | J_k | \ge \frac{1}{1000}}\),
gdzie \(\displaystyle{ |\cdot|}\) oznacza długość odcinka (lub - jeśli nie ma założenia, że miasta muszą być spójne - ich miarę Lebesgue'a). Z warunków zadania wynika, że wszystkie odcinki \(\displaystyle{ I_k}\), a także wszystkie \(\displaystyle{ J_k}\), są rozłączne, w związku z czym
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^K |I_k| \le 1}\) oraz \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^K |J_k| \le 1}\).
Z nierówności Cauchy'ego-Schwarza otrzymujemy
\(\displaystyle{ \frac{K}{\sqrt{1000}} \le \sum_{k=1}^K \sqrt{|I_k|} \cdot \sqrt{|J_k|} \le \sqrt{ \sum_{k=1}^K |I_k| } \cdot \sqrt{ \sum_{k=1}^K |J_k| } \le 1}\),
co daje żądane oszacowanie \(\displaystyle{ K \le \lfloor \sqrt{1000} \rfloor}\).