[MIX] Suplement KMDO

Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
pawelsuz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 569
Rejestracja: 15 gru 2008, o 18:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: BK
Podziękował: 73 razy
Pomógł: 40 razy

[MIX] Suplement KMDO

Post autor: pawelsuz »

Ktoś próbował nierówności z 200 i 201?
Awatar użytkownika
Sylwek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2716
Rejestracja: 21 maja 2007, o 14:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 160 razy
Pomógł: 657 razy

[MIX] Suplement KMDO

Post autor: Sylwek »

200 była lajtowa, zrobiłem na poprzedniej stronie. 201 wygląda na bardzo ciężką.
mol_ksiazkowy pisze:205
...
Ciekawy jestem, czy jest możliwe zrobić to zadanie bez posiadania odpowiedzi do "niebieskiego Pawłowskiego", tzn. to co napisał (chyba się nie pomylę, jak powiem przepisał ) Mol.
frej

[MIX] Suplement KMDO

Post autor: frej »

Możliwości techniczne sprawiły, że trzeba było podzielić post z rozwiązaniami na części. Oto druga z nich:

101(rozwiązane przez Nakahed90)
Udowodnij, że jeżeli \(\displaystyle{ a^2+b^2+(a+b)^2=c^2+d^2+(c+d)^2}\), to \(\displaystyle{ a^4+b^4+(a+b)^4=c^4+d^4+(c+d)^4}\)
Ukryta treść:    
102(rozwiązane przez binaja)
Rozstrzygnij, czy istnieje sześciokąt o wierzchołkach w punktach kratowych mający boki, których kwadraty długości są sześcioma kolejnymi liczbami naturalnymi.
102:    
103(rozwiązane przez Wasilewskiego)
Udowodnij, że jeżeli liczby \(\displaystyle{ a,b\in \mathbb{N}}\) i \(\displaystyle{ (a+b)|a^2+ab+b^2}\), to \(\displaystyle{ (a+b)^2 | a^4+b^4}\)
Zad. 103:    
104(rozwiązane przez Sylwka)
Niech \(\displaystyle{ (x]}\) oznacza najmniejszą liczbę całkowitą nie mniejszą od liczby rzeczywistej \(\displaystyle{ x}\). Udowodnij, że dla dowolnych liczb naturalnych \(\displaystyle{ n\ge 1}\), \(\displaystyle{ p\ge 2}\) zachodzi równość
\(\displaystyle{ \left( \frac{p^{n+1}-1}{p^n-1}\cdot \left( \frac{p^{n+1}-2}{p^n-2} \cdot \left( \ldots \left( \frac{p^{n+1}-n}{p^n-n} \right] \ldots \right] \right] \right]=\frac{p^{n+1}-1}{p-1}}\)
104:    
105(rozwiązane przez klaustrofoba)
Udowodnij, że dla dowolnych liczb \(\displaystyle{ a_1, a_2, a_3, \ldots , a_n}\) oraz \(\displaystyle{ b_1, b_2, \ldots , b_n}\) z przedziału \(\displaystyle{ [-1,1]}\) zachodzi nierówność
\(\displaystyle{ \left| \prod_{k=1}^n a_k - \prod_{k=1}^n b_k \right| \le \sum_{k=1}^n \left| a_k -b_k \right|}\)
Ukryta treść:    
106(rozwiązane przez Sylwka )
Liczby rzeczywiste \(\displaystyle{ \alpha_1 , \alpha_2 , \ldots , \alpha_n \in \left(0,\frac{\pi}{2} \right)}\) spełniają warunek \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^n cos^2 \alpha_k =1}\). Udowodnij, że
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^n tg \alpha_k \ge (n-1) \sum_{k=1}^n ctg \alpha_k}\)
Ukryta treść:    
107(rozwiązane przez freja )
Udowodnij, że jeżeli liczby całkowite \(\displaystyle{ a_1, a_2, \ldots , a_p}\), gdzie \(\displaystyle{ p>3}\) jest liczbą pierwszą, tworzą ciąg arytmetyczny, to
\(\displaystyle{ p| a_1^2+a_2^2+\ldots + a_p^2}\)
zad.107:    
108(rozwiązane przez azonipsa)
Udowodnij, że dla każdego naturalnego \(\displaystyle{ n}\)
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^n {2n \choose n+k} k^2=n\cdot 2^{2n-2}}\)
Ukryta treść:    
109(rozwiązane przez bosa_Nike)
Rozwiąż równanie
\(\displaystyle{ \left[ \frac{2x-1}{3} \right] + \left[ \frac{4x+1}{6} \right] = \frac{5x-4}{3}}\)
zad. 109:    
110(rozwiązane przez mola_ksiazkowego )
W zawodach Olimpiady Matematycznej wzięło udział \(\displaystyle{ (m-1)n+1}\) uczestników. Udowodnij, że wśród nich jest albo \(\displaystyle{ m}\) uczestników nie znających się nawzajem, albo jeden uczestnik znający się z co najmniej \(\displaystyle{ n}\) olimpijczykami. Rozstrzygnij, czy teza zadania jest prawdziwa, gdy liczba uczestników wynosi \(\displaystyle{ (m-1)n}\).
Ukryta treść:    
111(rozwiązane przez freja )
Niech \(\displaystyle{ n}\) będzie liczbą złożoną, zaś \(\displaystyle{ 1=d_1 < d_2 < \ldots < d_{m-1} < d_{m} =n}\) są wszystkimi dzielnikami liczby \(\displaystyle{ n}\). Udowodnij, że
\(\displaystyle{ \left( \frac{2}{\log n} \sum_{k=1}^{m-1} \log d_k \right)\in \mathbb{N}}\)
zad.111:    
112(rozwiązane przez Dumla)
Udowodnij, że jeżeli \(\displaystyle{ \alpha , \beta , \gamma}\) są kątami dowolnego trójkąta ostrokątnego , \(\displaystyle{ n}\) jest liczbą naturalną, to
\(\displaystyle{ tg^n \alpha + \tg^n \beta + \tg ^n \gamma \ge 3(\sqrt{3})^n}\)
zad. 112:    
Tu jest błąd co najmniej taki: \(\displaystyle{ (3\sqrt{3})^n}\) zamiast \(\displaystyle{ 3(\sqrt{3})^n}\) ( kontrprzykładem jest nawet \(\displaystyle{ \Delta}\) równoboczny...)
Dumel ma oczywiście rację. Wystarczy nieparzyste \(\displaystyle{ n}\) i np. \(\displaystyle{ \Delta \quad 91^\circ, 45^\circ, 44^\circ}\)

113(rozwiązane przez binaja)
Wyznacz wszystkie rozwiązania w liczbach pierwszych \(\displaystyle{ p,q,r}\) równania
\(\displaystyle{ p^q+q^p=r}\)
113:    
114(rozwiązane przez klaustrofoba)
Niech \(\displaystyle{ n}\) będzie liczbą złożoną, zaś \(\displaystyle{ d_1, d_2, d_3, \ldots , d_k}\) wszystkimi dzielnikami liczby \(\displaystyle{ n}\). Udowodnić, że
\(\displaystyle{ \frac{d_1}{\sqrt{n}}+\frac{d_2}{\sqrt{n}}+\ldots + \frac{d_k}{\sqrt{n}}=\frac{\sqrt{n}}{d_1} + \frac{\sqrt{n}}{d_2} + \ldots + \frac{\sqrt{n}}{d_k}}\)
Ukryta treść:    
115(rozwiązane przez chris139)
Udowodnij, że jeżeli \(\displaystyle{ a>b>0}\), to
\(\displaystyle{ \frac{(a-b)^2}{8a} < \frac{a+b}{2} - \sqrt{ab} < \frac{(a-b)^2}{8b}}\)
Ukryta treść:    
116(rozwiązane przez bosa_Nike)
Rozwiąż w liczbach naturalnych \(\displaystyle{ x,y,z}\) układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^3-y^3-z^3=3xyz \\ x^2=2(x+y+z) \end{cases}}\)
zad. 116:    
117(rozwiązane przez taka_jedna)
Ciąg \(\displaystyle{ (x_n)}\) jest określony następująco:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2x_1-x_2=1 \\ -x_{k-1}+2x_k-x_{k+1}=1 \qquad k=2,3,4,\ldots , n-1 \\ -x_{n-1}+2x_n=1 \end{cases}}\)
Wyznacz \(\displaystyle{ x_n}\)
Ukryta treść:    
118(rozwiązane przez ojciec_kogut)
(a) Udowodnij, że dla dowolnych liczb naturalnych \(\displaystyle{ M}\) i \(\displaystyle{ N}\) zachodzi nierówność
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^M \sum_{j=1}^{N} \frac{1}{i^2 j^2} < 4}\)

(b) Udowodnij, że dla dowolnych liczb naturalnych \(\displaystyle{ M}\) i \(\displaystyle{ N}\) zachodzi nierówność
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^M \sum_{j=1}^N \frac{1}{ij} \cdot \min \Big\{ \frac{1}{i^2} , \frac{1}{j^2} \Big\} <4}\)
Ukryta treść:    
119(rozwiązane przez mola_ksiazkowego )
Ciąg \(\displaystyle{ (f_n)}\) jest określony następująco:
\(\displaystyle{ f_1=1 \quad f_2=-1 \qquad f_n=-f_{n-1} -2f_{n-2} \quad \text{dla } \quad n\ge 3}\)
Udowodnij, że dla każdego naturalnego \(\displaystyle{ n\ge 2\qquad 2^{n+1}-7f_{n-1}^2}\) jest kwadratem liczby naturalnej.
Ukryta treść:    
120(rozwiązane przez taka_jedna )
Rozwiąż w liczbach naturalnych równanie

\(\displaystyle{ \frac{x}{y} = \frac{\left(x^2 - y^2 \right) ^\frac{y}{x}+1}{\left( x^2-y^2 \right) ^\frac{y}{x}-1}}\)
Ukryta treść:    
121(rozwiązane przez taka_jedna )
Rozwiąż nierówność
\(\displaystyle{ \left[ x \right] \cdot \{ x \} < x-1}\)
Ukryta treść:    
122(rozwiązane przez mola_ksiazkowego)
Dla liczb naturalnych \(\displaystyle{ k,n}\) oznaczmy przez \(\displaystyle{ N_n(k)}\) liczbę takich naturalnych \(\displaystyle{ d}\), że \(\displaystyle{ d|k}\) i \(\displaystyle{ k\le d^2 \le n}\). Znajdź sumę
\(\displaystyle{ S_n (1) + S_n (2) + S_3(3) + \ldots + N_n (n^2)}\)
Ukryta treść:    
123(rozwiązane przez Dumla i mola_ksiazkowego)
Udowodnij, że dla każdej liczby pierwszej \(\displaystyle{ p}\) istnieją takie liczby całkowite \(\displaystyle{ x,y}\), że
\(\displaystyle{ x^2+y^2 \equiv -1 \pmod{p}}\)
Dumel:    
mol_ksiazkowy:    
124(rozwiązane przez Wasilewskiego )
Oblicz
\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} \frac{n+1}{2^{n+1}} \left( \frac{2}{1} + \frac{2^2}{2} + \frac{2^3}{3} + \ldots + \frac{2^n}{n} \right)}\)
Zad. 124:    
125(rozwiązane przez freja)
Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n\ge 2}\) zachodzi nierówność
\(\displaystyle{ 1 \cdot \sqrt{{n\choose 1}}+2\cdot \sqrt{{n\choose 2} } + 3\cdot \sqrt{{n \choose 3}}+ \ldots + n\cdot \sqrt{{n \choose n}} < \sqrt{2^{n-1} \cdot n^3}}\)
zad.125:    
126(rozwiązane przez mm-aops)
Rozwiąż układ nierówności
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2\sqrt{x_1} \ge x_2 \\ 2\sqrt{x_2-1} \ge x_3-1 \\ 2\sqrt{x_3-2} \ge x_4 -2 \\ \vdots \\ 2\sqrt{x_{n-1} -(n-2)} \ge x_n-(n-2) \\ 2\sqrt{x_n-(n-1)} \ge x_1+1 \end{cases}}\)
Ukryta treść:    
127(rozwiązane przez freja)
Rozstrzygnij, ile wyrazów dodatnich występuje w ciągu
\(\displaystyle{ sin1^\circ , \; sin 10^\circ , \; sin100^\circ , \; sin 1000^\circ , \ldots}\)
zad.127:    
128(rozwiązane przez taka_jedna)
Udowodnij, że
\(\displaystyle{ \left[ \log_2 x - \log_2 \left[ x \right] \right]=\left[ \log_2 x \right]-\left[ \log_2 \left[ x \right] \right]}\)
Zad. 128
Ukryta treść:    
129(rozwiązane przez bosa_Nike)
Udowodnij, że jeżeli \(\displaystyle{ \frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2} = \frac{a_3}{b_3}}\) oraz \(\displaystyle{ \ \left| p_1 \right| + \left| p_2 \right| + \left| p_3 \right| > 0}\), to
\(\displaystyle{ \left( \frac{a_1}{b_1} \right) ^n = \frac{p_1 a_1^n + p_2 a_2^n + p_3 a_3^n}{p_1 b_1^n + p_2 b_2^n + p_3 b_3^n}}\)
dla każdego naturalnego \(\displaystyle{ n}\)
zad. 129:    
130(rozwiązane przez smigola i mola_ksiazkowego)
Niech \(\displaystyle{ x=\left( 1+ \frac{1}{n} \right)^n}\) , \(\displaystyle{ y=\left( 1+ \frac{1}{n} \right) ^{n+1}}\). Wykaż, że
\(\displaystyle{ x^y=y^x}\)
smigol:    
mol_ksiazkowy:    
131(rozwiązane przez Wasilewskiego i mola_ksiazkowego)
Ciąg \(\displaystyle{ (x_n)}\) jest określony następująco:
\(\displaystyle{ x_1=\frac{1}{2} \quad x_1 + x_2 + \ldots + x_n =n^2 x_n \quad \text{dla} \quad n\ge 1}\)
Wyznacz \(\displaystyle{ x_n}\).
Wasilewski:    
mol_ksiazkowy:    
132(rozwiązane przez taka_jedna)
Dana jest funkcja \(\displaystyle{ f(x)=x^2+x}\). Wykazać, że dla żadnych liczb całkowitych \(\displaystyle{ a,b}\) nie zachodzi równość
\(\displaystyle{ 4f(a)=f(b)}\)
Ukryta treść:    
133(rozwiązane przez mola_ksiazkowego)
Niech \(\displaystyle{ a,b,c}\) będą pierwiastkami równania \(\displaystyle{ x^3-x^2-x-1=0}\)
Wykaż, że

\(\displaystyle{ \frac{a^{1994} - b^{1994}}{a-b} + \frac{b^{1994}- c^{1994}}{b-c} + \frac{c^{1994} - a^{1994}}{c-a} \in \mathbb{Z}}\)
Ukryta treść:    
134(rozwiązane przez taka_jedna)
Udowodnij, że dla każdej liczby pierwszej \(\displaystyle{ p}\) istnieje nieskończenie wiele liczb naturalnych \(\displaystyle{ n}\), dla których \(\displaystyle{ 2^n \equiv n \pmod{p}}\)
Ukryta treść:    
135(rozwiązane przez mm-aops)
Wykaż, że liczba \(\displaystyle{ 2^{n-1}}\) dzieli liczbę \(\displaystyle{ n!}\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ n}\) jest postaci \(\displaystyle{ 2^{k-1}}\), gdzie \(\displaystyle{ k\in \mathbb{N}}\)
Ukryta treść:    
136(rozwiązane przez taka_jedna)
Niech \(\displaystyle{ x_{n+1}=4x_n - 4x_{n-1} \quad x_0=0 \quad x_1=1}\)
oraz \(\displaystyle{ y_{n+1}=4y_n-y_{n-1} \quad y_0=1 \quad y_1=2}\)
Udowodnij, że dla każdego \(\displaystyle{ n\ge 0 \quad y_n^2=3x_n^2 +1}\)
136.:    
137(rozwiązane przez kluczyk)
Wykaż, że jeżeli \(\displaystyle{ x,y,z \ge 0}\), to
\(\displaystyle{ x(x-z)^2 + y(y-z)^2 \ge (x-z)(y-z)(x+y-z)}\)
Ukryta treść:    
138(rozwiązane przez Dumla)
Udowodnij, że jeżeli funkcja \(\displaystyle{ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}}\) spełnia dla wszystkich \(\displaystyle{ x\in \mathbb{R}}\) nierówności
\(\displaystyle{ f(x+2) \ge f(x) + 2 \quad \text{oraz} \quad f(x+3) \le f(x) + 3}\), to
funkcja \(\displaystyle{ g(x)=f(x)-x}\) jest okresowa.
zad. 138:    
139(rozwiązane przez taka_jedna)
Ciąg \(\displaystyle{ (a_n)}\) jest określony następująco:
\(\displaystyle{ a_0=1 \quad a_1=2 \quad n(n+1) a_{n+1} = n(n-1) a_n - (n-2)a_{n-1} \quad n\ge 1}\)
Oblicz
\(\displaystyle{ \frac{a_0}{a_1} + \frac{a_1}{a_2} + \frac{a_2}{a_3} + \ldots + \frac{a_{1994}}{a_{1995}}}\)
Ukryta treść:    
140(rozwiązane przez mm-aops)
Udowodnij, że suma \(\displaystyle{ 1+2+3+\ldots + n}\) dzieli \(\displaystyle{ n!}\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ n+1}\) nie jest liczbą pierwszą nieparzystą.
Ukryta treść:    
141
Wielomian \(\displaystyle{ f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\ldots + a_nx^n}\) spełnia warunki \(\displaystyle{ f(1)=1 \; f(0,9)=0 \quad -0,1 \le f(x) \le 0 \quad \text{ dla wszystkich } \; 0\le x \le 0,9}\).
Udowodnij, że \(\displaystyle{ n\ge 4}\).

142(rozwiązane przez Sylwka)
Niech \(\displaystyle{ a_1=1 \; a_2=2}\) oraz
\(\displaystyle{ a_{n+2}= \begin{cases} 5a_{n+1}-3a_n \quad \text{gdy} \; 2| a_n a_{n+1} \\ a_{n+1}-a_n \quad \text{gdy} \; 2\nmid a_n a_{n+1} \end{cases}}\)
Wykaż, że \(\displaystyle{ a_n \neq 0}\) dla wszystkich \(\displaystyle{ n=1,2,3,\ldots}\)
142:    
143(rozwiązane przez Sylwka)
Funkcja \(\displaystyle{ f: \mathbb{R} \setminus \{ 0\} \to \mathbb{R}}\) spełnia warunki
\(\displaystyle{ 1^\circ \; f(x)-f(y)=f(x) \cdot f \left( \frac{1}{y} \right) - f\left( \frac{1}{x} \right) \cdot f(y) \quad \text{dla wszystkich } \; x,y\in \mathbb{R} \setminus \{ 0\}}\)
\(\displaystyle{ 2^\circ \; f(x)=\frac{1}{2}}\) dla co najmniej jednego \(\displaystyle{ x\in \mathbb{R} \setminus \{ 0\}}\)
Wyznacz \(\displaystyle{ f(-1)}\).
143:    
144(rozwiązane przez mola_ksiazkowego)
Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej nieparzystej \(\displaystyle{ n\ge 3}\) liczba \(\displaystyle{ 1^n + 2^n + \ldots + 9^n -(1+6^n+8^n )}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 18}\).
Ukryta treść:    
Poprawiono błędną treść zadania.

145(rozwiązane przez Sylwka)
Wyznacz wszystkie liczby pierwsze \(\displaystyle{ p}\), dla których liczba \(\displaystyle{ \frac{2^{p-1}-1}{p}}\) jest kwadratem liczby naturalnej.
145:    
146(rozwiązane przez Sylwka)
Dla jakich liczb naturalnych \(\displaystyle{ n}\) liczba \(\displaystyle{ 3^{2n+1}-2^{2n+1}-6^{n}}\) jest złożona?
146:    
147(rozwiązane przez mola_ksiazkowego)
Niech \(\displaystyle{ X}\) będzie zbiorem \(\displaystyle{ n}\)-elementowym. Wyznacz liczbę takich par \(\displaystyle{ (A,B)}\) różnych podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ X}\) takich, że \(\displaystyle{ A \subset B}\).
Ukryta treść:    
148(rozwiązane przez mola_ksiazkowego)
Dla każdej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n}\) niech \(\displaystyle{ f(n)=\left[2\sqrt{n} \right] -\left[ \sqrt{n-1}+\sqrt{n+1} \right]}\). Wyznacz wszystkie liczby naturalne \(\displaystyle{ n}\), dla których \(\displaystyle{ f(n)=1}\).
Ukryta treść:    
149(rozwiązane przez Sylwka)
Rozwiąż w liczbach całkowitych nieujemnych równanie \(\displaystyle{ 7^x+1=3^y+5^z}\)
149:    
150(rozwiązane przez Sylwka)
Udowodnij, że jeżeli liczby naturalne \(\displaystyle{ x,y,z}\) spełniają równanie \(\displaystyle{ x^2+y^2+z^2=1993}\) to \(\displaystyle{ x+y+z}\) nie jest kwadratem liczby naturalnej.
150:    
151(rozwiązane przez Sylwka)
Wyznacz największą liczbę \(\displaystyle{ a}\), dla której nierówność
\(\displaystyle{ \frac{x}{\sqrt{y^2+z^2}}+\frac{y}{\sqrt{x^2+z^2}}+\frac{z}{\sqrt{x^2+y^2}}>a}\)
jest spełniona przez każdą trójkę \(\displaystyle{ (x,y,z)}\) liczb rzeczywistych dodatnich.
151:    
152(rozwiązane przez mola_ksiazkowego)
Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n}\) istnieje liczba \(\displaystyle{ x>1}\) taka, że \(\displaystyle{ \left[ \log_{x} 3 \right] - \left[ \log_{x} 2 \right]=n}\)
Ukryta treść:    
153(rozwiązane przez mola_ksiazkowego(pośrednio) i andkoma)
Niech \(\displaystyle{ a_0 , a_1, \ldots}\) będzie ciągiem takich liczb dodatnich, że \(\displaystyle{ a_{i-1} a_{i+1} \le a_{i}^2}\) dla \(\displaystyle{ i=1,2,3,\ldots}\) Udowodnij, że dla każdego \(\displaystyle{ n>1}\)
\(\displaystyle{ \frac{a_0 + \ldots + a_{n}}{n+1} \; \frac{a_1 + \ldots + a_{n-1}}{n-1} \ge \frac{a_0 + \ldots + a_{n-1}}{n} \; \frac{a_1 + \ldots + a_n}{n}}\)
Ukryta treść:    
154(rozwiązane przez mola_ksiazkowego)
Znajdź największą i najmniejszą wartość funkcji \(\displaystyle{ f(x)=x\left( 1993+\sqrt{1995-x^2} \right)}\)
Ukryta treść:    
155(rozwiązane przez Wasilewskiego)
Ciągi \(\displaystyle{ (x_n)}\) i \(\displaystyle{ (y_n)}\) są określone następująco
\(\displaystyle{ x_0=2 \; y_0=1}\)
\(\displaystyle{ x_{n+1}=\frac{2x_n y_n}{x_n + y_n} \quad y_{n+1}=\sqrt{x_{n+1} y_n } \qquad \text{dla } \; n=0,1,2,3,\ldots}\)
Udowodnij, że te ciągi mają wspólną granicę i oblicz ją.
Zad. 155:    
156(rozwiązane przez taka_jedna)
Liczby naturalne \(\displaystyle{ a,b,c,d}\) spełniają warunek \(\displaystyle{ ab=cd}\). Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n}\) liczba \(\displaystyle{ a^{n} + b^n+c^n+d^n}\) jest złożona.
156.:    
157(rozwiązane przez taka_jedna)
Wyznacz wszystkie pary \(\displaystyle{ (p,q)}\) liczb pierwszych, dla których liczba \(\displaystyle{ (p+1)^q}\) jest kwadratem liczby naturalnej.
157.:    
158(rozwiązane przez Sylwka)
Niech
\(\displaystyle{ \frac{1}{1995 \left\{ 1 + \frac{1}{1+\frac{1}{1+_{ \ddots +\frac{1}{1}}}} \right\}} = \frac{m}{n}}\)
gdzie \(\displaystyle{ m}\) i \(\displaystyle{ n}\) są liczbami naturalnymi względnie pierwszymi. Wyznacz wartość wyrażenia \(\displaystyle{ m^2+mn-n^2}\).
158:    
Podziękowania dla abc666 za pomoc w zapisaniu tego piętrowego ułamka w \(\displaystyle{ \LaTeX -u}\).

159(rozwiązane przez Sylwka)
Udowodnij, że jeżeli \(\displaystyle{ a,b,c \ge 0}\) oraz \(\displaystyle{ a+b+c \le 3}\), to
\(\displaystyle{ \frac{a}{1+a^2}+\frac{b}{1+b^2} + \frac{c}{1+c^2} \le \frac{3}{2} \le \frac{1}{1+a} + \frac{1}{1+b} + \frac{1}{1+c}}\)
159:    
160(rozwiązane przez mola_ksiazkowego)
Udowodnij, że liczba \(\displaystyle{ 4^{545} + 545^4}\) jest złożona.
Ukryta treść:    
161(rozwiązane przez Sylwka)
Udowodnij, że jeżeli dla liczb naturalnych \(\displaystyle{ a,b,c}\) liczby \(\displaystyle{ p=b^c+a \; q=a^b+c \; r=c^a+b}\) są pierwsze, to dwie z nich są równe.
161:    
162
Ciąg \(\displaystyle{ (x_n)}\) określony jest następująco
\(\displaystyle{ x_1 =2 \quad x_{n+1} =\left[ \frac{3}{2} x_n \right] \quad \text{dla } \; n=1,2,3,\ldots}\)
Udowodnij, że
\(\displaystyle{ 1^\circ}\) w ciągu \(\displaystyle{ (x_n)}\) występuje nieskończenie wiele liczb parzystych i nieskończenie wiele liczb nieparzystych.
\(\displaystyle{ 2^\circ}\) ciąg \(\displaystyle{ \left( (-1)^{x_n} \right)}\) nie jest okresowy.

163(rozwiązane przez mola_ksiazkowego)
Ciąg \(\displaystyle{ (a_n)}\) określony jest następująco
\(\displaystyle{ a_1=1 \; a_2=4 \; a_{2^k+j}=-a_j \; \text{ dla } \; 1\le j \le 2^k, \; k=1,2,3,\ldots}\)
Oblicz sumę \(\displaystyle{ a_1 + a_2 + a_3+\ldots + a_{1994}}\)
Ukryta treść:    
164(rozwiązane przez Wasilewskiego)
Oblicz sumę
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{\left[ \frac{n}{2} \right]} (-1)^k { n-k \choose k} \frac{1}{4^k}}\)
Zad. 164:    
165(rozwiązane przez Sylwka)
Rozstrzygnij, ile rozwiązań w liczbach całkowitych posiada równanie
\(\displaystyle{ \left[ \sqrt[1995]{n} \right] + \left[ \sqrt[1995]{\frac{n+1}{2} } \right] + \left[ \sqrt[1995]{\frac{n+2}{3}} \right] + \ldots + \left[ \sqrt[1995]{\frac{n+1994}{1995}} \right]=1996}\)
165:    
166(rozwiązane przez Sylwka)
Niech \(\displaystyle{ n}\) będzie liczbą naturalną, zaś \(\displaystyle{ \alpha_1 , \alpha_2 , \alpha_3 ,\ldots , \alpha_n}\) takimi liczbami rzeczywistymi, że \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} \sin^2 \alpha_i =1}\). Udowodnij, że \(\displaystyle{ \left| \sum_{i=1}^n \sin 2\alpha_i \right| \le 2\sqrt{n-1}}\)
166:    
167(rozwiązane przez Sylwka)
Dla danej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n}\) rozwiąż układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} {2\choose 2} x_1 = {4\choose 4} \\ {3\choose 2}x_1 + {2\choose 2} x_2 = {5\choose 4} \\ {4\choose 2} x_1 + {3\choose 2}x_2 {2\choose 2} x_3={6\choose 4} \\ \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\ {n+1\choose 2} x_1 + {n\choose 2} x_2 +\ldots + {2\choose 2} x_n = {n+3\choose 4} \end{cases}}\)
167:    
168(rozwiązane przez mola_ksiazkowego)
Udowodnij, że dla dowolnych liczb naturalnych \(\displaystyle{ k,m,n}\) liczba \(\displaystyle{ 1^m+2^m+3^m+\ldots + (n^k-1)^m+(n^k)^m}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ n^{k-1}}\)
Ukryta treść:    
169
Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n\ge 2}\) zachodzi nierówność \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n-1} \frac{n}{n-k} \; \frac{1}{2k-1} <4}\)

Niestety jak zauważył Sylwek zadanie jest błędne...
argumentacja:    
170(rozwiązane przez mola_ksiazkowego)
Wyznacz najmniejszą wartość funkcji
\(\displaystyle{ f(x)=\frac{\left(x+\frac{1}{x}\right)^6-\left(x^6+\frac{1}{x^6}\right)-2}{\left(x+\frac{1}{x}\right)^3+\left(x^3+\frac{1}{x^3}\right)}}\)
Ukryta treść:    
171(rozwiązane przez Wasilewskiego)
Oblicz
\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} \prod_{k=3}^{n} \left( 1- \tg^4 \frac{\pi}{2^k} \right)}\)
Zad. 171:    
172(rozwiązane przez mola_ksiazkowego)
Udowodnij, że pierwiastki kwadratowe trzech różnych liczb pierwszych nie mogą być wyrazami tego samego ciągu geometrycznego.
Ukryta treść:    
173(rozwiązane przez Sylwka)
Liczby rzeczywiste \(\displaystyle{ x_1,x_2,\ldots , x_n}\) spełniają warunek \(\displaystyle{ x_1^2+x_2^2+\ldots + x_n^2=1}\). Udowodnij, że
\(\displaystyle{ \sum_{\substack{(\epsilon_1 , \epsilon_2 , \ldots , \epsilon_n) \\ \left| \epsilon_i \right|=1 , \ i=1,2,\ldots , n}} \left| \epsilon_1 x_1 + \epsilon_2 x_2 + \ldots + \epsilon_n x_n \right| \le 2^n}\)
173:    
174(rozwiązane przez Wasilewskiego)
Udowodnij, że jeżeli \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^n c_i \cos \alpha_i = \sum_{i=1}^n c_i \cos (\alpha_i + 1) =0}\) to dla każdego \(\displaystyle{ \beta \in \mathbb{R}\qquad \sum_{i=1}^n \cos (\alpha_i + \beta ) =0}\)
Zad. 174:    
175(rozwiązane przez mola_ksiazkowego)
Liczby \(\displaystyle{ a_1, a_2, \ldots , a_{32}}\) całkowite nieparzyste i niepodzielne przez \(\displaystyle{ 3}\) tworzą ciąg arytmetyczny. Wykaż, że liczba \(\displaystyle{ a_1^2 - a_2^2+a_3^2 -a_4^4 +\ldots + a_{31}^2-a_{32}^2}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 384}\).
Ukryta treść:    
176(rozwiązane przez mola_ksiazkowego)
Niech \(\displaystyle{ S}\) będzie podzbiorem zbioru liczb wymiernych o następujących własnościach
a) jeżeli \(\displaystyle{ x,y\in S}\), to \(\displaystyle{ x+y\in S}\) i \(\displaystyle{ xy\in S}\)
b) dla każdej liczby wymiernej \(\displaystyle{ r}\) zachodzi dokładnie jeden z warunków: \(\displaystyle{ r\in S}\) , \(\displaystyle{ -r\in S}\), \(\displaystyle{ r=0}\)
Udowodnij, że \(\displaystyle{ S}\) jest zbiorem liczb wymiernych dodatnich.
Ukryta treść:    
177(rozwiązane przez mola_ksiazkowego)
Dana jest liczba pierwsza \(\displaystyle{ p\ge 3}\). Oznaczmy przez \(\displaystyle{ r_k}\) resztę z dzielenia liczby \(\displaystyle{ k^p}\) przez \(\displaystyle{ p^2 \; ( k=1,2,\ldots , p-1 )}\). Oblicz \(\displaystyle{ r_1 + r_2 + \ldots + r_{p-1}}\)
Ukryta treść:    
178(rozwiązane przez mola_ksiazkowego)
Wyznacz sumę
\(\displaystyle{ \frac{sin1}{cos 0 cos1} + \frac{sin1}{cos1 cos2}+\frac{sin1}{cos2cos3} + \ldots + \frac{sin1}{cos(n-1)cosn}}\)
Ukryta treść:    
179(rozwiązane przez Sylwka)
Rozwiąż układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2x_1 + 2x_2 + 3x_3+\ldots + nx_n=0 \\ 2x_1+5x_2+6x_3+\ldots + 2nx_n=0 \\ \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\ kx_1+2kx_2+3kx_3+ \ldots + (1+k^2) x_k + \ldots + nkx_n=0 \\ \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\ nx_1+2nx_2+3nx_3+\ldots +(1+n^2)x_n=0 \end{cases}}\)
179:    
180(rozwiązane przez mola_ksiazkowego)
Udowodnij, że liczba \(\displaystyle{ 2^{147}-1}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 343}\).
Ukryta treść:    
181(rozwiązane przez Sylwka)
Udowodnij, że jeżeli \(\displaystyle{ k_1, k_2, \ldots , k_n \; (n\ge 2)}\) sa liczbami całkowitymi nieujemnymi, to
\(\displaystyle{ k_1! \cdot k_2 ! \cdot \ldots \cdot k_n! \ge \left( \left[ \frac{k_1+k_2+\ldots + k_n}{n} \right] ! \right)^n}\)
181:    
182(rozwiązane przez binaja i adek05)
Udowodnij, że jeżeli liczby \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) sa dodatnie, \(\displaystyle{ m}\)-liczba całkowita, to \(\displaystyle{ \left( 1+ \frac{a}{b} \right)^m + \left( 1+ \frac{b}{a} \right)^m \ge 2^{m+1}}\)
binaj:    
adek05:    
183(rozwiązane przez mola_ksiazkowego)
Niech
\(\displaystyle{ f(a,b,c)=\left| \frac{\left|b-a \right| }{\left| ab\right| } + \frac{b+a}{ab}-\frac{2}{c} \right| + \frac{\left| b-a\right|}{\left| ab\right| } + \frac{b+a}{ab}+\frac{2}{c}}\)
Udowodnij, że \(\displaystyle{ f(a,b,c)=4\max \left\{ \frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c} \right\}}\)
Ukryta treść:    
Tu, jak zauważył mol_ksiazkowy jest błąd w książce.

184(rozwiązane przez mola_ksiazkowego)
Wykaż, że jeżeli liczby wymierne dodatnie \(\displaystyle{ a,b,c}\) są długościami boków trójkąta, to
\(\displaystyle{ \left( 1+\frac{b-c}{a} \right)^a \; \left( 1+\frac{c-a}{b} \right)^b \; \left( 1+\frac{a-b}{c} \right)^c \le 1}\)
Ukryta treść:    
185(rozwiązane przez Sylwka)
Udowodnij, że jeżeli \(\displaystyle{ n\ge 2}\) jest liczbą naturalną, to liczba \(\displaystyle{ \sqrt{2+\sqrt[3]{3+\ldots + \sqrt[n-1]{n-1+\sqrt[n]{n}}}}}\) jest niewymierna.
185:    
186(rozwiązane przez Sylwka)
Oblicz \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{1995} \frac{1}{\sqrt{n+\sqrt{n^2-1}}}}\)
186:    
187(rozwiązane przez mola_ksiazkowego)
Wyznacz wszystkie liczby naturalne \(\displaystyle{ n}\), dla których równanie \(\displaystyle{ \left| x \right| + \left| x+1 \right| + \left| x+2 \right| + \ldots + \left| x+n \right| =n}\) posiada rozwiązanie.
Ukryta treść:    
188(rozwiązane przez mola_ksiazkowego)
Udowodnij, że dla dowolnych liczb naturalnych \(\displaystyle{ m,n}\) liczba \(\displaystyle{ \frac{\left[ (mn)! \right]^2}{(m!)^{n+1} \; (n!)^{m+1}}}\) jest naturalna.
Ukryta treść:    
189(rozwiązane przez Sylwka)
W przedziale \(\displaystyle{ \left( 1; (2n-1)^2 \right)}\) wyróżniono \(\displaystyle{ n}\) liczb naturalnych, z których każde dwie są względnie pierwsze. Udowodnij, że wśród wyróżnionych liczb jest co najmniej jedna liczba pierwsza.
189:    
190(rozwiązane przez mola_ksiazkowego)
Dana jest funkcja \(\displaystyle{ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}}\) oraz liczba \(\displaystyle{ a\neq 0}\). Udowodnij, że jeżeli \(\displaystyle{ f}\) jest funkcją parzystą, zaś \(\displaystyle{ g(x)=f(x-a)}\) - funkcją nieparzystą, to \(\displaystyle{ f}\) jest funkcją okresową.
Ukryta treść:    
191(rozwiązane przez mola_ksiazkowego)
Wyznacz sumę
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{1994} (-1)^n \; \frac{n^2+n+1}{n!}}\)
Ukryta treść:    
192
Udowodnij, że jeżeli liczby \(\displaystyle{ a,b}\) są nieujemne, \(\displaystyle{ n}\) - liczbą naturalną, to \(\displaystyle{ \prod_{k=1}^{n} \left( a^k+b^k \right)^2 \ge \left( a^{n+1}+b^{n+1} \right)^2}\)

Te zadanie też jest raczej błędne.

193(rozwiązane przez mola_ksiazkowego)
Dla liczb całkowitych \(\displaystyle{ m}\) i \(\displaystyle{ n}\) takich, że \(\displaystyle{ 0\le m \le n}\) definiujemy \(\displaystyle{ d_{n,m}}\) następująco:
\(\displaystyle{ (a) \quad d_{n,0} = d_{n,n} = 1 \; n=0,1,2,3,\ldots}\)
\(\displaystyle{ (b) \quad m\cdot d_{n,m} = m \cdot d_{n-1,m} + (2n-m)d_{n-1,m-1} \; \text{ dla } \; 0<m<n}\)
Udowodnij, że wszystkie liczby \(\displaystyle{ d_{n,m}}\) są kwadratami liczb całkowitych.
Ukryta treść:    
194(rozwiązane przez Sylwka)
Ciąg \(\displaystyle{ (a_n)}\) liczb naturalnych jest określony następująco:
\(\displaystyle{ a_0=0 \; a_1=1 \; a_n=2a_{n-1}+a_{n-2} \; \text{dla } \ n\ge 2}\)
Udowodnij, że \(\displaystyle{ 2^k}\) dzieli \(\displaystyle{ a_n}\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ 2^k}\) dzieli \(\displaystyle{ n}\).
194:    
195(rozwiązane przez Sylwka)
Wykaż, że jeżeli liczby \(\displaystyle{ a,b,c,d}\) są rzeczywiste oraz \(\displaystyle{ a^2+b^2+c^2+d^2 \le 1}\), to
\(\displaystyle{ (a+b)^4+(a+c)^4+(b+c)^4+(b+d)^4+(c+d)^4 \le 6}\)
195:    
196(rozwiązane przez Sylwka
Oblicz sumę \(\displaystyle{ \frac{2}{3+1}+\frac{2^2}{3^2+1}+\frac{2^3}{3^4+1}+ \ldots + \frac{2^{n+1}}{3^{2^n}+1}}\)
196:    
197(rozwiązane przez mola_ksiazkowego )
Niech \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) będą liczbami naturalnymi względnie pierwszymi takimi, że \(\displaystyle{ xy>1}\), zaś \(\displaystyle{ n}\) niech będzie liczbą naturalną parzystą. Udowodnij, że \(\displaystyle{ x+y}\) nie dzieli \(\displaystyle{ x^n+y^n}\)
Ukryta treść:    
198(rozwiązane przez mola_ksiazkowego )
Niech \(\displaystyle{ n>1}\) będzie liczbą całkowitą. Wyznacz liczbę wszystkich permutacji \(\displaystyle{ (a_1, a_2, \ldots , a_n)}\) zbioru \(\displaystyle{ \{ 1,2,\ldots , n\}}\) takich, że \(\displaystyle{ 1| a_1-a_2 \; 2|a_2-a_3 \ \ldots \ n-1|a_{n-1}-a_n}\)
Ukryta treść:    
199
Niech \(\displaystyle{ a_1, a_2, a_3, a_4}\) i \(\displaystyle{ n}\) będą takimi liczbami całkowitymi dodatnimi, że
\(\displaystyle{ a_i}\) jest względnie pierwsze z \(\displaystyle{ n \; i=1,2,3,4}\)
\(\displaystyle{ (ka_1 )_n + (ka_2)_n + (ka_3)_n + (ka_4)_n = 2n \; k=1,2,\ldots ,n-1}\)
Udowodnij, że \(\displaystyle{ (a_1)_n+ (a_j)_n=n}\) dla pewnego \(\displaystyle{ 2\le j \le 4}\)
UWAGA \(\displaystyle{ (a)_n=a-n\cdot \left[ \frac{a}{n} \right]}\)

200(rozwiązane przez Sylwka)
Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ x,y}\) zachodzi nierówność
\(\displaystyle{ x^4+y^4+(x^2+1)(y^2+1) \ge x^3(1+y)+y^3(1+x)+x+y}\)
200:    
201(rozwiązane pośrednio przez robin5hood)
Wykaż, że jeżeli liczby \(\displaystyle{ a,b,c}\) są dodatnie, to
\(\displaystyle{ \left( ab+bc+ac \right) \left( \frac{1}{(a+b)^2} + \frac{1}{(b+c)^2} + \frac{1}{(c+a)^2} \right) \ge \frac{9}{4}}\) 202(rozwiązane przez paladina)
Dana jest liczba naturalna \(\displaystyle{ N}\). Niech \(\displaystyle{ d_1, d_2, \ldots , d_n}\) będą wszystkimi dzielnikami tej liczby, zaś \(\displaystyle{ a_i}\) niech oznacza liczbę wszystkich dzielników \(\displaystyle{ d_i (i=1,2,\ldots , n)}\). Wykaż, że \(\displaystyle{ a_1^3+a_2^3+\ldots + a_n^3=\left( a_1+a_2+\ldots + a_n \right)^2}\)
Ukryta treść:    
203(rozwiązane przez Wasilewskiego
Znajdź wszystkie wielomiany \(\displaystyle{ P: \mathbb{R} \to \mathbb{R}}\) takie, że
\(\displaystyle{ 1^\circ \; P(1)=1}\)
\(\displaystyle{ 2^\circ \; x^2P(x-1)P(x+1) \equiv P^2(x)(x-1)(x+1)}\)
Zad. 203:    
204(rozwiązane przez mola_ksiazkowego
Ciąg \(\displaystyle{ (x_n)}\) jest określony następująco:
\(\displaystyle{ x_0=1994 \quad x_{n+1}=\frac{x_n^2}{x_n+1} \; \text{ dla } \; n\ge 0}\)
Udowodnij, że dla każdego \(\displaystyle{ 0\le n \le 998\quad \left[ x_n \right] = 1994-n}\)
Ukryta treść:    
205(rozwiązane przez mola_ksiazkowego)
Niech \(\displaystyle{ f(x)=\frac{x^2+1}{2x}}\) dla \(\displaystyle{ x\neq 0}\). Przyjmujemy \(\displaystyle{ f^{(0)} (x) = x}\) oraz \(\displaystyle{ f^{(n)}(x)=f\left( f^{(n-1)}(x) \right)}\) dla \(\displaystyle{ n\in \mathbb{N}}\) oraz \(\displaystyle{ x\neq 0}\). Wykaż, że
\(\displaystyle{ \frac{f^{(n)}(x)}{f^{(n+1)}(x)}=1+\frac{1}{f\left( \left( \frac{x+1}{x-1} \right)^{2n} \right)}}\)
dla wszystkich \(\displaystyle{ n\in \mathbb{N}}\) oraz \(\displaystyle{ x\in \mathbb{R} \setminus \{ -1,0,1 \}}\)
Ukryta treść:    
Wszystko będzie wyglądać jak dawniej, ten post będzie edytowany i tutaj będzie można oglądać rozwiązania zadań z numerem \(\displaystyle{ 101\le n \le 205 \; n\in \mathbb{N}}\), reszta w poście pierwszym.
adek05
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 450
Rejestracja: 3 kwie 2007, o 18:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Biała Podlaska
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 68 razy

[MIX] Suplement KMDO

Post autor: adek05 »

182
Ukryta treść:    
frej

[MIX] Suplement KMDO

Post autor: frej »

Dlaczego treść 162 jest niekompletna? Sory, że tak wolno nadrabiam zaległości, ale mam jakieś problemy z netem
Django
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 200
Rejestracja: 25 sty 2009, o 13:37
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Częstochowa/Kraków
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 12 razy

[MIX] Suplement KMDO

Post autor: Django »

frej pisze:Dlaczego treść 162 jest niekompletna? Sory, że tak wolno nadrabiam zaległości, ale mam jakieś problemy z netem

2 podpunkt w tym zadaniu: ciąg \(\displaystyle{ \left( (-1)^{x_n} \right)}\) i nie wiemy co dalej
frej

[MIX] Suplement KMDO

Post autor: frej »

Ok, chyba wszystko zaktualizowane. Poprawiłem 162. Mogłem o czymś zapomnieć, więc zauważone przeoczenie proszę zgłosić. Jeszcze raz przepraszam za zaległości ...

Rzeczywiście nierówność 201 jest bardzo trudna, jednocześnie to jedna ze sławniejszych nierówności jakie znam. Gdyby ktoś chciał znać źródło tej nierówności, to proszę:
Ukryta treść:    
Awatar użytkownika
Sylwek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2716
Rejestracja: 21 maja 2007, o 14:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 160 razy
Pomógł: 657 razy

[MIX] Suplement KMDO

Post autor: Sylwek »

Jeszcze chyba coś nie tak z nierównością 169, a poza tym wydaje się wszystko być OK.

A żeby nie było daremnego postu:
146:    
frej

[MIX] Suplement KMDO

Post autor: frej »

Nierówność 169 jest przepisana tak jak jest w książce.
Awatar użytkownika
Sylwek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2716
Rejestracja: 21 maja 2007, o 14:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 160 razy
Pomógł: 657 razy

[MIX] Suplement KMDO

Post autor: Sylwek »

No to w takim razie sprzeczność:

\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n-1} \frac{n}{n-k} \; \frac{1}{2k-1} \ge \sum_{k=1}^{n-1} 1 \cdot \frac{1}{2k-1}> \sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{2k}=\frac{1}{2} \cdot \sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{k}}\)

Po prawej stronie mamy szereg harmoniczny, który jest rozbieżny do + nieskończoności.

Nie daję głowy, ale jeden poddział "wędrówek po krainie nierówności" jest poświęcony ograniczeniom z góry, może tam jest poprawna wersja tej nierówności?
frej

[MIX] Suplement KMDO

Post autor: frej »

No to jest źle... Nawet CS daje rozbieżność, bez korzystania z rozbieżności szeregu harmonicznego

Nie kojarzyłem tego z wędrówek, ale dla pewności sprawdziłem. Nie ma tam takiego zadania, z tego co widziałem. Może ktoś inny wpadnie, jak można uratować te zadanie
Wasilewski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3921
Rejestracja: 10 gru 2007, o 20:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 1194 razy

[MIX] Suplement KMDO

Post autor: Wasilewski »

To może jedno proste:
Zad. 174:    
A co do 169. to trudno strzelać, co autor miał na myśli. Jakby, na przykład, wyrzucić z licznika \(\displaystyle{ n}\), to ta suma będzie mniejsza od 2.
Awatar użytkownika
Sylwek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2716
Rejestracja: 21 maja 2007, o 14:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 160 razy
Pomógł: 657 razy

[MIX] Suplement KMDO

Post autor: Sylwek »

Kolejne z serii "tym razem umiem zrobić"
145:    
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11263
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3140 razy
Pomógł: 747 razy

[MIX] Suplement KMDO

Post autor: mol_ksiazkowy »

148
Ukryta treść:    

ad 169 (Komentarz)
Ukryta treść:    
Ostatnio zmieniony 18 lip 2009, o 18:44 przez mol_ksiazkowy, łącznie zmieniany 2 razy.
Awatar użytkownika
Sylwek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2716
Rejestracja: 21 maja 2007, o 14:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 160 razy
Pomógł: 657 razy

[MIX] Suplement KMDO

Post autor: Sylwek »

ad. 169 (komentarz)
Ukryta treść:    
ad. 192 (komentarz - błąd w zadaniu?)
Ukryta treść:    
I jeszcze jedno rozwiązanie:
186:    
Albo nawet dwa
196:    
Czy tam nawet trzy...
179:    
Ostatnio zmieniony 18 lip 2009, o 14:52 przez Sylwek, łącznie zmieniany 2 razy.
ODPOWIEDZ