[MIX] Suplement KMDO

Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Awatar użytkownika
Sylwek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2716
Rejestracja: 21 maja 2007, o 14:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 160 razy
Pomógł: 657 razy

[MIX] Suplement KMDO

Post autor: Sylwek »

Gdyż skoro \(\displaystyle{ \sum sin^2 \alpha_i = 1}\), to z jedynki trygonometrycznej \(\displaystyle{ \sum cos^2 \alpha_i = n-1}\).

189:    
Bartek1991
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 529
Rejestracja: 31 mar 2009, o 16:54
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 18 razy

[MIX] Suplement KMDO

Post autor: Bartek1991 »

Sylwek pisze:Gdyż skoro \(\displaystyle{ \sum sin^2 \alpha_i = 1}\), to z jedynki trygonometrycznej \(\displaystyle{ \sum cos^2 \alpha_i = n-1}\).
Zgoda, do tego udało mi się dojść. Ale nadał nie wiem skąd jest tamten pierwiastek, jak dla mnie z nierówności Schwarza:

\(\displaystyle{ 2| \sum_{i=1}^{n} sin \alpha_i cos \alpha_i \le 2|\sum_{i=1}^{n} sin^2 \alpha_i \cdot \sum_{i=1}^{n} cos^2 \alpha_i|}\)

I przy okazji jeszcze jedno pytanie do tego zadania, jeśli oczywiście można:
Wasilewski pisze:
Zad. 171:    
W tym pierwszym równaniu, jakiego dokonano działania że nagle z licznika powstał skromny cosinus z tym argumentem\(\displaystyle{ \frac{ \pi}{2^{k-1}}}\)
Awatar użytkownika
Nakahed90
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9096
Rejestracja: 11 paź 2008, o 22:29
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Pomógł: 1871 razy

[MIX] Suplement KMDO

Post autor: Nakahed90 »

\(\displaystyle{ cos^{4}(\frac{\pi}{2^{k}})-sin^{4}(\frac{\pi}{2^{k}})=(cos^{2}(\frac{\pi}{2^{k}})+sin^{2}(\frac{\pi}{2^{k}}))(cos^{2}(\frac{\pi}{2^{k}})-sin^{2}(\frac{\pi}{2^{k}}))=cos(2\cdot \frac{\pi}{2^{k}})=cos(\frac{\pi}{2^{k-1}})}\)
Wasilewski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3921
Rejestracja: 10 gru 2007, o 20:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 1194 razy

[MIX] Suplement KMDO

Post autor: Wasilewski »

To ja może odpowiem na pierwsze pytanie. Nierówność Schwarza wygląda tak:
\(\displaystyle{ (\sum_{i=1}^{n} a_{i} b_{i})^{2} \le \sum_{i=1}^{n} a_{i}^2 \cdot \sum_{i=1}^{n} b_{i}^2}\)
Pierwiastek jest zatem nieodzowny.
Bartek1991
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 529
Rejestracja: 31 mar 2009, o 16:54
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 18 razy

[MIX] Suplement KMDO

Post autor: Bartek1991 »

W jednym z moich zbiorów zadań nierówność Schwarza jest zapisana tak:

\(\displaystyle{ a_1 b_1 + a_2b_2 +... + a_nb_n \le (a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + ... + b_n^2)}\)

Czyli chyba popełnili mały błąd prawda? Każdy z czynników po lewej stronie powinien być podniesiony do kwadratu czyż nie?
xanowron
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1996
Rejestracja: 20 maja 2008, o 15:14
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa/Stalowa Wola
Podziękował: 42 razy
Pomógł: 247 razy

[MIX] Suplement KMDO

Post autor: xanowron »

CAŁA lewa powinna być podniesiona do kwadratu.

Masz może "500 matematycznych zadań i problemów dla uzdolnionej młodzieży" E. Śmietany?
Jeżeli tak to zainwestuj np. w Krowę Pawłowskiego, a do Śmietany wróć później jako trening, tzn. gdy będziesz mógł w miarę sprawnie wyłapywać błędy autora, bo czasem siedzenie nad jednym zadaniem kilku godzin, tylko po to aby dowiedzieć się potem, że masz błąd w książce nie jest ani przyjemne ani pożyteczne.
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11264
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3143 razy
Pomógł: 747 razy

[MIX] Suplement KMDO

Post autor: mol_ksiazkowy »

176
Ukryta treść:    
Awatar użytkownika
Sylwek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2716
Rejestracja: 21 maja 2007, o 14:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 160 razy
Pomógł: 657 razy

[MIX] Suplement KMDO

Post autor: Sylwek »

Kiedyś długo się z nim męczyłem i nie wyszło, teraz poszło lepiej
151:    
Czy w treści zadania 169 czegoś nie brakuje? Podobnie czy treść zadania 192 jest dobrze przepisana? Jakbyś Freju znalazł trochę wolnego czasu, to zaktualizuj pierwszą stronę, bo posypało się mnóstwo rozwiązań i nie wiadomo, co jeszcze zostało.
Django
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 200
Rejestracja: 25 sty 2009, o 13:37
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Częstochowa/Kraków
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 12 razy

[MIX] Suplement KMDO

Post autor: Django »

Zad. 143:
Ukryta treść:    
Awatar użytkownika
Sylwek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2716
Rejestracja: 21 maja 2007, o 14:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 160 razy
Pomógł: 657 razy

[MIX] Suplement KMDO

Post autor: Sylwek »

Kolejne z zadań, które bardzo chciałem rozwiązać i w końcu się udało
149:    
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11264
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3143 razy
Pomógł: 747 razy

[MIX] Suplement KMDO

Post autor: mol_ksiazkowy »

187
Ukryta treść:    
ps nalezy jeszcze uwzglednic gdy x całkowite... co raczej trudne nie bedzie
Wasilewski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3921
Rejestracja: 10 gru 2007, o 20:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 1194 razy

[MIX] Suplement KMDO

Post autor: Wasilewski »

Zad. 203:    
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11264
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3143 razy
Pomógł: 747 razy

[MIX] Suplement KMDO

Post autor: mol_ksiazkowy »

Gorąca prośba do Freja (gospodarza tematu), aby uwzglednił to, co juz rozwiazane a co zostało...zeby ktos nierpotrzebnie nie atakował zadania ktore juz rozwiazane..etc
ad b zad 162 p b)- tu chyba coś brakuje- bo nie weiadomo o co chodzi....!?
Django
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 200
Rejestracja: 25 sty 2009, o 13:37
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Częstochowa/Kraków
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 12 razy

[MIX] Suplement KMDO

Post autor: Django »

Sylwek, moje gratulacje za 149 - sam je próbowałem zrobić i nawet jak widzę szedłem dobrym tropem, ale się poddałem . Za to zrobiłem inne:
Zad. 192
Ukryta treść:    
Trochę to zajęło miejsca, ale chciałem, aby moje rozwiązanie było jak najklarowniejsze .
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11264
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3143 razy
Pomógł: 747 razy

[MIX] Suplement KMDO

Post autor: mol_ksiazkowy »

163
Ukryta treść:    
205
Ukryta treść:    
ODPOWIEDZ