Preferowane są rozwiązania wykorzystujące wiedzę z książki, ale oczywiście każdy inny poprawny sposób jest równie dobry
Trochę wklepuje się takie zadania... Jak będę miał znowu trochę czasu, to powrzucam dalej. Teraz jestem jednak trochę chory, więc wrzucam, żebyście mogli już rozwiązywać, gdy ja będę się kurował.
A oto zadania:
1(rozwiązane przez XMaS11)
W kole o promieniu \(\displaystyle{ 1}\) obrano \(\displaystyle{ 64}\) różne punkty. Wykaż, że \(\displaystyle{ 10}\) z nich leży w kole o promieniu \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\).
W przestrzeni danych jest \(\displaystyle{ m \cdot n +1}\) punktów. Wśród dowolnych \(\displaystyle{ m+1}\) z nich istnieją dwa odległe od siebie o \(\displaystyle{ 1}\). Wykaż, że istnieje kula o promieniu \(\displaystyle{ 1}\) zawierająca co najmniej \(\displaystyle{ n+1}\) punktów spośród danych.
Udowodnij, że dla dowolnych liczb dodatnich \(\displaystyle{ x_1, x_2, \ldots , x_n}\) zachodzi nierówność
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^n x_k + \sqrt{\sum_{k=1}^n x_k^2} \le \frac{n+\sqrt{n}}{n^2} \left(\sum_{k=1}^n \frac{1}{x_k} \right) \left( \sum_{k=1}^n x_k^2\right)}\)
Tu wydaje mi się, że jest błąd w książce. Napisałem wersję, która wydaje mi się bardziej prawdopodobna. Tę wersję potwierdził Pan Pawłowski.
Liczby dodatnie \(\displaystyle{ x_1, x_2, \ldots , x_n}\) spełniają warunek \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^n x_k =1}\) .Udowodnij, że
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^n \frac{x_k}{\sqrt{1-x_k}} \ge \frac{\sum_{k=1}^n \sqrt{x_k}}{\sqrt{n-1}}}\)
Wyznacz wszystkie funkcje \(\displaystyle{ f: R \to R}\) spełniające warunki
\(\displaystyle{ (i) \qquad \ \ f(1)=1 \\ (ii) \ \qquad f(x+y)=f(x)+f(y) \quad \text{dla wszystkich x,y} \in R \\ (iii) \qquad f(x) \cdot f\left( \frac{1}{x}\right)=1 \quad \text{dla wszystkich x} \neq 0}\)
6(rozwiązane przez Wasilewskiego )
Ciąg \(\displaystyle{ (x_n)}\) określają warunki:
\(\displaystyle{ x_0=1995 \quad x_n=-\frac{1995}{n} \sum_{k=0}^{n-1} x_k \quad \text{dla} \; n \ge 1}\)
Oblicz sumę \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{1995} 2^n x_n}\)
Liczby rzeczywiste \(\displaystyle{ x_1, x_2, \ldots , x_n \; (n\ge 3)}\) są parami różne i spełniają warunek:
\(\displaystyle{ x_1+\frac{1}{x_2}=x_2+\frac{1}{x_3}=\ldots = x_n+\frac{1}{x_1}}\)
Udowodnij, że \(\displaystyle{ \left| x_1 x_2 \ldots x_n \right| =1}\)
Rozwiąż w liczbach rzeczywistych równanie
\(\displaystyle{ \sqrt{x_1}+\sqrt{x_2-1} + \sqrt{x_3-2} + \ldots + \sqrt{x_n-n+1}+\frac{n(n-3)}{4}=\frac{1}{2} \left(x_1+x_2+\ldots + x_n \right)}\)
Liczby naturalne \(\displaystyle{ a,b,c}\) tworzą ciąg geometryczny, \(\displaystyle{ p}\) jest liczbą pierwszą. Wykaż, że \(\displaystyle{ p|a^3+b^3+c^3-3abc \; \Rightarrow \; p^2|a^3+b^3+c^3-3abc}\)
Dany jest ciąg \(\displaystyle{ (x_n)}\) taki, że \(\displaystyle{ 0 \le x_1 \le 1}\) oraz \(\displaystyle{ x_{n+1}=x_n(1-x_n)}\) dla \(\displaystyle{ n=1,2,3,\ldots}\) Udowodnić, że
\(\displaystyle{ \forall_{n \in \mathbb{N}_1} \; x_1 + x_2 \ldots + x_n \le \sqrt{n}}\)
Liczby całkowite \(\displaystyle{ x,y,z}\) spełniając warunek \(\displaystyle{ (x-y)(y-z)(z-x)=x+y+z}\). Udowodnij, że
\(\displaystyle{ 81| (x-y)^3+(y-z)^3+(z-x)^3}\)
12(rozwiązane przez binaja )
W pewnej szkole uczy się \(\displaystyle{ 1995}\) uczniów. Każdy z nich ma wśród pozostałych co najmniej \(\displaystyle{ 45}\) znajomych. Udowodnij, że zawsze znajdziemy takich czterech uczniów tej szkoły, którzy mogą usiąść przy okrągłym stole tak, by każdy siedział obok swoich znajomych.
13(rozwiązane przez Wasilewskiego )
Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ a_1,a_2, \ldots , a_n}\) oraz \(\displaystyle{ b_1, b_2, \ldots , b_n}\) zachodzi nierówność
\(\displaystyle{ 1+\sum_{k=1}^n (a_k+b_k)^2 \le \frac{4}{3} \left(1+ \sum_{k=1}^n a_k^2\right) \left(1+ \sum_{k=1}^n b_k^2\right)}\)
Wykaż, że jeżeli \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ q}\) są różnymi liczbami pierwszymi, to liczba \(\displaystyle{ p^{q-1}+q^{p-1}-1}\) nie jest pierwsza.
Wyznacz wszystkie funkcje \(\displaystyle{ f: R \to R}\) monotoniczne i odwracalne oraz spełniające dla wszystkich \(\displaystyle{ x \in R}\) równanie
\(\displaystyle{ f(x)+f^{-1} (x)=2x}\)
Oblicz granicę
\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} \: 2^n \sqrt{2-\underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+\ldots + \sqrt{2}}}}_{n-1}}}\)
Udowodnij, że dla dowolnych liczb dodatnich \(\displaystyle{ a_1, a_2, \ldots , a_n}\) oraz \(\displaystyle{ b_1, b_2, \ldots , b_n}\) zachodzi nierówność
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^n \frac{1}{a_k b_k} \ge \frac{4n^2}{\sum_{k=1}^n (a_k+b_k)^2}}\)
Rozwiąż w zbiorze liczb całkowitych układ nierówności
\(\displaystyle{ \begin{cases} 3x^2+2yz \le 1+ y^2 \\ 3y^2+2xz \le 1+z^2 \\ 3z^2+2xy \le 1+ x^2 \end{cases}}\)
Ciąg \(\displaystyle{ (F_n)}\) określają warunki:
\(\displaystyle{ F_0=F_1=1 \quad F_{n+1}=F_n+F_{n-1} \; \text {dla } \; n=1,2,3,\ldots \qquad}\) (ciąg Fibonacciego )
Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n}\)
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^n {n\choose k} F_{n-k} = F_{2n}}\)
Liczby \(\displaystyle{ a_i \ge 0}\) oraz \(\displaystyle{ b_i > 0}\) \(\displaystyle{ (i=1,2,\ldots , n)}\) spełniają warunki
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} a_i=1 \quad \text{i} \quad \sum_{i=1}^n b_i =1}\)
Wykaż, że \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^n \frac{a_i^2}{b_i} \ge 1}\)
Udowodnij, że dla dowolnych \(\displaystyle{ \alpha _ 1, \alpha_2, \ldots , \alpha_n \in R}\)
\(\displaystyle{ \left( \sum_{k=1}^n \sin \alpha_k \right)^2 + \left( \sum_{k=1}^n \cos \alpha_k \right)^2 \le n^2}\)
Dla danej liczby pierwszej \(\displaystyle{ p}\) określamy ciąg \(\displaystyle{ (x_n)}\) następująco
\(\displaystyle{ x_1=p \quad x_{n+1}=2^{x_n}-1 \; \text{ dla } \; n=1,2,3,\ldots}\)
Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n \qquad 2^{x_n}-2 \equiv 0 \pmod{x_n}}\)
Udowodnij, że jeżeli \(\displaystyle{ a,b,c \in \mathbb{Q}}\) i jeden pierwiastek równania \(\displaystyle{ ax^3+bx+c=0}\) jest iloczynem dwóch pozostałych pierwiastków tego równania, to jest on liczbą wymierną.
Dla każdej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n}\) oznaczmy przez \(\displaystyle{ a_n}\) ostatnią cyfrę liczby \(\displaystyle{ 1+2+\ldots + n}\). Oblicz sumę \(\displaystyle{ a_1+a_2+\ldots + a_{1994}}\).
Wyznacz wszystkie wielomiany \(\displaystyle{ P(x)}\) stopnia \(\displaystyle{ n}\) takie, że dla każdego \(\displaystyle{ x\in R}\)
\(\displaystyle{ P(1)+P(x)+P(x^2)+\ldots + P(x^n)=(1+x+x^2+\ldots + x^n) P(x)}\)
Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n}\) spełniona jest nierówność
\(\displaystyle{ (\sqrt{2}-1)(\sqrt[3]{6}-\sqrt{2})(\sqrt[4]{24}-\sqrt[3]{6})\ldots (\sqrt[n+1]{(n+1)!}-\sqrt[n]{n!}) < \frac{n!}{(n+1)^n}}\)
Udowodnij, że liczba \(\displaystyle{ \frac{5^{125}-1}{5^{25}-1}}\) jest złożona.
Udowodnij, że jeżeli liczby \(\displaystyle{ a,b \in \mathbb{N}}\) i \(\displaystyle{ b^2+ab+1|a^2+ab+1}\), to \(\displaystyle{ a=b}\)
Oblicz sumę
\(\displaystyle{ \sum_{j=0}^{11} \frac{x_j^3}{1-3x_j+3x_j^2} \qquad}\) ,gdzie \(\displaystyle{ x_j=\frac{j}{11}}\) dla \(\displaystyle{ j=0,1,2,\ldots , 11}\)
Oblicz iloczyn \(\displaystyle{ x_1 x_2 x_3 \ldots x_n}\) , jeśli wiadomo, że
\(\displaystyle{ x_1x_2+x_2=x_2x_3+x_3=\ldots = x_n x_1 + x_1 =-1}\)
Rozważmy ciąg Fibonacciego \(\displaystyle{ (F_n)}\)
Udowodnij, że da każdej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n \in \mathbb{N}_1}\) wielomiany
\(\displaystyle{ x^{2n+1}+F_{2n+1}x^2 - F_{2n-1}}\) i \(\displaystyle{ x^{2n+2}-F_{2n+2}x^2+F_{2n}}\) są podzielne przez \(\displaystyle{ x^2+x-1}\)
Wyznacz wszystkie pary funkcji \(\displaystyle{ F: R\to R}\) i \(\displaystyle{ g:R \to R}\) spełniające dla wszystkich \(\displaystyle{ x \in R \setminus \{ 1 \}}\) układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} f(2x+1)+2g(2x+1)=2x \\ f ( \frac{x}{x-1} ) +g( \frac{x}{x-1} ) = x \end{cases}}\)
Liczby nieujemne \(\displaystyle{ x_1, x_2 ,\ldots ,x_n \; (n \ge 2)}\) spełniają warunek \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^n x_k=1}\). Udowodnij, że
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^n \sqrt{x_k(1-x_k)}\le \sqrt{n-1}}\)
Ciąg \(\displaystyle{ (x_n)}\) jest określony następująco:
\(\displaystyle{ x_1=2 \quad x_n=nx_{n-1}+1 \; \text{dla} \; n=2,3,4\ldots}\)
Udowodnij, że jeżeli każde dwa wierzchołki \(\displaystyle{ (x_n+1)}\) kąta wypukłego połączymy odcinkiem pomalowanym na jeden z \(\displaystyle{ n}\) kolorów, to otrzymamy co najmniej jeden trójkąt o wierzchołkach w wierzchołkach tego wielokąta i o bokach jednego koloru.
Niech \(\displaystyle{ d}\) będzie liczbą naturalną. Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n}\)
\(\displaystyle{ \frac{1\cdot d!}{d} + \frac{2(d+1)!}{d^2} + \ldots + \frac{n(d+n-1)!}{d^n}=\frac{(n+d)!}{d^n}-d!}\)
Ciąg \(\displaystyle{ (x_n)}\) określony jest następująco:
\(\displaystyle{ x_1=3 \quad \sqrt{x_{n+1}}=2\sqrt{x_n}+\sqrt{3(1+x_n)} \quad \text{dla } \; n\ge 1}\)
Udowodnij, że wszystkie wyrazy tego ciągu są liczbami naturalnymi.
Rozwiąż w liczbach dodatnich układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^5+y^5+z^5=9(x+y+z) \\ x+y+z=xyz \end{cases}}\)
Rozwiąż równanie
\(\displaystyle{ \left( 1+x+x^2 \right) \left( 1+x+x^2+\ldots + x^{10} \right) = \left( 1+x+x^2 + \ldots + x^6 \right)^2}\)
Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n\ge 3}\)
\(\displaystyle{ 8| \left[ \left(\sqrt[3]{n} + \sqrt[3]{n+2} \right)^3\right] +1}\)
Dla każdej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n}\) przyjmujemy
\(\displaystyle{ S_n=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3} + \ldots + \frac{1}{n}}\)
\(\displaystyle{ T_n=S_1+S_2+S_3 + \ldots + S_n}\)
\(\displaystyle{ U_n=\frac{T_1}{2} + \frac{T_2}{3} + \ldots + \frac{T_n}{n+1}}\)
Udowodnij, że
\(\displaystyle{ T_n=(n+1)(S_{n+1}-1) \qquad \text{oraz} \qquad U_n=(n+2)(S_{n+1}-1)-n}\)
Rozwiąż w liczbach całkowitych równanie
\(\displaystyle{ x^3+y^3=4\left( x^2y+xy^2+1\right)}\)
Liczby nieujemne \(\displaystyle{ a_1, a_2, \ldots , a_n}\) spełniają warunki
\(\displaystyle{ 1^\circ \quad a_1 \ge a_2 \ge \ldots \ge a_n}\)
\(\displaystyle{ 2^\circ \quad \sum_{k=1}^n a_k \le 1}\)
Udowodnij, że dla każdego \(\displaystyle{ n \qquad \sum_{k=1}^n (2k-1)a_k^2 \le 1}\)
Niech \(\displaystyle{ m}\) i \(\displaystyle{ n}\) będą liczbami naturalnymi, przy czym \(\displaystyle{ m\le n}\). Przyjmujemy
\(\displaystyle{ T_{m}={n\choose 0} + {n\choose 1} + \ldots + {n \choose m}}\)
Wykaż, że
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^n {n\choose k} T_k = 2^{2n-1}+ {2n-1 \choose n}}\)
Ciąg \(\displaystyle{ (a_n)}\) jest określony następująco:
\(\displaystyle{ a_0=2 \quad a_1=3 \quad a_2=6 \quad a_n=(n+4)a_{n-1}-4na_{n-2}+(4n-8)a_{n-3} \quad n\ge 3}\)
Wykaż, że \(\displaystyle{ \forall_{n \in \mathbb{N}} \; \ a_n=n!+2^n}\)
Liczby rzeczywiste \(\displaystyle{ x,y,z}\) są parami różne i spełniają warunek
\(\displaystyle{ (x-y)\sqrt[3]{1-z^3}+(y-z)\sqrt[3]{1-x^3}+(z-x)\sqrt[3]{1-y^3}=0}\)
Udowodnij, że \(\displaystyle{ (1-x^3)(1-y^3)(1-z^3)=(1-xyz)^3}\)
Rozwiąż w liczbach naturalnych równanie
\(\displaystyle{ x^4+y^4+z^4=2x^2y^2+2y^2z^2 + 2z^2 x^2 +3}\)
Udowodnij, że jeżeli liczby \(\displaystyle{ a,b,m \in \mathbb{Z}}\) i \(\displaystyle{ a^2+2mb^2}\) jest kwadratem liczby całkowitej, to \(\displaystyle{ a^2+mb^2}\) jest sumą kwadratów dwóch liczb całkowitych.
Niech \(\displaystyle{ S(n)}\) oznacza sumę cyfr liczby naturalnej \(\displaystyle{ n}\). Ciąg \(\displaystyle{ (x_n)}\) jest określony następująco:
\(\displaystyle{ x_1=1995^{1995} \qquad x_{n+1}=S(x_n) \quad \text{dla} \; n=1,2,3,\ldots}\)
Wyznacz \(\displaystyle{ x_{1995}}\)
49(rozwiązane przez freja i Wasilewskiego )
Ciąg \(\displaystyle{ (x_n)}\) jest określony następująco:
\(\displaystyle{ x_1=1, x_{n+1}=x^2_n+x_n}\) dla \(\displaystyle{ n=1,2,3,\ldots}\)
Udowodnij, że dla każdego \(\displaystyle{ n}\)
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{1+x_i} + \prod_{i=1}^n \frac{1}{1+x_i} =1}\)
50
Funkcja \(\displaystyle{ f: \RR_{+} \to \RR_{+}}\) spełnia dla wszystkich \(\displaystyle{ x,y \in \RR_{+}}\) warunek \(\displaystyle{ f(xy) \le f(x) f(y)}\). Udowodnij, że dla każdego \(\displaystyle{ x \in \RR_{+}}\) oraz dla każdego \(\displaystyle{ n \in \mathbb{N}}\)
\(\displaystyle{ f(x^n) \le f(x) \cdot \sqrt{f(x^2)} \cdot \sqrt[3]{f(x^3)} \cdot \ldots \cdot \sqrt[n]{f(x^n)}}\)
51(rozwiązane przez Sylwka
Niech \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) będą takimi liczbami naturalnymi, że \(\displaystyle{ (A,B)=1}\) i \(\displaystyle{ \frac{A}{B}=\sum_{k=1}^{100} \frac{1}{k}}\)
Udowodnij, że liczba \(\displaystyle{ AB}\) nie jest podzielna przez 5.
Udowodnij, że dla każdego \(\displaystyle{ n \ge 2}\)
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n-2} \frac{1}{k!} \left( \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \ldots + (-1)^{n-k} \frac{1}{(n-k)!}\right)=1- \frac{1}{n!}}\)
53(rozwiązane przez taka_jedna i mola_ksiazkowego)
Liczby \(\displaystyle{ p,q,r}\) są pierwiastkami rzeczywistymi równania \(\displaystyle{ x^3-6x^2+3x+1=0}\)
Wyznacz zbiór wartości sumy \(\displaystyle{ p^2q+q^2r+r^2p}\).
Niech \(\displaystyle{ f}\) będzie wielomianem o współczynnikach całkowitych, zaś \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) takimi różnymi liczbami całkowitymi, że \(\displaystyle{ f(a)f(b)=-(a-b)^2}\). Wykaż, że
\(\displaystyle{ f(a)+f(b)=0}\)
Udowodnij, że
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{997} \frac{(-1)^k}{1995-k} \cdot {1995-k \choose k} = -\frac{2}{1995}}\)
Jak zauważył luka52 wartość sumy wynosi , w związku z czym zmieniam treść polecenia.
56(rozwiązane przez Dumla)
Wyznacz wszystkie funkcje \(\displaystyle{ f: Z \to Z}\) spełniające warunki:
\(\displaystyle{ (i) \qquad \ \ f(0)=1 \\ (ii) \ \qquad f(f(n))=n \quad \text{dla wszystkich n} \in Z \\ (iii) \qquad f\left( f(n+2)+2 \right)=n \quad \text{dla wszystkich n}\in Z}\)
Udowodnij, że jeżeli \(\displaystyle{ a,b,c}\) są długościami boków trójkąta, to
\(\displaystyle{ \sqrt{a^2+b^2-c^2} + \sqrt{a^2-b^2+c^2} + \sqrt{-a^2+b^2+c^2} \le a+b+c}\)
Niech \(\displaystyle{ k}\) i \(\displaystyle{ n\ge 2}\) będą liczbami naturalnymi. Oblicz sumę
\(\displaystyle{ \left[ \frac{2^{n+1}+1}{2^{n-1}+1}\right] + \left[ \frac{3^{n+1}+1}{3^{n-1}+1}\right] + \ldots + \left[ \frac{k^{n+1}+1}{k^{n-1}+1}\right]}\)
Wyznacz wszystkie liczby wymierne \(\displaystyle{ r}\), dla których pierwiastki równania \(\displaystyle{ rx^2+(r+1)x+(r-1)=0}\) są całkowite.
Liczby naturalne \(\displaystyle{ a_n}\) i \(\displaystyle{ b_n}\) spełniają równość \(\displaystyle{ a_n+b_n \sqrt{2}=\left( 1+ \sqrt{2} \right)^{2n+1}}\)
Udowodnij, że liczby \(\displaystyle{ a_n, b_n}\) są nieparzyste oraz spełniają równość
\(\displaystyle{ b_n^2=\left(\frac{a_n+(-1)^n}{2} \right)^2 + \left(\frac{a_n-(-1)^n}{2} \right)^2}\)
Liczby nieujemne \(\displaystyle{ x_1, x_2, \ldots , x_n}\) spełniają warunek \(\displaystyle{ x_1+x_2+\ldots x_n=n}\). Udowodnij, że
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} \frac{x_i}{1+x_i^2} \le \sum_{i=1}^n \frac{1}{1+x_i}}\)
62(rozwiązane przez Sylwka )
Wyznacz wszystkie trójki \(\displaystyle{ (x,y,z)}\) liczb rzeczywistych większych od \(\displaystyle{ 1}\) spełniające równanie
\(\displaystyle{ x+y+z+\frac{3}{x-1}+\frac{3}{y-1}+\frac{3}{z-1} = 2\left( \sqrt{x+2} + \sqrt{y+2} + \sqrt{z+2} \right)}\)
Udowodnij, że jeżeli liczby \(\displaystyle{ a,b,c,d}\) są dodatnie oraz \(\displaystyle{ a+b=c+d}\) i \(\displaystyle{ a^2+b^2> c^2+d^2}\), to \(\displaystyle{ a^5+b^5>c^5+d^5}\)
Wykaż, że dla dowolnych liczb naturalnych nieparzystych \(\displaystyle{ m,n,p}\)
\(\displaystyle{ n| 1^m+2^m+3^m+\ldots + \left((n-1)^p \right)^m}\)
Wyznacz wszystkie funkcje \(\displaystyle{ f: R \setminus \{ 0 \} \to R}\) spełniające następujące warunki
\(\displaystyle{ 1^\circ \quad f(x)=xf(\frac{1}{x}) \qquad \qquad \text{ dla wszystkich x } \neq 0}\)
\(\displaystyle{ 2^\circ \quad f(x)+f(y)=1+f(x+y) \quad \text{dla wszystkich x} \neq 0 \: y\neq 0 \; \text{takich, że } x+y\neq 0}\)
Liczby dodatnie \(\displaystyle{ a_1, a_2, \ldots , a_n}\) oraz \(\displaystyle{ b_1, b_2, \ldots , b_n}\) spełniają warunek \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^n a_k=\sum_{k=1}^n b_k}\). Udowodnij, że
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^n \frac{a_k^2}{a_k+b_k} \ge \frac{1}{2} \sum_{k=1}^n a_k}\)
Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n}\)
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{2n} \frac{2n-k}{k+1} (-1)^{k+1} = \sum_{k=1}^{n} \frac{2n-1}{n+k}}\)
Zadanie jest błędne, np. dla \(\displaystyle{ n=2}\).
68(rozwiązane przez freja)
Ciąg \(\displaystyle{ (a_n)}\) jest określony następująco:
\(\displaystyle{ a_1=2 \quad a_2=3 \\ \left( a_{n-1}^2 + a_n^2\right) \left( a_n^2+a_{n+1}^2 \right) = \left( a_{n-1} a_n + a_n a_{n+1} \right)^2 \quad \text{ dla } n=2,3,\ldots}\)
Wyznacz \(\displaystyle{ a_n}\)
Liczby dodatnie \(\displaystyle{ a,b}\) spełniają dla pewnego \(\displaystyle{ x\in R}\) warunek
\(\displaystyle{ \frac{sin^4x}{a}+ \frac{cos^4 x}{b} = \frac{1}{a+b}}\)
Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n}\)
\(\displaystyle{ \frac{sin^{2n} x}{a^{n-1}} + \frac{cos^{2n} x}{b^{n-1}} = \frac{1}{(a+b)^{n-1}}}\)
Udowodnij, że jeżeli funkcje \(\displaystyle{ f,g: R \to R\setminus \{ 0,1 \}}\) spełniają dla każdego \(\displaystyle{ x\in R}\) równości
\(\displaystyle{ f(x+1)=\frac{g(x)}{f(x)} \qquad \text{oraz} \qquad g(x+1)=\frac{g(x)-1}{f(x)-1}}\)
to są okresowe.
Ciąg \(\displaystyle{ (F_n)}\) jest określony następująco:
\(\displaystyle{ F_0=0 \quad F_1=1 \qquad F_{n+2}=F_{n+1}+F_n \quad \text{dla} n \ge 0}\)
Oblicz granicę
\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} \left(\frac{1}{F_1 F_3} + \frac{1}{F_2 F_4} + \ldots + \frac{1}{F_n F_{n+2}} \right)}\)
Liczby całkowite \(\displaystyle{ n_1, n_2, \ldots , n_{100}}\) spełniają warunek
\(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{n_1}} + \frac{1}{\sqrt{n_2}} + \ldots + \frac{1}{\sqrt{n_{100}}} = 20}\)
Udowodnij, że co najmniej dwie z nich są równe.
Liczby wymierne \(\displaystyle{ a,b}\) spełniają dla każdego naturalnego \(\displaystyle{ n}\) równość
\(\displaystyle{ a^{2n+1} + b^{2n+1} = 2a^n b^n}\)
Udowodnij, że liczba \(\displaystyle{ \sqrt{1-ab}}\) jest wymierna.
Oblicz
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \frac{1^2+1}{\sqrt{1^4+4}} \cdot \frac{2^2+1}{\sqrt{2^4+4}} \cdot \cdots \frac{n^2+1}{\sqrt{n^4+4}}}\)
Oblicz \(\displaystyle{ f(1)+f(3)+f(5)+\ldots + f(999999)}\), jeśli
\(\displaystyle{ f(n)=\frac{1}{\sqrt[3]{n^2+2n+1}+\sqrt[3]{n^2-1}+\sqrt[3]{n^2-2n+1}} \qquad \text{dla każdego } n=1,2,3,\ldots}\)
Rozstrzygnij, która z dwóch liczb dodatnich \(\displaystyle{ a,b}\) jest większa, jeżeli wiadomo, że spełniają one dla pewnego naturalnego \(\displaystyle{ n}\) warunki
\(\displaystyle{ a^n=a+1 \qquad \text{oraz} \qquad b^{2n}=b+3a}\)
77(rozwiązane przez klaustrofob)
Dane są takie liczby naturalne \(\displaystyle{ a,b}\), że suma \(\displaystyle{ \frac{a^2-1}{b+1}+\frac{b^2-1}{a+1} \in \mathbb{Z}}\)
Udowodnij, że \(\displaystyle{ \frac{a^2-1}{b+1}}\), \(\displaystyle{ \frac{b^2-1}{a+1}}\) również są całkowite.
Udowodnij, że jeżeli \(\displaystyle{ x,y}\) sa takimi liczbami całkowitymi, dla których liczba \(\displaystyle{ 2xy|x^2+y^2-x}\), to \(\displaystyle{ x}\) jest kwadratem liczby całkowitej.
Udowodnij, że jeżeli \(\displaystyle{ p,q}\) są takimi liczbami pierwszymi, dla których liczba \(\displaystyle{ \sqrt{p^2+7pq+q^2}+\sqrt{p^2+14pq+q^2}}\) jest całkowita, to \(\displaystyle{ p=q}\)
Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n}\) zachodzi nierówność
\(\displaystyle{ \left( 2n^2+3n+1 \right) ^n \ge 6^n \left( n! \right)^2}\)
Wykaż, że liczba \(\displaystyle{ 3^n+2\cdot 17^n}\) nie jest kwadratem liczby całkowitej dla żadnego całkowitego \(\displaystyle{ n\ge 0}\)
Liczby dodatnie \(\displaystyle{ x,y,z}\) spełniają warunek \(\displaystyle{ xyz=1}\). Udowodnij, że
\(\displaystyle{ x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx \ge 2\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z} \right)}\)
Udowodnij, że dla dowolnych liczb dodatnich \(\displaystyle{ a_1, a_2, a_3, \ldots , a_n}\) zachodzi nierówość
\(\displaystyle{ \left(\prod_{i=1}^n \prod_{j=1}^{n} \left(1+\frac{a_i}{a_j} \right) \right)^\frac{1}{n}\ge 2^n}\)
84 (rozwiązane przez kluczyka i mola_ksiazkowego)
Niech \(\displaystyle{ a,b,c,d,p,q}\) będą takimi liczbami naturalnymi, że \(\displaystyle{ \; ad-cb=1 \quad \text{oraz} \quad \frac{a}{b} > \frac{p}{q} > \frac{c}{d}}\)
Udowodnij, że
\(\displaystyle{ (i) \quad \ q\ge b+d}\)
\(\displaystyle{ (ii) \quad \text{jeżeli } \: q=b+d \text{, to } p=a+c}\)
Rozwiąż w liczbach całkowitych równanie \(\displaystyle{ 5(xy+yz+zx)=4xyz}\)
Wewnątrz koła o średnicy \(\displaystyle{ 5}\) obrano \(\displaystyle{ 10}\) różnych punktów. Udowodnij, że pewne dwa z nich są odległe od siebie o mniej niż \(\displaystyle{ 2}\).
Udowodnij, że jeżeli liczby \(\displaystyle{ a,b,c}\) są dodatnie, to
\(\displaystyle{ \frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} \le \frac{a^2}{b^2} + \frac{b^2}{c^2}+ \frac{c^2}{a^2}}\)
Liczby dodatnie \(\displaystyle{ x,y,z}\) spełniają warunek \(\displaystyle{ xyz=1}\). Wyznacz wartość sumy
\(\displaystyle{ \frac{x+1}{xy+x+1} + \frac{y+1}{yz+y+1} + \frac{z+1}{zx+z+1}}\)
Wyznacz wszystkie funkcje \(\displaystyle{ f: \RR_{+} \to \RR_{+}}\) spełniające dla wszystkich \(\displaystyle{ x>0}\) równanie \(\displaystyle{ f(f(x))+f(x)=6x}\)
Niech \(\displaystyle{ \qquad S_n=\frac{\sin^{2n+2} \alpha }{\sin^{2n} \beta} + \frac{\cos^{2n+2} \alpha }{\cos^{2n} \beta}}\)
Udowodnij, że jeżeli \(\displaystyle{ S_k=1}\) dla pewnego \(\displaystyle{ k}\), to \(\displaystyle{ S_n=1}\) dla \(\displaystyle{ n=1,2,3,\ldots}\)
Funkcje \(\displaystyle{ f,g: \RR\to \RR}\) są różniczkowalne w \(\displaystyle{ \RR}\), nie są stałe i spełniają dla wszystkich \(\displaystyle{ x,y \in \RR}\) równości
\(\displaystyle{ f(x+y)=f(x)f(y)-g(x)g(y)}\)
\(\displaystyle{ g(x+y)=f(x)g(y)+g(x)f(y)}\)
Udowodnij, że jeżeli \(\displaystyle{ f' (0)=0}\) , to \(\displaystyle{ \left( f(x) \right)^2+\left( g(x) \right)^2\equiv 1}\)
Rozwiąż w liczbach dodatnich układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} x_1+x_2+\ldots x_n=\frac{1}{4} \\ \frac{1}{x_1}+\frac{4}{x_2}+\ldots + \frac{n^2}{x_n}=n^2(n+1)^2 \end{cases}}\)
Udowodnij, że jeżeli liczby \(\displaystyle{ a_1, a_2, \ldots , a_n}\) są nieujemne, to
\(\displaystyle{ \frac{a_1^2+a_2^2+\ldots + a_n^2}{n} \le \left( \frac{a_1+a_2+\ldots a_n}{n} \right)^2 + \frac{1}{4} \left( \max_{ 1\le i \le n} \{ a_i \} \right)^2}\)
94(rozwiązane przez losiu99)
Liczby \(\displaystyle{ a,b,c}\) parami różne, są różne od zera i spełniają warunek \(\displaystyle{ a+b+c=0}\). Wykaż, że
\(\displaystyle{ \left(\frac{a-b}{c^2} + \frac{b-c}{a^2} + \frac{c-a}{b^2} \right) \left( \frac{c^2}{a-b} + \frac{a^2}{b-c} + \frac{b^2}{c-a} \right) = 4abc \left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \right)^3}\)
Niech \(\displaystyle{ p}\) będzie liczbą pierwszą. Oblicz sumę wszystkich ułamków nieskracalnych o mianowniku \(\displaystyle{ p}\) należących do przedziału \(\displaystyle{ (a,b)}\) , gdzie \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) są liczbami naturalnymi.
Rozwiąż w liczbach rzeczywistych równanie
\(\displaystyle{ (16x^{200}+1)(y^{200}+1)=16(xy)^{100}}\)
Udowodnij, że jeżeli funkcja \(\displaystyle{ f}\) spełnia dla każdego \(\displaystyle{ x\in \mathbb{R}}\) równość
\(\displaystyle{ \sqrt{2} f(x+1)=f(x+2)+f(x)}\), to jest okresowa.
Rozwiąż w liczbach całkowitych
\(\displaystyle{ \left[ \frac{x}{1!} \right] + \left[ \frac{x}{2!} \right] + \ldots + \left[\frac{x}{10!} \right] =1001}\)
(a) Wykaż, że istnieje liczba nieparzysta \(\displaystyle{ n}\), dla której przy żadnym naturalnym parzystym \(\displaystyle{ k}\) żadna liczb ciągu
\(\displaystyle{ k^k+1 \quad k^{k^k} + \quad k^{k^{k^k}} +1 \quad \ldots}\)
nie dzieli się przez \(\displaystyle{ n}\).
(b) Udowodnij, że dla każdej naturalnej \(\displaystyle{ n}\) istnieje taka liczba naturalna \(\displaystyle{ k}\), że wszystkie wyraz ciągu
\(\displaystyle{ k+1 \quad k^k+1 \quad k^{k^k}+1 \quad \ldots}\)
są podzielne przez \(\displaystyle{ n}\)
Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej nieparzystej \(\displaystyle{ n>1}\)
\(\displaystyle{ n| (2^2-1)(2^3-1)(2^4-1)\ldots (2^{n-1}-1)}\)
W razie znalezienia jakiś błędów, np. źle coś przepisałem albo może gdzieś w tych zadaniach jest błąd w książce ( co niestety zdarza się dość często ), proszę mnie o tym powiadomić, może być post lub PW. Niektóre z zadań zapisałem w trochę innej formie, aby nie mieć problemów z \(\displaystyle{ \LaTeX -em}\), co nie zmienia jednak sensu zadania. Życzę miłego rozwiązywania
LINK do drugiej części
LISTA BŁĘDNYCH ZADAŃ
3 poprawiono
55 poprawiono
67
112 poprawiono
132 tu potrzebne są jeszcze małe dodatkowe założenia
144 poprawiono
169
183 poprawiono
192