[MIX] Suplement KMDO

Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Awatar użytkownika
limes123
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 666
Rejestracja: 21 sty 2008, o 22:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ustroń
Podziękował: 26 razy
Pomógł: 93 razy

[MIX] Suplement KMDO

Post autor: limes123 »

Mozna prosciej:
Ukryta treść:    
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11265
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3143 razy
Pomógł: 747 razy

[MIX] Suplement KMDO

Post autor: mol_ksiazkowy »

180
Ukryta treść:    
183
Ukryta treść:    
190
Ukryta treść:    
204
Ukryta treść:    
Ostatnio zmieniony 11 lip 2009, o 15:00 przez mol_ksiazkowy, łącznie zmieniany 1 raz.
frej

[MIX] Suplement KMDO

Post autor: frej »

Wszystkie zadania są już przepisane, poprawiłem treść 183. W książce było \(\displaystyle{ -\frac{2}{c}}\)
binaj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 547
Rejestracja: 20 lis 2007, o 15:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bielsko-Biała
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 120 razy

[MIX] Suplement KMDO

Post autor: binaj »

182.:    
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11265
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3143 razy
Pomógł: 747 razy

[MIX] Suplement KMDO

Post autor: mol_ksiazkowy »

197
Ukryta treść:    
Wasilewski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3921
Rejestracja: 10 gru 2007, o 20:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 1194 razy

[MIX] Suplement KMDO

Post autor: Wasilewski »

Zad. 171:    
Django
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 200
Rejestracja: 25 sty 2009, o 13:37
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Częstochowa/Kraków
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 12 razy

[MIX] Suplement KMDO

Post autor: Django »

Zad. 150
Ukryta treść:    
Awatar użytkownika
Sylwek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2716
Rejestracja: 21 maja 2007, o 14:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 160 razy
Pomógł: 657 razy

[MIX] Suplement KMDO

Post autor: Sylwek »

Ad. 150:
\(\displaystyle{ x^2+y^2+z^2 = 1993}\) nigdy nie jest spełnione, bo \(\displaystyle{ a^2 \equiv -1 \vee 0 \vee 1 \ (mod \ 9)}\), więc \(\displaystyle{ x^2+y^2+z^2 \not\equiv 4 \ (mod \ 9)}\), co jest sprzeczne z założeniem zadania. Nie istnieją takie liczby, więc w szczególności nie istnieją takie, że \(\displaystyle{ x+y+z}\) jest kwadratem.
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11265
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3143 razy
Pomógł: 747 razy

[MIX] Suplement KMDO

Post autor: mol_ksiazkowy »

Ale np \(\displaystyle{ 2^2 + 3^2+6^2 \equiv 4 \ ( mod \ 9)}\) jak i \(\displaystyle{ 43^2+12^2+0^2 =1993}\)
Awatar użytkownika
Sylwek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2716
Rejestracja: 21 maja 2007, o 14:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 160 razy
Pomógł: 657 razy

[MIX] Suplement KMDO

Post autor: Sylwek »

Ojej, nie wiem czemu zasugerowałem się, że mamy tam \(\displaystyle{ x^3+y^3+z^3}\)...

No to może tak:
150:    
195:    
159:    
158:    
161:    
165:    
166:    
167:    

Treść zadania 162 jest niekompletna. Poza tym pisałem na pierwszej stronie, że zadanie 144 jest prawdziwe, gdy \(\displaystyle{ n \ge 3}\) i n jest nieparzyste. Frej, oznacz, które już zostały zrobione.
Ostatnio zmieniony 12 lip 2009, o 02:26 przez Sylwek, łącznie zmieniany 2 razy.
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11265
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3143 razy
Pomógł: 747 razy

[MIX] Suplement KMDO

Post autor: mol_ksiazkowy »

184
Ukryta treść:    
188
Ukryta treść:    
193
Ukryta treść:    
182 Komentarz
Ukryta treść:    
Awatar użytkownika
paladin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 148
Rejestracja: 24 sty 2005, o 22:15
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 19 razy

[MIX] Suplement KMDO

Post autor: paladin »

Być może wcinam się nieproszony, ale z zad. 91 miałem na pieńku jeszcze od wczesnego liceum. Wczoraj zobaczyłem je znowu, przypomniałem sobie dawne boje...i okazało się, że teraz umiem je zrobić, choć nieładnie i z wykorzystaniem odrobiny analizy matematycznej.
Ukryta treść:    
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11265
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3143 razy
Pomógł: 747 razy

[MIX] Suplement KMDO

Post autor: mol_ksiazkowy »

175
Ukryta treść:    
177
Ukryta treść:    
Awatar użytkownika
Sylwek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2716
Rejestracja: 21 maja 2007, o 14:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 160 razy
Pomógł: 657 razy

[MIX] Suplement KMDO

Post autor: Sylwek »

185:    
200:    
Bartek1991
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 529
Rejestracja: 31 mar 2009, o 16:54
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 18 razy

[MIX] Suplement KMDO

Post autor: Bartek1991 »

166:    
Można spytać się skąd się bierze ten pierwiastek w przed ostatnim wyrazie?
ODPOWIEDZ