[Kombinatoryka] Punkty w prostokącie, Dirichlet

patry93 · Post autor: **patry93** » 24 lut 2009, o 18:25

Witam.

W prostokącie o bokach 3 i 4 obrano sześć różnych punktów. Dowieść, że pewne dwa z nich są odległe od siebie o nie więcej niż \(\displaystyle{ \sqrt{5}}\).

Cóż, zazwyczaj w tego typu zadaniach dzieli się figurę na k-1 części, jeśli jest k punktów, lecz w jaki sposób tutaj podzielić prostokąt - nie mam pojęcia

Pozdrawiam, P.

Brzytwa · Post autor: **Brzytwa** » 24 lut 2009, o 18:34

patry93 · Post autor: **patry93** » 24 lut 2009, o 18:53

Hm, no ciekawe to pocięcie, ale czy nie powinno być to pocięcie na równe/mające takie same pole figury?
Albo inaczej - jeśli udowodnię tezę dla dwóch punktów w figurze o największym polu, to będzie ona tym bardziej prawdziwa dla pozostałych?
No i jeszcze jeden problem - jak udowodnić żądaną odległość w "nieregularnym" pięciokącie?

MagdaW · Post autor: **MagdaW** » 24 lut 2009, o 18:59

Tak się zastanawiam, czy w takiej sytuacji nie można by podzielić prostokąta na 6 prostokątów 2 na 1 i czy to by nie wystarczyło (Można rozpatrzyć najbardziej skrajną sytuację).

Dumel · Post autor: **Dumel** » 24 lut 2009, o 19:32

patry93 pisze:Hm, no ciekawe to pocięcie, ale czy nie powinno być to pocięcie na równe/mające takie same pole figury?

hehe troche dziwne kryterium poprawnosci

jak udowodnić żądaną odległość w "nieregularnym" pięciokącie?

szuka sie najwiekszej odleglosci miedzy dwoma wierzcholkami

MagdaW, a jaka to jest "najbardziej skrajna sytuacja"?

Brzytwa · Post autor: **Brzytwa** » 24 lut 2009, o 19:36

Co do dowodu: Bierzemy osobno każdą figurę, a w niej każdy punkt charakterystyczny (wszystkie wierzchołki i punkty należące do każdego z boków). Następnie chyba najprościej wziąć okrąg o promieniu \(\displaystyle{ \sqrt{5}}\). A co do przystawania tych figur to chyba przy twierdzeniu Dirichleta ta informacja nie jest konieczna

MagdaW, i co dalej? ok mamy 6 "małych" prostokątów i w każdym musi być jeden punkt. Ale co dalej?

patry93 · Post autor: **patry93** » 24 lut 2009, o 19:59

Brzytwa - ok, ale to pocięcie nie jest raczej "na oko", prawda?
Jakoś trzeba by opisać "matematycznie" te figury, tzn. jaka jest długość tych odcinków pionowych, pod jakim kątem się tam na środku "rozgałęziają", ile te "gałęzie" mają długości itd. ?

A co do przystawania - oczywiście, że niekonieczna, ale często wykorzystywana chyba

Brzytwa · Post autor: **Brzytwa** » 24 lut 2009, o 20:01

Oj nie jest na oko, ale chyba widać jak to pociąłem a formalnie wystarczy podać długości wszystkich odcinków.

XMaS11 · Post autor: **XMaS11** » 24 lut 2009, o 21:02

Ten problem ( podziału figury na części o jak najmniejszej średnicy) jest skomplikowany, jest o nim trochę napisane w 'rybkach', jeśli kogoś to interesuje , a nie wiedział wcześniej.

patry93 · Post autor: **patry93** » 25 lut 2009, o 20:13

XMaS11 - ojej, faktycznie! Nawet nie wiedziałem
Swoją drogą, tak "prosto wyglądające" zadania coś bardzo często okazują się bardzo trudne