Matematyka.pl

Kicaj. Dajesz zadanie.

Znalazłem takie zadanie i nie umiem go zrobić. Mam wrażenie że pojawiło się wcześniej na jakimś polskim konkursie/obozie, ale nie udało mi się go znaleźć. Być może pomyliło mi się z innym zadaniem. Nie chcę tworzyć nowego tematu, a to jest wątek o wielomianach, więc wrzucam tutaj.

Dany jest wielomian o współczynnikach rzeczywistych \(\displaystyle{ P(x)}\). Dla liczby naturalnej \(\displaystyle{ n}\) tworzymy następujący wielomian:

\(\displaystyle{ Q_n(x) = (x+1)^n P(x) + x^n P(x+1)}\)

Dowieść, że \(\displaystyle{ Q_n}\) ma wszystkie pierwiastki rzeczywiste tylko dla skończenie wielu \(\displaystyle{ n}\).

Rozwiązać:

\(\displaystyle{ (x^2+1)(x-1)^2 = 2022x^2. }\)

\(\displaystyle{ (x^2+1)(x-1)^2 = 2022x^2\\
x^4-2x^3-2020x^2-2x+1=0 }\)
\(\displaystyle{ x^2-2x-2020-2 \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}=0\\
(x+\frac{1}{x})^2-2(x+\frac{1}{x})-2022=0 }\)