[MIX][Wielomiany][Teoria liczb] Wielomiany i teoria liczb

Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11266
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3143 razy
Pomógł: 747 razy

[MIX][Wielomiany][Teoria liczb] Wielomiany i teoria liczb

Post autor: mol_ksiazkowy »

mol_ksiazkowy napisał(a):
Wykazać, że jeżeli żadna z liczb nie dzieli się przez , to i są względnie pierwsze.

też jest coś nie tak... Tam jest coś na odwrót.
no bo był błąd...

Ile jest równa suma liczb takich które maja wszystkie elementy
ze zbioru \(\displaystyle{ \{ 1, ..., 9 \}}\) (każdy tylko raz)
tj. \(\displaystyle{ S = 123456789 + .... + 347619258 +...+ 746395128 + .... + 987654321}\)
?
Awatar użytkownika
Msciwoj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 229
Rejestracja: 18 lut 2012, o 22:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Londyn
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 36 razy

[MIX][Wielomiany][Teoria liczb] Wielomiany i teoria liczb

Post autor: Msciwoj »

Ponewor, nie.
Ukryta treść:    
mol_ksiazkowy pisze:Ile jest równa suma liczb takich które maja wszystkie elementy
ze zbioru \(\displaystyle{ \{ 1, ..., 9 \}}\) (każdy tylko raz)
tj. \(\displaystyle{ S = 123456789 + .... + 347619258 +...+ 746395128 + .... + 987654321}\)
?
Ukryta treść:    
Ostatnio zmieniony 30 lip 2013, o 21:28 przez Ponewor, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawiłem na bardziej cenzuralne słownictwo.
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11266
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3143 razy
Pomógł: 747 razy

[MIX][Wielomiany][Teoria liczb] Wielomiany i teoria liczb

Post autor: mol_ksiazkowy »

Jakieś takie proste.
wyznaczyć wszystkie \(\displaystyle{ n \leq 9}\) takie, iż równanie \(\displaystyle{ (n!+1)x^2 - y^2=1}\) ma nieskończona ilość rozwiązań w N
Awatar użytkownika
Vax
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2913
Rejestracja: 27 kwie 2010, o 22:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 612 razy

[MIX][Wielomiany][Teoria liczb] Wielomiany i teoria liczb

Post autor: Vax »

Hmm... proponuję może rzucać zadania, przy rozwiązywaniu których nie napotyka się przypadków, w których konieczne jest działanie na liczbach, które w mało którym kalkulatorze się mieszczą ;d
Ukryta treść:    
Awatar użytkownika
Ponewor
Moderator
Moderator
Posty: 2218
Rejestracja: 30 sty 2012, o 21:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 70 razy
Pomógł: 297 razy

[MIX][Wielomiany][Teoria liczb] Wielomiany i teoria liczb

Post autor: Ponewor »

To dobry postulat. Ja jeszcze postuluję, byś dał nam jakieś zadanko w zamian
Awatar użytkownika
Vax
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2913
Rejestracja: 27 kwie 2010, o 22:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 612 razy

[MIX][Wielomiany][Teoria liczb] Wielomiany i teoria liczb

Post autor: Vax »

No to coś prostego:

Niech:

\(\displaystyle{ a_n = 1\underbrace{00\ldots 0}_{n}2\underbrace{00\ldots 0}_{n}2\underbrace{00\ldots 0}_{n}1}\)

Pokazać, że dla każdego \(\displaystyle{ n\ge 0}\) wartość \(\displaystyle{ \frac{a_n}{3}}\) jest sumą dwóch sześcianów liczb naturalnych, ale nigdy nie jest sumą dwóch kwadratów liczb naturalnych.
KPR
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 254
Rejestracja: 11 lip 2009, o 20:00
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 31 razy

[MIX][Wielomiany][Teoria liczb] Wielomiany i teoria liczb

Post autor: KPR »

Ukryta treść:    
Znaleźć wszystkie trójki \(\displaystyle{ (x,y,n)}\) liczb całkowitych dodatnich takie, że
\(\displaystyle{ NWD(x,n+1)=1}\) oraz \(\displaystyle{ x^n+1=y^{n+1}}\).
Najlepiej bez Mihăilescu.
Awatar użytkownika
Ponewor
Moderator
Moderator
Posty: 2218
Rejestracja: 30 sty 2012, o 21:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 70 razy
Pomógł: 297 razy

[MIX][Wielomiany][Teoria liczb] Wielomiany i teoria liczb

Post autor: Ponewor »

a można z LTE?
Awatar użytkownika
Swistak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1874
Rejestracja: 30 wrz 2007, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 99 razy
Pomógł: 87 razy

[MIX][Wielomiany][Teoria liczb] Wielomiany i teoria liczb

Post autor: Swistak »

Vax pisze:No to coś prostego:

Niech:

\(\displaystyle{ a_n = 1\underbrace{00\ldots 0}_{n}2\underbrace{00\ldots 0}_{n}2\underbrace{00\ldots 0}_{n}1}\)

Pokazać, że dla każdego \(\displaystyle{ n\ge 0}\) wartość \(\displaystyle{ \frac{a_n}{3}}\) jest sumą dwóch sześcianów liczb naturalnych, ale nigdy nie jest sumą dwóch kwadratów liczb naturalnych.
... 4#p2016380
W naszej drużynie binaj to zrobił .
Moim zdaniem dużo ciekawsze jest drugie zadanie z teorii liczb z tych zawodów .
Jakieśtam zadanie jest, więc może niech to nie będzie aktualne, ale jak ktoś chce se pokminić, to polecam:
... 4#p2016385
KPR
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 254
Rejestracja: 11 lip 2009, o 20:00
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 31 razy

[MIX][Wielomiany][Teoria liczb] Wielomiany i teoria liczb

Post autor: KPR »

Ponewor pisze:a można z LTE?
Raczej tak, LTE każdy umie udowodnić.
Awatar użytkownika
Vax
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2913
Rejestracja: 27 kwie 2010, o 22:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 612 razy

[MIX][Wielomiany][Teoria liczb] Wielomiany i teoria liczb

Post autor: Vax »

KPR pisze:Znaleźć wszystkie trójki \(\displaystyle{ (x,y,n)}\) liczb całkowitych dodatnich takie, że
\(\displaystyle{ NWD(x,n+1)=1}\) oraz \(\displaystyle{ x^n+1=y^{n+1}}\).
Najlepiej bez Mihăilescu.
Ukryta treść:    
Niech kolejne będzie :
Swistak pisze:Jakieśtam zadanie jest, więc może niech to nie będzie aktualne, ale jak ktoś chce se pokminić, to polecam:
... 4#p2016385
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11266
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3143 razy
Pomógł: 747 razy

[MIX][Wielomiany][Teoria liczb] Wielomiany i teoria liczb

Post autor: mol_ksiazkowy »

Zostało jeszcze parę zadań:
i też może takie:
Dla jakich \(\displaystyle{ n \in N}\) jest \(\displaystyle{ \lfloor \frac{1}{3} n \rfloor ! \equiv 0 \ (mod \ n)}\) ?
Awatar użytkownika
Ponewor
Moderator
Moderator
Posty: 2218
Rejestracja: 30 sty 2012, o 21:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 70 razy
Pomógł: 297 razy

[MIX][Wielomiany][Teoria liczb] Wielomiany i teoria liczb

Post autor: Ponewor »

Ukryta treść:    
-- 17 sie 2013, o 13:32 --a tymczasem pobawcie się z czymś takim:
pokażcie, że równanie \(\displaystyle{ \left( x-y\right)\left( y-z\right)\left( z-x\right)=x^{2}+y^{2}+z^{2}}\), ma nieskończenie wiele rozwiązań w liczbach naturalnych.
Awatar użytkownika
Vax
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2913
Rejestracja: 27 kwie 2010, o 22:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 612 razy

[MIX][Wielomiany][Teoria liczb] Wielomiany i teoria liczb

Post autor: Vax »

Ponewor pisze:pokażcie, że równanie \(\displaystyle{ \left( x-y\right)\left( y-z\right)\left( z-x\right)=x^{2}+y^{2}+z^{2}}\), ma nieskończenie wiele rozwiązań w liczbach naturalnych.
Ukryta treść:    
\(\displaystyle{ Pawel}\) napisał i ukrył wielomian \(\displaystyle{ W}\) pewnego stopnia o nieujemnych współczynnikach całkowitych. \(\displaystyle{ Marcinek}\) chce odgadnąć ten wielomian. \(\displaystyle{ Pawel}\) może mu podać wartość wielomianu dla dowolnego całkowitego argumentu \(\displaystyle{ x}\). Pokazać, że \(\displaystyle{ Marcinek}\) może odgadnąć wielomian zadając tylko dwa odpowiednie pytania.
Awatar użytkownika
Swistak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1874
Rejestracja: 30 wrz 2007, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 99 razy
Pomógł: 87 razy

[MIX][Wielomiany][Teoria liczb] Wielomiany i teoria liczb

Post autor: Swistak »

Stare, znane i łatwe . Najpierw pyta sie o \(\displaystyle{ W(1)}\), a potem o \(\displaystyle{ W(k)}\), gdzie \(\displaystyle{ k > W(1)}\) i kolejny cyfry z zapisie o podstawie \(\displaystyle{ k}\) tej liczby, to kolejne współczynniki .

Niech następne będzie 22. ze Zwardonia 08 .
ODPOWIEDZ