[MIX][Wielomiany][Teoria liczb] Wielomiany i teoria liczb

Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11263
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3140 razy
Pomógł: 747 razy

[MIX][Wielomiany][Teoria liczb] Wielomiany i teoria liczb

Post autor: mol_ksiazkowy »

A czemu tu sie nic nie zmienia....? !

Problem „silnia jako iloczyn silni”:
Równanie \(\displaystyle{ x!y! =z!}\) ma nieskończenie wiele rozwiązań, bo: np. \(\displaystyle{ x =n \ y = n! - 1 \ z=n!}\), choć nie są to wszyskie bo np. \(\displaystyle{ 6!7! =10!}\).
Czy problem ten dla czterech oraz dla pięciu zmiennych też ma nieskończenie wiele rozwiązań w \(\displaystyle{ N!}\); (wszyskie zmienne \(\displaystyle{ x, y, z, ....}\) są > 1) ?
Awatar użytkownika
Msciwoj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 229
Rejestracja: 18 lut 2012, o 22:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Londyn
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 36 razy

[MIX][Wielomiany][Teoria liczb] Wielomiany i teoria liczb

Post autor: Msciwoj »

Mam ukrywać, czy nie? Dla bezpieczeństwa to zrobię:
Ukryta treść:    
Mam coś wrzucać czy dłubiemy to dalej?
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11263
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3140 razy
Pomógł: 747 razy

[MIX][Wielomiany][Teoria liczb] Wielomiany i teoria liczb

Post autor: mol_ksiazkowy »

Zadanie
Mając 8 różnych liczb : \(\displaystyle{ a_1, a_2, ...a_7, a_8}\) ze zbioru \(\displaystyle{ \{ 1, ..., 16 \}}\) udowodnić że istnieje \(\displaystyle{ k}\) takie, że równanie
\(\displaystyle{ a_i - a_j =k}\) ma co najmniej 3 różne rozwiązania \(\displaystyle{ (a_i, a_j)}\)
Awatar użytkownika
Msciwoj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 229
Rejestracja: 18 lut 2012, o 22:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Londyn
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 36 razy

[MIX][Wielomiany][Teoria liczb] Wielomiany i teoria liczb

Post autor: Msciwoj »

Ukryta treść:    
Awatar użytkownika
Htorb
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 120
Rejestracja: 5 sie 2013, o 20:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Końskie
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 17 razy

[MIX][Wielomiany][Teoria liczb] Wielomiany i teoria liczb

Post autor: Htorb »

Dawno nic tutaj się nie pojawiło, może więc warto coś wrzucić:
Czy istnieje nieskończony ciąg liczb pierwszych \(\displaystyle{ p_1, \ p_2,\ldots, p_n, \ p_{n+1},\ldots}\) taki, że: \(\displaystyle{ |p_{n+1}-2p_n|=1}\) dla każdego \(\displaystyle{ n \in \mathbb{N}}\)?
Pinionrzek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 393
Rejestracja: 22 wrz 2013, o 21:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bonn
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 63 razy

[MIX][Wielomiany][Teoria liczb] Wielomiany i teoria liczb

Post autor: Pinionrzek »

Ukryta treść:    
-- 26 gru 2015, o 18:19 --Liczbę harmoniczną \(\displaystyle{ h_n}\) definiujemy następująco: \(\displaystyle{ h_n= \sum_{i=1}^{n}\frac{1}{i}}\). Czy różnica dwóch różnych liczb harmonicznych może być liczbą harmoniczną?
wielkireturner
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 403
Rejestracja: 8 lut 2015, o 10:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: London ChinaTown
Podziękował: 151 razy
Pomógł: 4 razy

[MIX][Wielomiany][Teoria liczb] Wielomiany i teoria liczb

Post autor: wielkireturner »

Pinionrzek pisze:
Ukryta treść:    
-- 26 gru 2015, o 18:19 --

Liczbę harmoniczną \(\displaystyle{ h_n}\) definiujemy następująco: \(\displaystyle{ h_n= \sum_{i=1}^{n}\frac{1}{i}}\). Czy różnica dwóch różnych liczb harmonicznych może być liczbą harmoniczną?
Nie. Wystarczy zauważyć, że takiej liczbie będzie brakowało początkowych wyrazów, by była harmoniczna. Może daj coś trudniejszego. I wyjaśnij, co rozumiesz przez generator w \(\displaystyle{ F_{p}}\).
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22171
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

[MIX][Wielomiany][Teoria liczb] Wielomiany i teoria liczb

Post autor: a4karo »

wielkireturner pisze:
Pinionrzek pisze:
Liczbę harmoniczną \(\displaystyle{ h_n}\) definiujemy następująco: \(\displaystyle{ h_n= \sum_{i=1}^{n}\frac{1}{i}}\). Czy różnica dwóch różnych liczb harmonicznych może być liczbą harmoniczną?
Nie. Wystarczy zauważyć, że takiej liczbie będzie brakowało początkowych wyrazów, by była harmoniczna. Może daj coś trudniejszego. I wyjaśnij, co rozumiesz przez generator w \(\displaystyle{ F_{p}}\).
Ten argument, niestety, jest do bani. Przemyśl go...

Liczbę trójkątną \(\displaystyle{ T_n}\) definiujemy nastepująco: \(\displaystyle{ T_n=\sum_{i=1}^{n}{i}}\). Czy różnica dwóch różnych liczb trójkątnych może być liczbą trójkątną?
Nie. Wystarczy zauważyć, że takiej liczbie będzie brakowało początkowych wyrazów

Ale \(\displaystyle{ (1+2+3+4+5+6)-(1+2+3+4+5)=1+2+3}\)
wielkireturner
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 403
Rejestracja: 8 lut 2015, o 10:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: London ChinaTown
Podziękował: 151 razy
Pomógł: 4 razy

[MIX][Wielomiany][Teoria liczb] Wielomiany i teoria liczb

Post autor: wielkireturner »

a4karo pisze:
wielkireturner pisze:
Pinionrzek pisze:
Liczbę harmoniczną \(\displaystyle{ h_n}\) definiujemy następująco: \(\displaystyle{ h_n= \sum_{i=1}^{n}\frac{1}{i}}\). Czy różnica dwóch różnych liczb harmonicznych może być liczbą harmoniczną?
Nie. Wystarczy zauważyć, że takiej liczbie będzie brakowało początkowych wyrazów, by była harmoniczna. Może daj coś trudniejszego. I wyjaśnij, co rozumiesz przez generator w \(\displaystyle{ F_{p}}\).
Ten argument, niestety, jest do bani. Przemyśl go...

Liczbę trójkątną \(\displaystyle{ T_n}\) definiujemy nastepująco: \(\displaystyle{ T_n=\sum_{i=1}^{n}{i}}\). Czy różnica dwóch różnych liczb trójkątnych może być liczbą trójkątną?
Nie. Wystarczy zauważyć, że takiej liczbie będzie brakowało początkowych wyrazów

Ale \(\displaystyle{ (1+2+3+4+5+6)-(1+2+3+4+5)=1+2+3}\)
To trochę inny przypadek. Do tego mój argument się nie odnosi.
Być może zastanowię się nieco bardziej nad tym zadaniem.
Awatar użytkownika
Htorb
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 120
Rejestracja: 5 sie 2013, o 20:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Końskie
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 17 razy

[MIX][Wielomiany][Teoria liczb] Wielomiany i teoria liczb

Post autor: Htorb »

Ukryta treść:    
Udowodnić, że dla każdej liczby \(\displaystyle{ n \in \mathbb{Z}_+}\) istnieje taki zbiór \(\displaystyle{ X \subset \mathbb{Z}_+}\), że \(\displaystyle{ \#X=n}\) oraz średnia arytmetyczna elementów każdego podzbioru \(\displaystyle{ X}\) jest potęgą liczby naturalnej.
Ostatnio zmieniony 26 gru 2015, o 23:14 przez Htorb, łącznie zmieniany 1 raz.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22171
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

[MIX][Wielomiany][Teoria liczb] Wielomiany i teoria liczb

Post autor: a4karo »

Tak, to jest argument
TomciO
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 289
Rejestracja: 16 paź 2004, o 23:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 38 razy

[MIX][Wielomiany][Teoria liczb] Wielomiany i teoria liczb

Post autor: TomciO »

Chyba nikomu się nie chciało tego zapisywać, więc się przemogłem:)
Ukryta treść:    
Nowe zadanie: dla danego wielomianu \(\displaystyle{ f(x)}\) o współczynnikach całkowitych oznaczmy przez \(\displaystyle{ P_f}\) zbiór wszystkich liczb pierwszych \(\displaystyle{ p}\), dla których istnieje \(\displaystyle{ x \in \mathbb{Z}}\) takie, że \(\displaystyle{ p | f(x)}\), ale \(\displaystyle{ p^2}\) nie dzieli \(\displaystyle{ f(y)}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ y \in \mathbb{Z}}\). Udowodnić, że zbiór \(\displaystyle{ P_f}\) jest skończony.
Awatar użytkownika
Slup
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 778
Rejestracja: 27 maja 2016, o 20:49
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 23 razy
Pomógł: 155 razy

[MIX][Wielomiany][Teoria liczb] Wielomiany i teoria liczb

Post autor: Slup »

Nie wiem czy ktokolwiek to czyta. Moje rozwiązanie nie będzie zupełnie "elementarne", dlatego chętnie zobaczę rozwiązanie, które nie korzysta z wyróżnika i jego właśności.
edit: Htorb wskazał lukę w moim rozumowaniu, ale teraz już powinno być dobrze.
Ukryta treść:    
-- 9 cze 2016, o 17:06 --

W rozwiązaniu powyżej korzystam tylko z tego, że:
Jeżeli \(\displaystyle{ g(x)\in \mathbb{Z}[x]}\) ma podwójny pierwiastek \(\displaystyle{ \mathrm{mod}p}\), to \(\displaystyle{ D(g)\equiv 0\,(\mathrm{mod}\,p)}\)
Implikacja przeciwna nie jest prawdziwa.-- 10 cze 2016, o 14:46 --Dobra to daję zadanie.
Pokazać, że istnieje dowolnie długi odcinek zbioru liczb naturalnych nie zawierający żadnej liczby bezkwadratowej.
kicaj

[MIX][Wielomiany][Teoria liczb] Wielomiany i teoria liczb

Post autor: kicaj »

Ustalmy \(\displaystyle{ n}\) i niech \(\displaystyle{ p_1 , ... , p_n}\) będą kolejnymi liczbami pierwszymi. Z chińskiego twierdzenia o resztach wynika, że istnieje liczba naturalna \(\displaystyle{ u}\) o tej własności, że \(\displaystyle{ u\equiv -1 (\mbox{mod} p_1^2) , u\equiv -2 (\mbox{mod} p_2^2), ... , u\equiv -n (\mbox{mod} p_n^2).}\) Zatem ciąg \(\displaystyle{ u+1 , u+2 , ... , u+n}\) czyni zadość warunkom zadania.
Awatar użytkownika
Slup
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 778
Rejestracja: 27 maja 2016, o 20:49
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 23 razy
Pomógł: 155 razy

[MIX][Wielomiany][Teoria liczb] Wielomiany i teoria liczb

Post autor: Slup »

Jest ok.
ODPOWIEDZ