Rozważmy ciąg \(\displaystyle{ (A_n)}\)dany wzorem: \(\displaystyle{ A_n=k^na^n+ \frac{1}{a^{n}}}\)limes123 pisze: Dla kazdego naturalnego k>1 istnieje r takie, ze \(\displaystyle{ k|[r^n]+1}\) dla kazdego n naturalnego.
Zauważmy, ze dla \(\displaystyle{ n \ge 3}\) \(\displaystyle{ A_n=A_{1}A_{n-1}-kA_{n-2}}\)
Niech \(\displaystyle{ A_1=k^2}\), jako równanie ze zmienną \(\displaystyle{ a}\) ma 2 rozwiązania, jedno (nazwijmy go \(\displaystyle{ X}\)) jest na pewno większe od \(\displaystyle{ 1}\), zatem \(\displaystyle{ 0<\frac{1}{X^{n}}<1}\) dla każdego \(\displaystyle{ n}\)
czyli \(\displaystyle{ [k^{n}X^{n}]+1=k^{n}X^{n}+\frac{1}{X^{n}}=A_n}\)
Zauważmy, że liczba \(\displaystyle{ r=kX}\) spełnia warunki zadania, bowiem sprawdzając dla \(\displaystyle{ n=2}\) a następnie indukcyjnie wykorzystując wzór rekurencyjny dla \(\displaystyle{ n \ge 3}\) : \(\displaystyle{ A_n=A_{1}A_{n-1}-kA_{n-2}=k^{2}A_{n-1}-kA_{n-2}}\)
dostajemy, że dla każdego \(\displaystyle{ n}\):
\(\displaystyle{ k|A_{n}=[k^{n}X^{n}]+1}\) czego należało dowieść
co do pierwszego zadania limesa to w tym pliku
(zad 6.) jest rozwiązanie
Teraz 2 zadanka:
1. Niech \(\displaystyle{ x,y,z}\) będą takimi liczbami całkowitymi dodatnimi, że liczba \(\displaystyle{ \frac{x+1}{y} + \frac{y+1}{z} + \frac{z+1}{x}}\) jest calkowita. Udowodnić, że \(\displaystyle{ NWD(x,y,z) \le \sqrt[3]{xy+yz+zx}}\)
2. Udowodnić, że ciąg:
\(\displaystyle{ {2009 \choose 2009}, {2010 \choose 2009}, {2011 \choose 2009} ...}\)
jest okresowy modulo \(\displaystyle{ 2009}\).