[MIX][Wielomiany][Teoria liczb] Wielomiany i teoria liczb

Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Kartezjusz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7330
Rejestracja: 14 lut 2008, o 08:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 961 razy

[MIX][Wielomiany][Teoria liczb] Wielomiany i teoria liczb

Post autor: Kartezjusz »

Kicaj. Dajesz zadanie.
Awatar użytkownika
Msciwoj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 229
Rejestracja: 18 lut 2012, o 22:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Londyn
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 36 razy

Re: [MIX][Wielomiany][Teoria liczb] Wielomiany i teoria liczb

Post autor: Msciwoj »

Znalazłem takie zadanie i nie umiem go zrobić. Mam wrażenie że pojawiło się wcześniej na jakimś polskim konkursie/obozie, ale nie udało mi się go znaleźć. Być może pomyliło mi się z innym zadaniem. Nie chcę tworzyć nowego tematu, a to jest wątek o wielomianach, więc wrzucam tutaj.

Dany jest wielomian o współczynnikach rzeczywistych \(\displaystyle{ P(x)}\). Dla liczby naturalnej \(\displaystyle{ n}\) tworzymy następujący wielomian:

\(\displaystyle{ Q_n(x) = (x+1)^n P(x) + x^n P(x+1)}\)

Dowieść, że \(\displaystyle{ Q_n}\) ma wszystkie pierwiastki rzeczywiste tylko dla skończenie wielu \(\displaystyle{ n}\).
Awatar użytkownika
timon92
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1654
Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 472 razy

Re: [MIX][Wielomiany][Teoria liczb] Wielomiany i teoria liczb

Post autor: timon92 »

Kod: Zaznacz cały

https://om.mimuw.edu.pl/static/app_main/camps/oboz2021.pdf
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11265
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3143 razy
Pomógł: 747 razy

Re: [MIX][Wielomiany][Teoria liczb] Wielomiany i teoria liczb

Post autor: mol_ksiazkowy »

Rozwiązać:

\(\displaystyle{ (x^2+1)(x-1)^2 = 2022x^2. }\)
Ostatnio zmieniony 4 gru 2022, o 13:46 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Interpunkcja.
Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8570
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 306 razy
Pomógł: 3347 razy

Re: [MIX][Wielomiany][Teoria liczb] Wielomiany i teoria liczb

Post autor: kerajs »

\(\displaystyle{ (x^2+1)(x-1)^2 = 2022x^2\\
x^4-2x^3-2020x^2-2x+1=0 }\)

\(\displaystyle{ x^2-2x-2020-2 \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}=0\\
(x+\frac{1}{x})^2-2(x+\frac{1}{x})-2022=0 }\)
ODPOWIEDZ